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\(\left( \mathcal{M}_{3}( \mathbb{R}) ,+,\cdot \right)\) désigne l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels.
Deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right)\) étant données, on suppose qu’il existe une matrice \(L\) appartenant à \(\mathcal{M}_{3}\mathbb{R}\) telle que : \[L=AL+B\]
On définit la suite de matrices \(\left( U_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) de \(\mathcal{M}_{3}( \mathbb{R})\) de la manière suivante : \[U_{0}\in\mathcal{M}_{3}( \mathbb{R}) \quad \text{et} \quad \forall n\in\mathbb{N},\ U_{n+1}=AU_{n}+B\]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) : \[U_{n}=L+A^{n}\left( U_{0}-L\right)\]
Dans la suite du problème les matrices \(A\) et \(B\) sont choisies de telle sorte que : \[A=\frac{1}{6}% \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3\\ -4 & 6 & 4\\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix} ,\quad B=% \begin{pmatrix} 3 & -1 & -2\\ 1 & 0 & -1\\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}\] On note :
\(\mathrm{Id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^{3}\) ;
\(a\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est la matrice \(A\) ;
\(b\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est la matrice \(B\) ;
\(\operatorname{Im}( b)\) l’image de l’endomorphisme \(b\) ;
\(\operatorname{Im}( Id-a)\) l’image de l’endomorphisme \(\mathrm{Id}-a\).
Prouver que le vecteur \(u=\left( x,y,z\right)\) appartient à l’image de \(b\) si et seulement si \[-x+y+z=0\] puis montrer que : \[\operatorname{Im}( b) =\operatorname{Im}( \mathrm{Id}-a)\]
Montrer que la matrice \(P=% \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) peut être considérée comme la matrice de passage de la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) à une base de vecteurs propres de \(A\).
Écrire la matrice \(D\) de l’endomorphisme \(a\) ainsi que la matrice \(B^{\prime}\) de l’endomorphisme \(b\) dans cette base de vecteurs propres.
Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\): \[A^{n}=PD^{n}P^{-1}%\]
En écrivant convenablement \(D^{n}\) comme la somme de trois matrices diagonales judicieusement choisies, prouver l’existence de trois matrices \(E\), \(F\), \(G\) indépendantes de \(n\) telles que pour tout entier naturel \(n\) : \[A^{n}=E+\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}F+\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}G\] Expliciter uniquement la matrice \(E\) sous la forme d’un tableau de nombres.
Déterminer par le calcul, une matrice \(L^{\prime}\) de la forme \(% \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & p & q\\ 0 & 0 & r \end{pmatrix}\) telle que : \[L^{\prime}=DL^{\prime}+B^{\prime}%\]
Montrer que la matrice \(L=PL^{\prime}P^{-1}\) vérifie: \[L=AL+B.\]
Établir que \(EL=0.\)
Montrer que chacun des coefficients de la matrice \(U_{n}\) a pour limite, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), les coefficients de la matrice \(EU_{0}+L\).
On considère la fonction définie sur l’ensemble des réels positifs par : \[f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-\mathrm{e}^{-x}}{x} &\text{si } x>0 \\ \hfill 1 \hfill &\text{si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Écrire le développement limité de \(f( x)\) l’ordre 2, au voisinage de \(0\).
En déduire que \(f\) est continue sur \(\left[ 0,+\infty\right[ .\)
Montrer que \(f\) est dérivable en \(0\) et donner la valeur de \(f^{\prime}( 0)\).
Justifier la dérivabilité de \(f\) sur l’intervalle \(\left] 0,+\infty\right[\) puis déterminer la fonction \(\varphi\) telle que : \[\forall x>0,\ f^{\prime}( x) =\frac{\varphi( x) }{x^{2}}%\]
Étudier les variations de \(\varphi\).
En déduire le tableau de variation \(f\) qui sera complété par la limite de \(f\) en \(+\infty\).
On introduit la suite \(\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\) définie par : \[\forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\ u_{n}= \int_{0}^{n} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{u}{n}}}{1+u} \,\mathrm{d}u\]
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[u_{n}\geqslant \frac{1}{\mathrm{e}} \, \ln( n+1)\] Donner la limite de la suite \(\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\).
Prouver que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{1}f( x) \,\mathrm{d}x\) est bien définie.
Utiliser un changement de variable affine pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[0\leqslant \int_{0}^{n}\frac{1}{1+u} \,\mathrm{d}u-u_{n}\leqslant \int_{0}^{1}f( x) \,\mathrm{d}x\]
Donner alors un équivalent simple de \(u_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty.\)
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d’un lot du \(n\) feuilles originales qu’elle a numérotées \(1,2,\dots,n\). Elle photocopie ces \(n\) feuilles originales et souhaite que chaque original soit agrafé avec sa copie. L’entreprise programme le photocopieur afin que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant, suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L’entreprise décide donc de placer les \(n\) originaux et les \(n\) copies dans une boite. Une personne est alors chargée du travail suivant : elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S’il s’agit d’un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la, boite et elle recommence.
On modélise l’expérience par un espace probabilité \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). Soit \(T_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient \(n\) originaux et \(n\) copies (soit \(2n\) feuilles).
On considère l’événement \(A_{n}\) : à l’issue de la première pioche, les deux feuilles piochées ne sont pas agrafées et \(a_{n}\) sa probabilité c’est-à-dire que \(a_{n}=\mathbb{P}( A_{n})\).
Calculer \(a_{n}\).
Étude de \(T_{2}\).
On suppose dans cette question que \(n=2\), c’est-à-dire que la boite contient deux originaux et deux copies.
Montrer que pour tout entier \(k\geqslant 2\) : \(\mathbb{P}( T_{2}=k) =\left( 1-a_{2}\right) \left( a_{2}\right) ^{k-2}.\)
Justifier que la variable \(S_{2}=T_{2}-1\) suit une loi géométrique
dont on précisera le paramètre.
En déduire l’espérance et la variance de \(T_{2}\) en fonction de \(a_{2}\)
Étude de \(T_{3}\).
On suppose dans cette question que \(n=3\), c’est-à-dire que la boite, contient trois originaux et trois copies.
Calculer \(\mathbb{P}( T_{3}=2)\) puis \(\mathbb{P}( T_{3}=3)\) en fonction de \(a_{2}\) et \(a_{3}\)
À l’aide du système complet d’événements \(\left( A_{3},\overline{A_{3}}\right)\) démontrer, pour tout \(k\geqslant 2\), que : \[\mathbb{P}( T_{3}=k+1) =\left( 1-a_{3}\right) \mathbb{P}( T_{2}=k) +a_{3} \, \mathbb{P}( T_{3}=k)\]
Montrer que : \[\forall k\geqslant 2,\ \mathbb{P}( T_{3}=k) =\frac{\left( 1-a_{2}\right) \left( 1-a_{3}\right) }{a_{3}-a_{2}}\left[ \left( a_{3}\right) ^{k-2}-\left( a_{2}\right) ^{k-2}\right]\]
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty}\mathbb{P}\left( T_{3}=k\right) .\)
Prouver que la variable aléatoire \(T_{3}-1\) admet une espérance et calculer \(\mathbb{E}( T_{3}-1)\).
Donner la valeur de \(\mathbb{E}( T_{3})\) en fonction de \(a_{2}\) et \(a_{3}\).
Établir que la variable aléatoire \(T_{3}\left( T_{3}-1\right)\) admet une espérance et donner sa valeur en fonction de \(a_{2}\) et \(a_{3}\).
En déduire que \(T_{3}\) admet une variance.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
