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Pour toute variable aléatoire \(X\) définie sur l’espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\) vérifiant la condition \((H):\) \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(X \geqslant n)>0 \tag{$H$}\]
on appelle taux de panne associé à \(X\) la suite réelle \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ x_{n}=\mathbb{P}_{[X \geqslant n]} (X=n)\]
(probabilité conditionnelle de l’événement \([X=n]\) sachant que \([X \geqslant n]\) est réalisé).
Montrer que pour tout entier \(n\) non nul : \[x_{n}=\frac{\mathbb{P}(X=n)}{\mathbb{P}(X \geqslant n)}\]
On suppose dans cette question que \(Y\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\). Déterminer alors le taux de panne associé à \(Y\).
On suppose dans cette question que la loi de \(Z\) est donnée par :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(Z=n)=\frac{1}{n \left( n+1 \right)}\]
Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\), \[\frac{1}{n \left( n+1 \right)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}\]
Vérifier que \(Z\) est une variable aléatoire, c’est-à-dire que :
\[\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}(Z=n)=1\]
La variable \(Z\) admet-elle une espérance?
Pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\), calculer la probabilité \(\mathbb{P}(Z \geqslant n)\). Déterminer alors le taux de panne associé à \(Z\).
Soient \(X\) une variable aléatoire sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\) vérifiant \((H)\), et \(\left(x_{n}\right)\) son taux de panne.
Montrer que : \[\forall n \geqslant 2, \ \mathbb{P}(X \geqslant n)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-x_{k}\right)\]
Exprimer, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\), \(p_{n}=\mathbb{P}(X=n)\) à l’aide des éléments de la suite \(\left(x_{k}\right)\), et plus précisément montrer que : \[p_{n}=x_{n} \prod_{k=1}^{n-1}\left(1-x_{k}\right)\]
Déterminer les lois des variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\) vérifiant \((H)\) et ayant un taux de panne constant.
Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé. On note \(S\) l’ensemble des variables aléatoires réelles à densité, \(\operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), qui possèdent une densité nulle sur \(]-\infty, 0]\) et continue sur \(] 0,+\infty[\) et qui vérifient la condition \((R)\) : \[\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, \ \mathbb{P}(X>x)>0 \tag{$R$}\]
Soit \(X\) un élément de \(S\). Montrer que \(X\) possède une unique densité \(f\) nulle sur \(]-\infty, 0]\) et continue sur \(]0,+\infty[\). Celle-ci sera désormais appelée la densité de \(X\).
Soit \(X\) un élément de \(S\). On note \(F\) sa fonction de répartition et \(f\) sa densité.
Pour tout \(x\) dans \(\mathbb{R}^{+*}\), justifier l’existence de \[\phi(x)=\lim _{h \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{h} \, \mathbb{P}_{[ X>x ]}(X \leqslant x+h)\right)\]
et vérifier que : \[\varphi(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}\]
On appelle taux de panne associé à \(X\) la fonction \(\varphi\) ainsi définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\).
Montrer que, pour tout réel strictement positif \(x\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{x} \varphi(t) \,\mathrm{d}t\) converge et que : \[\forall x \in \mathbb{R}^{+}, \ F(x)=1-\exp \left(-\int_{0}^{x} \varphi(t) \,\mathrm{d}t\right)\]
Soit deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) strictement positifs.
Déterminer la constante \(K\) en fonction de \(\alpha\) et \(\beta\) pour que la fonction \(g\) définie par : \[g(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{K}{(1+\beta x)^{\alpha+1}} &\text{si } x>0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } x\leqslant 0\end{cases}\]
soit une densité de probabilité.
Soit \(T\) une variable aléatoire réelle sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) admettant \(g\) pour densité. Montrer que \(T\) appartient à \(S\), et calculer son taux de panne.
Soit \(Z\) une variable aléatoire réelle sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). Montrer que \(Z\) appartient à \(S\), et calculer son taux de panne.
Réciproquement, soit \(U\) un élément de \(S\). On suppose que son taux de panne est constant. Montrer que \(U\) suit une loi exponentielle.
Soit \(W\) un élément de \(S\) dont le taux de panne est la fonction \(h\) définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, \ h(x)=a \lambda^{a} x^{a-1}\]
où \(a\) et \(\lambda\) sont des réels strictement positifs.
Trouver la fonction de répartition \(F_{W}\) de \(W\) et donner une densité de \(W\). Que trouve-t-on pour \(a=1\) ?
Soit la fonction \(f\) définie sur \(]-\frac{1}{2},+\infty[\) par :
\[f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\ln (1+2 x)}{x}-1 & \text { si } x \in \left] -\frac{1}{2}, 0 \right[ \cup \left] 0,+\infty \right[ \\ \hfill 1 \hfill & \text { si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Donner le développement limité à l’ordre 1 de \(f(x)\) au voisinage de \(0\).
Montrer que \(f\) est continue sur son ensemble de définition.
Montrer que \(f\) est dérivable en \(0\) et donner \(f^{\prime}(0)\).
Prouver l’existence d’une fonction \(h\) telle que : \[\forall x \in \left] -\frac{1}{2}, 0 \right[ \cup \left] 0,+\infty \right[ , \ f^{\prime}(x)=\frac{h(x)}{x^{2}}\]
Étudier les variations de \(h\), puis en déduire le tableau de variations de \(f\).
Montrer que \(f\) s’annule en un unique point \(\alpha\) (on admettra que \(\alpha \simeq 1,26\)).
Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.
Soit la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) telle que : \[\begin{cases} u_{0}>0 \\ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=\ln \! \left(1+2 u_{n}\right)=g(u_{n}) \end{cases}\]
Vérifier que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est strictement positive.
On suppose que \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge. Que vaut alors sa limite \(\ell\) ?
On suppose que \(u_{0}\) est dans l’intervalle \(\left] 0, \alpha\right]\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n}\) est dans l’intervalle \(\left] 0, \alpha\right]\).
Puis, montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est strictement monotone et convergente vers \(\alpha\).
Prouver, de manière analogue, que \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge aussi vers \(\alpha\) si on suppose \(u_{0}\) dans l’intervalle \(]\alpha,+\infty[\).
On pose \(u_{0}=1\).
En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}\), \[\left|u_{n+1}-\alpha\right| \leqslant \frac{2}{3} \left|u_{n}-\alpha\right|\]
En déduire que, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}\), \(\displaystyle \left|u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\).
À partir de quel rang \(n\) est-on sûr que \(u_{n}\) représente une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-4}\) près ?
On pose, pour \(x\) appartenant à l’intervalle \(\left] -\frac{1}{2},+\infty\right[\), \(\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t\).
Étudier les variations de \(F\).
Montrer que \(F(x)\) est équivalent à \(x\) pour \(x\) au voisinage de 0. En déduire l’équation de la tangente à la courbe représentative de \(F\) au point d’abscisse \(x=0\).
Donner un équivalent de \(f\) au voisinage de \(+\infty\). En déduire la limite de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Donner un équivalent de \(f\) au voisinage de \(-\frac{1}{2}\). En déduire l’existence de la limite de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(-\frac{1}{2}^{+}\).
Le prolongement de \(F\) est-il dérivable à droite de \(-\frac{1}{2}\) ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
