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On dit qu’une matrice \(A\) carrée d’ordre \(n\) est une matrice nilpotente s’il existe un entier naturel \(k\) non nul tel que : \[A^{k-1}\neq 0_n\quad\textrm{et}\quad A^k=0_n\]
où \(0_n\) représente la matrice carrée nulle d’ordre \(n\).
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\), on dit que le couple \((\Delta,N)\) est une décomposition de Dunford de \(A\) lorsque : \[\begin{cases} \textrm{$\Delta$ est un matrice diagonalisable} \\ \textrm{$N$ est une matrice nilpotente} \\ \Delta N=N\Delta\;\;\textrm{et}\;\; A=N+\Delta \end{cases}\]
On pose : \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \Delta=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix} \quad\textrm{et}\quad N=\begin{pmatrix} 0&2 \\0&0\end{pmatrix}\]
Vérifier que \((\Delta,N)\) est une décomposition de Dunford de \(A\).
Dans toute la suite de l’exercice, on pose : \[A=\begin{pmatrix}3&1&-1\\-2&0&2\\0&0&1\end{pmatrix},\quad N=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix},\quad \Delta=\begin{pmatrix}3&1&0\\-2&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]
Déterminer les valeurs propres de \(A\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
On considère les matrices colonnes \[X_1=\begin{pmatrix}1\\-1 \\0 \end{pmatrix},\quad X_2=\begin{pmatrix}0\\0 \\1 \end{pmatrix}\quad\textrm{et}\quad X_3=\begin{pmatrix}1\\-2 \\0 \end{pmatrix}\]
Calculer les produits \(\Delta X_1\), \(\Delta X_2\) et \(\Delta X_3\).
Justifier que la matrice \(\Delta\) est diagonalisable et déterminer une matrice \(P\) inversible telle que : \(P^{-1}\Delta P=D\).
Calculer \(P^{-1}\).
Établir que \(N\) est une matrice nilpotente.
Vérifier que \((\Delta,N)\) est une décomposition de Dunford de la matrice \(A\).
En utilisant la formule du binôme de Newton que l’on justifiera, donner l’expression de \(A^n\) en fonction des puissances de \(\Delta\), de \(N\) et de \(n\).
Établir que, pour tout entier naturel \(k \geqslant 1\), \(\Delta^kN=N\).
Proposer une décomposition de Dunford de \(A^n\).
On considère l’application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \[\begin{cases} \varphi(x)=1-x^2\ln (x) & \textrm{si $x>0$} \\ \varphi(0)=1 \end{cases}\]
ainsi que la fonction numérique \(f\) des variables réelles \(x\) et \(y\) définie par : \[\forall\,(x,y)\in\,]0,+\infty[\,\times\,]0,+\infty[,\ f(x,y)=xy+\ln(x)\ln(y)\]
Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), ainsi que la limite de \(\displaystyle \frac{\varphi(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Interpréter graphiquement cette limite.
Prouver que \(\varphi\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\).
Justifier la dérivabilité de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) et calculer sa fonction dérivée.
Montrer que \(\varphi\) est dérivable en 0. Donner l’allure de la représentation graphique de \(\varphi\) au voisinage du point d’abscisse 0.
Dresser le tableau de variations de \(\varphi\).
On rappelle que \(\ln(2)\approx 0,7\).
Montrer l’existence d’un unique réel \(\alpha\) tel que : \(\varphi(\alpha)=0\) et justifier que : \(\sqrt{2}<\alpha<2\).
Établir la convergence de l’intégrale \(I=\displaystyle \int_0^{\alpha} \varphi(x) \, \mathrm{d}x\) et vérifier que : \[I=\displaystyle \frac{\alpha \left( 6+\alpha^2 \right)}{9}\]
On considère les deux suites \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définies par :
\(a_0=\sqrt{2}\) et \(b_0=2\) ;
Pour tout \(n \geqslant 0\), si \(\varphi(a_n) \, \varphi\!\left(\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}\right)<0\) alors \(a_{n+1}=a_n\) et \(b_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}\) ;
Pour tout \(n \geqslant 0\), si \(\varphi(a_n) \, \varphi\!\left(\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}\right) \geqslant 0\) alors \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}\) et \(b_{n+1}=b_n\).
Écrire une programme Python calculant \(a_7\) et \(b_7\).
Rappelons que \(\alpha\) est l’unique réel vérifiant \(\varphi(\alpha)=0\).
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(]0,+\infty[\,\times\,]0,+\infty[\).
Calculer les dérivées partielles premières et prouver que le point de coordonnées \(\left(\displaystyle \frac{1}{\alpha}\,,\frac{1}{\alpha}\right)\) est l’unique point critique de \(f\) sur \(]0,+\infty[\,\times\,]0,+\infty[\).
Calculer les dérivées partielles secondes sur \(]0,+\infty[\,\times\,]0,+\infty[\) et établir que pour tous réels \(x\) et \(y\) strictement positifs : \[\begin{cases} \displaystyle \partial_{1,1}^2 f(x,y)=\left(\frac{y}{x}\right)^2\left(1-\varphi\!\left(\frac{1}{y}\right)\right) \\ \displaystyle \partial_{2,1}^2 f x,y)=1+\frac{1}{xy} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \displaystyle\partial_{2,2}^2 f(x,y)=\left(\frac{x}{y}\right)^2\left(1-\varphi\!\left(\frac{1}{x}\right)\right) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
La fonction \(f\) présente-t-elle un extremum local sur \(]0,+\infty[\,\times\,]0,+\infty[\) ? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum).
Le société Lehazard met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d’écran affiche une grille à trois lignes et trois colonnes.
Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction aléatoire place au hasard successivement trois jetons (\(\bigstar\)) dans trois cases différentes. La partie est gagnée si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros à l’issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur. \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\textrm{A}&\textrm{B}&\textrm{C} \\ \hline 1 & \bigstar & & \\ \hline 2&\bigstar&&\\ \hline 3&&\bigstar& \\ \hline\end{array}\]
On définit les événements \(H\), \(V\), \(D\), \(N\) par :
\(H\) : « les trois jetons sont alignés horizontalement ».
\(V\) : « les trois jetons sont alignés verticalement ».
\(D\) : « les trois jetons sont alignés en diagonale ».
\(N\) : « les trois jetons ne sont pas alignés ».
Justifier qu’il y a 84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases.
Déterminer les probabilités \(\mathbb{P}(H)\), \(\mathbb{P}(V)\), \(\mathbb{P}(D)\) des événements \(H,V,D\).
En déduire que la probabilité de l’événement \(N\) est égale à : \[\mathbb{P}(N)=\frac{19}{21}\approx 0,9048\]
La société peut s’attendre à 10 000 relances par jour de ce jeu.
Pour chaque entier naturel \(i\) non nul, on note \(Z_i\) le gain de la société à la \(i\)-ième relance.
Calculer l’espérance mathématique \(\mathbb{E}(Z_i)\) de \(Z_i\).
Quel gain journalier \(Z\) la société peut-elle espérer ?
Un joueur décide de jouer 100 parties consécutives que l’on suppose indépendantes.
Donner la loi de la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de parties gagnées.
Indiquer l’espérance et la variance de \(X\).
Exprimer la perte \(T\) du joueur en fonction de \(X\).
Quel est le nombre minimum \(n\) de parties qu’il devrait jouer pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure ou égale à 50% ?
On admettra que \(\ln\!\left(\displaystyle \frac{19}{21}\right)\approx-0,1\) et \(\ln(2)\approx0,7\).
Un autre joueur décide de jouer et de miser tant qu’une partie n’est pas gagnée. On note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées pour gagner la première fois.
Donner la loi de \(Y\).
Indiquer l’espérance et la variance de \(Y\).
Pour tout entier naturel \(k\), montrer que la probabilité \(p_k\) que le joueur joue au plus \(k\) parties avant de gagner pour la première fois est donnée par la formule : \[p_k=1-\left(\frac{19}{21}\right)^k\]
On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case \((\textrm{A},1)\), les deux autres étant placés au hasard dans les cases restantes. On note \(\Delta\) l’événement « la fonction aléatoire est déréglée » et on pose \(\mathbb{P}(\Delta)=x\) avec \(x\in\,]0,1[\).
Calculer les probabilités conditionnelles \(\mathbb{P}_{\Delta}(H)\), \(\mathbb{P}_{\Delta}(V)\) et \(\mathbb{P}_{\Delta}(D)\) des événements \(H,V,D\) sachant l’événement \(\Delta\).
Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements \((\Delta,\overline{\Delta})\) pour en déduire que la probabilité que les jetons ne soient pas alignés est égale à : \[\mathbb{P}(N)=-\frac{x}{84}+\frac{19}{21}\]
Soit \(G\) la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d’une partie jouée. Déterminer la valeur maximale de \(x\) pour que l’espérance du gain soit positive.
On joue une partie. On constate que les jetons sont alignés. Quelle est la probabilité, en fonction de \(x\), que la fonction aléatoire ait été déréglée ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
