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On considère les matrices \(M\) et \(P\) suivantes : \[M=\begin{pmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad P=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
Prouver que la matrice \(P\) est inversible et donner les neuf coefficients de la matrice inverse \(P^{-1}\).
Calculer la matrice \(T\) définie par : \(T=P^{-1} M P\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) : \[T^n=\begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Prouver, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\) : \[M^n=P T^n P^{-1}\]
En déduire l’expression de la matrice \(M^n\) sous la forme d’un tableau de nombres.
Soit \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite de nombres réels définie par la relation de récurrence suivante : \[(u_0,u_1,u_2) = (1,-1,0) \quad \text{et} \quad u_{n+3}=4 u_{n+2}-5 u_{n+1}+2 u_n\]
Calculer \(u_3\) et \(u_4\).
Pour tout entier naturel \(n\), on considère la matrice colonne \(: V_n=\begin{pmatrix}u_{n+2} \\ u_{n+1} \\ u_n\end{pmatrix}\). Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\) : \[V_{n+1}=M V_n\]
Établir, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\) : \[V_n=M^n V_0\]
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Dans cet exercice, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=x \, \mathrm{e}^{-x}\]
On note \(C\) la courbe représentative de \(f\).
Déterminer \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\). Que peut-on en déduire pour \(C\) ?
Déterminer \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}\). Que peut-on en déduire pour \(C\) ?
Pour tout réel \(x\), calculer \(f^{\prime}(x)\) et construire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(D\) la tangente à la courbe \(C\) au point d’abscisse 0.
Donner une équation de la droite \(D\).
Étudier la convexité de \(f\).
Tracer sur un même schéma \(C\) et \(D\) (valeur numérique : \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0,4\)).
Dans cette partie on s’intéresse aux solutions positives ou nulles (si elles existent) de l’équation \[\left(E_{n}\right): f(x)=x^{n}\]
où \(n\) désigne un entier naturel non nul.
Résoudre sur \(\mathbb{R}_{+}\) l’équation \(\left(E_{1}\right)\).
Pour \(n\) entier naturel avec \(n \geqslant 2\), on pose : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \ g_{n}(x)=\mathrm{e}^{-x}-x^{n-1}\]
Montrer que \(g_{n}\) est une fonction strictement décroissante sur \([0,+\infty[\).
En déduire que l’équation \(g_{n}(x)=0\) admet une unique solution sur \([0,+\infty[\).
On note cette solution \(\alpha_{n}\).
Montrer que : \(\forall n \geqslant 2, \ \alpha_{n} \in\left] 0,1 \right[\).
Donner, pour \(n \geqslant 2\), l’ensemble des solutions positives de l’équation \(\left(E_{n}\right)\).
Dans cette partie on considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ h(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ f(x) & \text { si } x \geqslant 0 \end{cases}\]
Pour \(x \in \mathbb{R}_{+}\), calculer l’intégrale : \(\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t\).
Montrer que la fonction \(h\) est une densité de probabilité d’une variable aléatoire \(X\).
On note \(H\) la fonction de répartition de \(X\). Déterminer la fonction \(H\).
Calculer les probabilités suivantes : \[\mathbb{P}(X \leqslant 1), \quad \mathbb{P}(1 \leqslant X \leqslant 2) \text { et } \mathbb{P}_{[X \leqslant 2]}(X \geqslant 1)\]
Cet exercice étudie deux jeux de dés avec des dés équilibrés à six faces.
Dans ce jeu on lance simultanément deux dés équilibrés, si les deux dés donnent le même résultat alors le joueur marque 1 point, sinon il ne marque pas de point.
Calculer la probabilité \(p\) de l’événement \(A\) : « Les deux dés donnent le même résultat ».
Le joueur répète \(n\) fois le même jeu et on note alors \(Y_{n}\) le nombre de points obtenus par le joueur après ces \(n\) parties.
Reconnaitre la loi de \(Y_{n}\) (une justification soigneuse est attendue).
Donner explicitement \(\mathbb{P}(Y_{n}=k )\) pour les valeurs \(k\) prises par \(Y_{n}\).
Donner la valeur de l’espérance \(\mathbb{E}( Y_{n} )\) de la variable aléatoire \(Y_{n}\) et sa variance \(\mathbb{V}( Y_{n} )\).
Le joueur joue maintenant jusqu’à ce qu’il marque un point pour la première fois.
On note alors \(Z\) la variable aléatoire représentant le nombre de parties effectuées par le joueur.
Reconnaitre la loi de \(Z\) (une justification soigneuse est attendue).
Donner explicitement \(\mathbb{P}(Z=k)\) pour les valeurs \(k\) prises par \(Z\).
Donner la valeur de l’espérance \(\mathbb{E}(Z)\) de la variable aléatoire \(Z\) et sa variance \(\mathbb{V}(Z)\).
Dans ce jeu, on lance successivement deux dés équilibrés. On note :
\(D_{1}\) le résultat du premier dé et \(D_{2}\) le résultat du deuxième dé,
\(E_{1}\) l’événement « \(D_1<D_2\) », \(E_2\) l’événement : « \(D_{1}=D_{2}\) » et \(E_{3}\) l’événement: « \(D_{1} > D_{2}\) ».
Lors d’une partie :
si l’événement \(E_{1}\) se produit alors le joueur ne marque pas de point,
si l’événement \(E_{2}\) se produit alors le joueur marque 2 points,
si l’événement \(E_{3}\) se produit alors le joueur marque 1 point.
Le joueur répète \(n\) fois ce jeu. Pour tout entier naturel \(i \geqslant 1\), on note :
\(X_{i}\) la variable aléatoire représentant le nombre de points marqués lors de la \(i^{\text {ème }}\) partie;
\(S_{i}\) le nombre total de points marqués après \(i\) parties.
Calculer la probabilité de chacun des événements \(E_{1}, E_{2}\) et \(E_{3}\) (on démontrera notamment que \(\mathbb{P}( E_{1})= \mathbb{P}( E_{3} )=\dfrac{5}{12}\).
Soit \(i \in\{1,2, \ldots, n\}\). Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{i}\) puis calculer son espérance et sa variance.
Trouver la loi de la variable aléatoire \(S_{1}\).
Préciser les valeurs prises par la variable aléatoire \(S_{2}\) et donner sa loi.
Préciser les valeurs prises par la variable aléatoire \(S_{3}\).
Construire et remplir le tableau de la loi conjointe du couple \(\left(S_{2}, S_{3}\right)\). On justifiera précisément une valeur non nulle de ce tableau, les autres pouvant être données directement.
En déduire la loi de la variable aléatoire \(S_{3}\).
Écrire \(S_{n}\) en fonction des variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\). En déduire l’espérance mathématique \(\mathbb{E}(S_n)\) de \(S_{n}\).
En moyenne, combien de parties au minimum doit faire le joueur pour obtenir plus de 10 points?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
