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Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\mathcal{B=}\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right)\) une base de \(E\). Pour tout réel \(a\), on considère l’endomorphisme \(f_{a}\) de l’espace vectoriel \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B=}\) \(\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right)\) est donnée par : \[M_{a}= \begin{pmatrix} a+2 & -\left( 2a+1\right) & a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\] ainsi que la fonction polynômiale \(Q\) qui à tout réel \(x\) associe le réel : \[Q(x) =x^{3}-\left( a+2\right) x^{2}+\left( 2a+1\right) x-a\]
Montrer que le réel \(\lambda\) est une valeur propre de \(M_{a}\) si et seulement si \(\lambda\) est racine du polynôme \(Q\).
Vérifier que le réel \(\lambda =1\) est racine de \(Q\).
En déduire les racines de \(Q\) ainsi que leur nombre en fonction de \(a\).
Lorsque \(a=1\), la matrice \(M_{1}\) est-elle diagonalisable ?
Dans toute la suite de l’exercice on suppose \(a\) différent de 1.
Soit \(\mathcal{B}^{\prime }=\left( e_{1}^{\prime },e_{2}^{\prime },e_{3}^{\prime }\right)\) la famille de vecteurs de \(E\) définie par : \[\begin{cases} e_{1}^{\prime }=a^{2}e_{1}+ae_{2}+e_{3} \\ e_{2}^{\prime }=e_{1}+e_{2}+e_{3} \\ e_{3}^{\prime }=2e_{1}+e_{2} \end{cases}\]
Prouver que \(\mathcal{B}^{\prime }\) est une base de \(E\).
Expliciter la matrice de passage \(P_{a}\) de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}^{\prime }\).
Montrer qu’il existe un réel \(\alpha\), que l’on déterminera, tel que \(f_a(e_1')= \alpha e_1'\).
Vérifier que le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par les vecteurs \(e_{2}^{\prime }\) et \(e_{3}^{\prime }\) est stable par \(f_{a}\) c’est- à-dire : \[f_{a}\left( F\right) \subset F\]
Donner l’expression de la matrice \(T_{a}\) de l’endomorphisme \(f_{a}\) dans la nouvelle base \(\mathcal{B}^{\prime }\).
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \[T^{n}= \begin{pmatrix} a^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] où, par convention, on pose \(T_{a}^{0}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Soit \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) la suite de nombres réels d éfinie par la relation de récurrence suivante : \[u_{0}=1,\ u_{1}=-1,\ u_{2}=0 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+3}=4u_{n+2}-5u_{n+1}+2u_{n}\]
Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) : \[\begin{pmatrix} u_{n+3} \\ u_{n+2} \\ u_{n+1} \end{pmatrix} =M_{2} \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1} \\ u_{n} \end{pmatrix}\]
Établir par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \[\begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1} \\ u_{n} \end{pmatrix} =P_{2}T_{2}^{n}P_{2}^{-1} \begin{pmatrix} u_{2} \\ u_{1} \\ u_{0} \end{pmatrix}\]
Donner l’expression matricielle de la matrice inverse de \(P_{2}\) puis exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
La suite \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) est-elle convergente ?
On considère l’application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R} _{+}^{\ast }\) par : \[\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{\ast },\ \varphi (x) =\ln (x) -\ln \left( x+1\right) +\frac{1}{x}\]
Déterminer la limite de \(\varphi
(x)\) lorsque \(x\) tend vers
\(0\) par valeurs positives.
Interpréter graphiquement cette limite.
Déterminer la limite de \(\varphi
(x)\) lorsque \(x\) tend vers
\(+\infty\).
Interpréter graphiquement cette limite.
Prouver que \(\varphi\) est strictement monotone sur \(\mathbb{R} _{+}^{\ast }\).
Dresser le tableau de variation de \(\varphi\) et y faire apparaı̂ tre les limites de \(\varphi\) en \(0^{+}\) et \(+\infty .\)
On rappelle que \(\ln (2) \simeq 0,7\) et \(\ln(3)\simeq 1,1\).
Montrer que l’équation \(\varphi (x) =1\) possède une unique solution notée \(\alpha\) et que : \[\frac{1}{3}<\alpha <\frac{1}{2}\]
Proposer un programme Python permettant
d’encadrer \(\alpha\) dans un
intervalle d’amplitude \(10^{-2}\).
Soit \(\alpha\) le réel défini à la question 5. On considère la variable aléatoire réelle \(X\) dont une densité de probabilité est donnée par : \[f(x) =\begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}\left( x+1\right) } & \text{si }x>\alpha \\ \hfill 0 \hfill & \text{si }x\leqslant \alpha \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité.
Montrer que \(X\) admet une espérance \(\mathbb{E}(X)\).
Démontrer que pour \(x>\alpha\) : \[xf(x) =\varphi ^{\prime }(x) +\frac{1}{x^{2}}\] En déduire que l’espérance de \(X\) est donnée par : \[\mathbb{E}(X) =\frac{1-\alpha }{\alpha }\] Donner un encadrement de \(\mathbb{E}( X)\) par deux entiers consé cutifs.
La variable aléatoire réelle \(X\) admet-elle une variance ?
Dans cet exercice, on étudie des situations probabilistes liées à un jeu de dés à six faces.
Pour ce jeu, effectuer une partie consiste à lancer successivement deux d és équilibrés.
On note :
\(D_{1}\) le résultat du premier dé et \(D_{2}\) le résultat du deuxième dé
\(E_{1}\) l’événement : \(\left( D_{1}<D_{2}\right)\), \(E_{2}\) l’ événement : \(\left( D_{1}=D_{2}\right)\) et \(E_{3}\) l’évé nement : \(\left( D_{1}>D_{2}\right)\)
Lors d’une partie,
si l’événement \(E_{1}\) se produit alors le joueur ne marque pas de point,
si l’événement \(E_{2}\) se produit alors le joueur marque 2 points,
si l’événement \(E_{3}\) se produit alors le joueur marque 1 point.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Le joueur joue successivement \(n\) parties.
Pour tout entier naturel \(i\geqslant 1\), on note :
\(X_{i}\) la variable aléatoire représentant le nombre de points marqués lors de la \(i^{\grave{e}me}\) partie ;
\(Y_{i}\) le nombre de points marqués après \(i\) parties.
Calculer la probabilité de chacun des événements \(E_{1}\), \(E_{2}\) et \(E_{3}\).
Soit \(i\in \left \{ 1,2,\dots ,n\right \}\), déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{i}\) puis calculer son espérance et sa variance.
Trouver la loi de la variable aléatoire \(Y_{1}\).
Quelle est la loi de la variable aléatoire \(Y_{2}\) ?
Préciser l’ensemble \(Y_{3}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable aléatoire \(Y_{3}\).
Construire et remplir le tableau de la loi conjointe du couple \(\left( Y_{2},Y_{3}\right) .\)
On justifiera précisément une valeur non nulle de ce tableau, les autres pouvant être données directement
En déduire la loi de la variable aléatoire \(Y_{3}\).
Écrire \(Y_{n}\) en fonction des variables aléatoires \(X_{1}\), \(X_{2}\), ..., \(X_{n}\).
En déduire l’espérance mathématique et la variance de \(Y_{n}\).
En moyenne, combien de parties au minimum doit faire le joueur pour obtenir plus de \(10\) points?
Le joueur joue maintenant jusqu’à ce qu’il dépasse un nombre de points donné.
Plus précisément on note : \(T_{1}\) (respectivement \(T_{2}\)) la variable aléatoire représentant le nombre de parties effectuées par le joueur lorsque le total de ses points est supérieur ou égal à \(1\) (respectivement \(2\)) pour la première fois (si cet événement se produit).
Par exemple si les points marqués par le joueur sont dans l’ordre :
Exemple 1 : 0 0 l 0 1 2 . . . .. alors \(T_{1}=3\) et \(T_{2}=5\).
Exemple 2 : 0 0 0 2 1 2.... alors \(T_{1}=4\) et \(T_{2}=4\).
Préciser l’ensemble \(T_{1}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable aléatoire \(T_{1}\) puis, pour tout \(k\) appartenant à \(T_{1}(\Omega)\) , donner la valeur de la probabilité \(\mathbb{P}( T_{1}=k )\).
Donner la valeur de l’espérance et de la variance de la variable al éatoire \(T_{1}\).
Déterminer l’ensemble \(T_{2}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable aléatoire \(T_{2}\).
Calculer les probabilités \(\mathbb{P}( T_{2}=1 )\) et \(\mathbb{P}( T_{2}=2 )\).
Prouver que, pour \(k\geqslant 3\) , on a : \[\mathbb{P}( T_{2}=k ) =\left( \frac{5}{12}\right) ^{k-1}\times \frac{1}{6}+\left( k-1\right) \left( \frac{5}{12}\right) ^{k-1}\times \frac{7 }{12}\]
Ce résultat est-il valable pour \(k=1\) et \(k=2\) ?
Établir que: \(\displaystyle \sum\limits \limits_{k=1}^{+\infty } \mathbb{P}( T_{2}=k ) =1\).
Que peut-on en déduire pour l’événement le joueur n’obtient jamais un score cumulé supérieur ou égal à 2 ?
Calculer \(\mathbb{E}( T_{2} )\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Dans l'ensemble de sujet constitue un bon sujet d'entraînement, mais je vous recommande de sauter la question 5 de l'exercice 3 : sans intérêt, extrêmement calculatoire et inutile pour la suite.