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Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\), différent de \(2\, \mathrm{Id}_{E}\) et différent de \(-3 \, \mathrm{Id}_{E}\), vérifiant la relation \(\mathcal{R}\) suivante : \[u \circ u+u-6 \, \mathrm{Id}_{E}=0 \tag{$\mathcal{R}$}\]
où \(\mathrm{Id}_{E}\) représente l’identité de \(E\).
Montrer que \(u\) est surjectif. En déduire que c’est un automorphisme de \(E\) et exprimer \(u^{-1}\) en fonction de \(\mathrm{Id}_{E}\) et de \(u\).
Dans l’espace vectoriel des endomorphismes de \(E\), on considère le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par \(u\) et \(\mathrm{Id}_{E}\), c’est-à-dire : \[F= \mathrm{Vect}\! \left(\mathrm{Id}_{E}, u\right)\]
Montrer que la famille \(\left(\, \mathrm{Id}_{E}, u\right)\) est libre dans l’espace vectoriel des endomorphismes de \(E\). En déduire la dimension de \(F\).
Prouver que les endomorphismes \(f\) de \(F\) vérifiant la relation \(f \circ f=f\), différents de l’endomorphisme nul et de l’identité de \(E\), sont les endomorphismes \(p\) et \(q\) définis par :
\[\begin{cases} \displaystyle p=\frac{1}{5}\left(2 \, \mathrm{Id}_{E}-u\right) \\ \displaystyle q=\frac{1}{5}\left(3 \, \mathrm{Id}_{E}+u\right) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Calculer \(p \circ q\) et \(q \circ p\).
Établir que la famille \((p, q)\) est une base de \(F\).
Déterminer les coordonnées de \(u\) et de \(u^{-1}\) dans cette base \((p, q)\).
Pour tout entier naturel \(k\), non nul, exprimez \(p^{k}\) en fonction de \(p\).
Établir que, pour tout entier naturel \(n\), \(u^{n}\) peut s’écrire comme combinaison linéaire de \(p, q\). Donner les coordonnées de \(u^{n}\) dans la base \((p, q)\).
Le résultat obtenu est-il encore valable pour tout entier relatif \(n\) ?
Application numérique.
Dans la suite du problème \(E=\mathbb{R}^{3}\), on note \(u\) l’endomorphisme de \(E\) canoniquement associé à la matrice \(A\) :
\[A=\begin{pmatrix} 7 & 5 & -5 \\ 10 & 2 & -5 \\ 20 & 10 & -13 \end{pmatrix}\]
Vérifier que \(u\) satisfait à la relation \(\mathcal{R}\).
Déterminer les valeurs propres possibles de \(A\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
On note \(P\) et \(Q\) respectivement les matrices associées à \(p\) et \(q\) dans la base canonique de \(E\).
Écrire ces matrices et en déduire la matrice \(A^{n}\) pour tout entier relatif \(n\). Écrire \(A^{n}\) sous la forme d’un tableau de nombres.
On considère les suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), \(\left(K_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), \(\left(L_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définies par les relations : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n}= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\ln (n) , \quad K_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1-\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}}{t} \,\mathrm{d}t, \quad L_{n}=\int_{1}^{n} \frac{\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}}{t} \,\mathrm{d}t\]
On se propose de démontrer dans ce problème que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge vers l’intégrale \(I\) suivante :
\[I=\int_{0}^{1} \frac{1-\exp (-t)- \exp \! \left(- \frac{1}{t}\right)}{t} \,\mathrm{d}t\]
Étude de la convergence de \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
Montrer, en utilisant éventuellement le théorème des accroissements finis, que l’on a: \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \frac{1}{n+1} \leqslant \ln (n+1)-\ln (n) \leqslant \frac{1}{n}\]
En déduire, par sommation, que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est bornée.
Prouver que \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est monotone puis convergente. On note \(\displaystyle \gamma=\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).
Deux inégalités.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On se propose d’établir les deux inégalités suivantes : \begin{align*} &\forall t \in[0, n], \ \exp (-t)-\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \geqslant 0 \tag{$\mathcal{R}_{1}$} \\ &\forall t \in[0, n], \ \exp (-t)-\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \leqslant \frac{t^{2}}{n} \, \exp (-t) \tag{$\mathcal{R}_{2}$} \end{align*}
Soit \(\varphi\) la fonction définie par l’expression suivante :
\[\forall u>-1, \ \varphi(u)=u-\ln (1+u)\]
Étudier les variations de \(\varphi\) puis démontrer l’inégalité \(\mathcal{R}_{1}\).
Vérifier que l’inégalité \(\mathcal{R}_{2}\) est trivialement satisfaite pour \(t\) dans l’intervalle \([\sqrt{n}, n]\).
Soit \(\psi\) la fonction définie par l’expression suivante :
\[\forall t \in\left[0, \sqrt{n}\right[, \ \psi(t)=t+n \ln \! \left(1-\frac{t}{n}\right)-\ln \! \left(1-\frac{t^{2}}{n}\right)\]
Étudier les variations de \(\psi\) puis démontrer l’inégalité \(\mathcal{R}_{2}\).
Étude de la convergence des suites \(\left(K_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(L_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
On considère les deux intégrales \(K\) et \(L\) définies par :
\[K=\int_{0}^{1} \frac{1-\exp (-t)}{t} \,\mathrm{d}t, \quad L=\int_{0}^{1} \frac{\exp \! \left(-\frac{1}{t}\right)}{t} \,\mathrm{d}t\]
Justifier la convergence des intégrales \(K_{n}, K, L\) et \(I\).
Utiliser les inégalités précédentes pour prouver que :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ 0 \leqslant K_{n}-K \leqslant \frac{1}{n} \int_{0}^{1} t \exp (-t) \,\mathrm{d}t\]
En déduire la convergence de la suite \(\left(K_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
Utiliser les inégalités précédentes pour établir que pour tout entier naturel \(n\) non nul :
\[0 \leqslant \int_{1}^{n} \frac{\exp (-t)}{t} \,\mathrm{d}t-L_{n} \leqslant \frac{1}{n} \int_{1}^{n} t \, \exp (-t) \,\mathrm{d}t\]
En déduire la convergence de la suite \(\left(L_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) vers \(L\).
Convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) vers l’intégrale \(I\).
Vérifier que pour tout entier naturel \(k\) :
\[\int_{0}^{1}\left(1-u \right)^{k} \,\mathrm{d}u=\frac{1}{k+1}\]
Effectuer un changement de variable pour montrer que pour tout entier non nul :
\[u_{n}+\ln (n)=\int_{0}^{n} \frac{1-\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}}{t} \,\mathrm{d}t\]
Établir que pour tout entier non nul :
\[u_{n}=K_{n}-L_{n}\]
Conclure en montrant que :
\[\int_{0}^{1} \frac{1-\exp (-t)-\exp \! \left(-\frac{1}{t}\right)}{t} \,\mathrm{d}t=\gamma\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
