ECRICOME 2009Maths approfondies

Exercice 1

\(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels.

Pour tout élément \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on appelle « trace de \(A\) », et on note \(\mathrm{Tr}(A)\), la somme des éléments diagonaux, c’est-à-dire : \[\mathrm{Tr}(A)= \sum_{i=1}^n a_{i,i}\]

On rappelle que \(\mathrm{Tr}\) est une application linéaire de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) et que : \[\forall A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \forall B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)\]

Pour toutes matrices \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) et \(N=(n_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on pose : \[\left \langle M \,\vert \, N \right \rangle = \mathrm{Tr}({}^t\!MN) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n m_{i,j}n_{i,j}\]

Soit \(A\) une matrice symétrique. On considère :

• l’application \(\Phi_A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) définie par : \(\forall M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ M\mapsto AM-MA\),

• l’ensemble \(\mathrm{Sp}(A)\) formé des valeurs propres de \(A\),

• l’ensemble \(\mathrm{Sp}(\Phi_A)\) formé des valeurs propres de \(\Phi_A\),

• l’ensemble \(\Gamma = \left\lbrace \lambda - \mu, \, (\lambda,\mu) \in \left( \mathrm{Sp}(A) \right)^2 \right\rbrace\) formé des différences de deux valeurs propres quelconques de \(A\).

Le but de cet exercice est d’établir que les deux propriétés suivantes sont valables pour toutes matrice symétrique à coefficients réels \(A\) :

• \(\Phi_A\) est un endomorphisme diagonalisable,

• les valeurs propres de \(\Phi_A\) forment l’ensemble \(\Gamma\), c’est-à-dire que : \(\mathrm{Sp}(\Phi_A) = \Gamma\).

Partie I : Étude d’un cas particulier

Dans cette partie uniquement, on suppose que \(n=2\), \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\1 & 1 \end{pmatrix}\) et on admet les deux propriétés suivantes :

• \(\Phi_A\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\),

• la famille \((V_1,V_2,V_3,V_4)\) est une base de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), où l’on a posé : \[V_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix},\quad V_2=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad V_3=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad V_4=\begin{pmatrix} 0 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}\]

1. Justifier que la matrice \(T\) de l’endomorphisme \(\Phi_A\) dans la base \((V_1,V_2,V_3,V_4)\) s’écrit : \[T=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\] En déduire la diagonalisabilité de \(T\).

2. Vérifier que \(T^3=4T\). Qu’en déduit-on sur les valeurs propres de \(T\) ?

3. Déterminer une base de l’espace propre associé à \(0\) de la matrice \(T\).

4. Calculer \(TX_1\) et \(TX_2\) où \(X_1=\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\-1 \end{pmatrix}\) et \(X_2=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ -1 \\-1 \end{pmatrix}\).

5. Expliciter alors une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(T=PDP^{-1}\) (on ne demande pas le calcul de \(P^{-1}\)).

Partie II : Réduction de \(\Phi_A\) dans le cas général

On revient désormais au cas général, \(A\) étant une matrice symétrique quelconque de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

6. Montrer que \(\Phi_A\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

7. Prouver que l’application \((M,N) \in \left( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \right)^2 \mapsto \left \langle M \,\vert \, N \right \rangle\) définit un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

8. Établir que, pour toutes matrices \(M,N\) appartenant à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on a : \[\left \langle \Phi_A(M) \,\vert \, N \right \rangle = \left \langle M \,\vert \, \Phi_A(N) \right \rangle.\] En déduire que \(\Phi_A\) est un endomorphisme diagonalisable.

9. Soit \((\lambda,\mu)\) un couple d’éléments de \(\mathrm{Sp}(A)\), \(X\) un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\) et \(Y\) un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\mu\). On pose alors : \[M_{X,Y} = X \, {}^t\!\, Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\]

   1. Justifier que \(M_{X,Y}\neq 0\) puis que : \({}^t\!\, YA= \mu \, {}^t\!\, Y\).

   2. Établir que : \(\Phi_A(M_{X,Y}) = \left( \lambda - \mu \right) M_{X,Y}\) puis que : \(\Gamma \subset \mathrm{Sp}(\Phi_A)\).

10. Soient \(\alpha\) une valeur propre de \(\Phi_A\) et \(M\) un vecteur propre associé.

    1. On suppose que, pour tout vecteur propre \(Z\) de \(A\), on a : \(MZ=0\).

       Montrer que \(M=0\).

       En déduire qu’il existe au moins un vecteur propre \(Z_0\) de \(A\) tel que \(MZ_0\neq 0\). On note \(\mu\) la valeur propre de \(A\) associée à \(Z_0\).

    2. En revenant à l’expression de \(\Phi_A(M)\), justifier que \(MZ_0\) est un vecteur propre de \(A\) pour une valeur propre dont on précisera une expression en fonction de \(\alpha\) et \(\mu\).

    3. Conclure.

Exercice 2

Le but de l’exercice est l’étude de la fonction \(\displaystyle f: x\mapsto \int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-2t} \sqrt{1+x^2 \mathrm{e}^{2t}}\,\mathrm{d}t\).

1. 1. Rappeler les valeurs du réel \(a\) telles que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-at}\,\mathrm{d}t\) soit convergente et donner, dans ce cas, sa valeur.

   2. Soit \(x\) un réel fixé. Établir la convergence de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-2t} \sqrt{1+x^2 \mathrm{e}^{2t}}\,\mathrm{d}t\).

      Par conséquent, la fonction \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\) et elle est clairement paire. On va donc l’étudier sur \(\mathbb{R}^+\).

2. 1. Justifier l’encadrement suivant : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \forall t\in\mathbb{R}^+,\ x \, \mathrm{e}^t \leqslant \sqrt{1+x^2 \mathrm{e}^{2t}} \leqslant x \, \mathrm{e}^t + \frac{\mathrm{e}^{-t}}{2x}\]

   2. Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ x \leqslant f(x) \leqslant x+ \frac{1}{6x}\]

   3. Préciser alors la nature de la branche infinie de la courbe représentative de \(f\) au voisinage de \({+\infty}\).

3. 1. À l’aide du changement de variable \(u=x\,\mathrm{e}^t\), que l’on justifiera, prouver la formule suivante : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x) = x^2 \int_x^{+\infty}\frac{\sqrt{1+u^2}}{u^3}\,\mathrm{d}u\]

   2. Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = \frac{2f(x) - \sqrt{1+x^2}}{x}\]

   3. Justifier : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ 2f(x) = \sqrt{1+x^2} + x^2 \int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{d}u}{u \sqrt{1+u^2}}\]

      En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).

4. 1. Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{d}u}{u \sqrt{1+u^2}} = - \frac{\ln(x)}{\sqrt{1+x^2}} + \int_x^{+\infty}\frac{u \ln(u)}{(1+u^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}u\] et que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{u \ln(u)}{(1+u^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}u\) est convergente.

   2. À l’aide des questions précédentes, démontrer que : \[f'(x) \;\underset{x\to 0^+}{\sim}\; -x\ln(x) \quad\text{et}\quad f(x) - \frac{1}{2} \;\underset{x\to 0^+}{\sim}\; - \frac{x^2 \ln(x)}{2}\]

   3. En déduire que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^+\) et préciser la valeur de \(f'(0)\).

Problème

Dans tout le problème, \(a\) et \(b\) désignent des entiers naturels non nuls et on note \(N=a+b\).

On considère une urne contenant initialement \(a\) boules blanches et \(b\) boules noires, dans laquelle on effectue des tirages successifs au hasard en procédant de la façon suivante :

• lorsque la boule tirée est blanche, elle est remise dans l’urne avant de procéder au tirage suivant,

• lorsque la boule tirée est noire, elle n’est pas remise dans l’urne et l’on rajoute une boule blanche dans l’urne avant de procéder au tirage suivant.

Partie I

Soit \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) un espace probabilisé et \(Y: \Omega \to \mathbb{R}\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l’obtention de la première boule blanche.

1. Préciser soigneusement l’ensemble des valeurs prises par la variable \(Y\).

2. Pour tout entier \(k\) compris entre \(1\) et \(b+1\), calculer la valeur de la probabilité \(\mathbb{P}(Y=k)\).

3. Vérifier que : \[\mathbb{P}(Y=b+1) = \frac{b!}{N^b}\] et que, pour tout entier \(k\) compris entre \(1\) et \(b\), la formule suivante est vraie : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,b} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(Y=k)=\frac{b!}{(b-(k-1))!\,N^{k-1}} - \frac{b!}{(b-k)!\,N^k}\]

4. Soit \(M\) un entier naturel non nul et \(a_0,a_1,\dots,a_M\) une famille de réels. Établir que : \[\sum_{k=1}^M k \left( a_{k-1} - a_k \right) = \sum_{k=0}^{M-1} a_k - Ma_M\]

5. En déduire que : \(\displaystyle\mathbb{E}(Y) = \sum_{k=0}^b \frac{b!}{(b-k)!\,N^k}\).

Partie II

Dans cette partie, on note :

• pour tout \(n\geqslant 1\), \(q_n\) la probabilité de l’événement, noté \(N_n\) : « la \(n\)-ième boule tirée est noire »,

• pour tout entier \(n\geqslant 0\), \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues au cours des \(n\) premiers tirages ; par convention, \(X_0=0\),

• pour tous entiers \(n\geqslant 0\) et \(k\geqslant 0\), \(p_{n,k}\) la probabilité de l’événement « au cours des \(n\) premiers tirages, on a obtenu exactement \(k\) boules noires ».

On remarquera que \(p_{0,0}=1\) et que \(p_{n,k} = 0\) si \(k>n\) ou si \(k>b\).

6. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Calculer \(p_{n,0}\) puis \(p_{n,n}\). Que vaut la somme \(\displaystyle \sum_{k=0}^n p_{n,k}\) ?

7. Prouver que : \[\forall (n,k)\in\mathbb{N}^\ast,\ Np_{n,k} = \left( a+k \right) p_{n-1,k} + \left( b+1-k \right) p_{n-1,k-1} \tag{1}\]

8. 1. En utilisant l’égalité (1), démontrer que, pour tout \(n\geqslant 1\) : \[N\, \mathbb{E}(X_n) = \sum_{k=0}^{n-1} \left[ b+k\left(N-1\right) \right] p_{n-1,k}\] puis justifier que : \[\mathbb{E}(X_n)=\left(1-\frac{1}{N}\right) \mathbb{E}(X_{n-1}) + \frac{b}{N}\]

   2. À l’aide de la formule ci-dessus, écrire une fonction en langage Python fournissant le calcul de \(\mathbb{E}(X_{2009})\) lorsque \(b=10\) et \(N=100\).

   3. Prouver finalement que, pour tout entier naturel \(n\) : \[\mathbb{E}(X_n) = b \left[ 1- \left( 1- \frac{1}{N} \right) ^n \right]\]

9. 1. À l’aide de la formule des probabilités totales, démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ N q_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \left( b-k \right) p_{n,k}\]

   2. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), exprimer alors \(q_{n+1}\) en fonction de \(\mathbb{E}(X_n)\) et en déduire l’expression de \(q_{n+1}\) en fonction de \(n,N\) et \(b\).

10. On introduit la suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = \mathbb{E}( X_n \left( X_n -1 \right))\]

    1. À l’aide de la formule (1), montrer que l’on a : \[Nu_n = \sum_{k=1}^{n-1} \left[ k \left( k-1 \right) (a+b-2) + 2 \left( b-1 \right) k \right] p_{n-1,k}\]

    2. En déduire que la suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) satisfait à la relation de récurrence suivante : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n = \left( 1- \frac{2}{N} \right) u_{n-1} + \frac{2b \left( b-1 \right)}{N} \left[ 1- \left( 1- \frac{1}{N} \right)^{n-1} \right]\]

    3. À l’aide d’une récurrence, démontrer que la formule suivante est valable pour tout entier naturel \(n\) : \[u_n = b \left( b-1 \right) \left[ 1+ \left( 1- \frac{2}{N} \right)^n -2\left( 1- \frac{1}{N} \right)^{n} \right]\]

    4. Donner alors la valeur de \(\mathbb{V}(X_n)\) puis sa limite lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).