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Soit \(u\) un vecteur unitaire de \(\mathbb{R}^3\) de coordonnées \((a, b, c)\) dans la base canonique \(\mathcal{B}=(i,j,k)\) de \(\mathbb{R}^3\). On a donc \(a^2+b^2+c^2=1\).
On note \(p\) le projecteur orthogonal sur la droite \(\mathcal{D}\) de vecteur directeur \(u\) et \(q\) le projecteur orthogonal sur \(\mathcal{D}^{\perp}\). \(\mathrm{Id}\) désigne l’application identité de \(\mathbb{R}^3\) et \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) le produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^3\).
Que vaut \(p+q\) ?
Exprimer, pour \(v \in \mathbb{R}^3\), \(p(v)\) à l’aide de \(\left \langle v, u \right \rangle\) et de \(u\). Calculer alors \(p(i)\), \(p(j)\) et \(p(k)\).
En déduire les matrices \(P\) et \(Q\) de \(p\) et \(q\) dans la base \(\mathcal{B}\).
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(M=\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix}\) dans la base \(\mathcal{B}\).
Montrer que : \[M^2=-Q\]
Calculer \(f(u)\). En déduire que \(\mathrm{Rg}(f) \leqslant 2\). Déterminer l’image et le noyau de \(f\) et les exprimer en fonction de \(\mathcal{D}\).
Déduire de la question précédente la valeur de \(f \circ p\). Montrer alors que \(X+X^3\) est un polynôme annulateur de \(f\).
Quelles sont les valeurs propres de \(f\) ? \(f\) est-il diagonalisable ?
Pour tout réel \(\theta\), on définit l’endomorphisme \(g_\theta\) par : \[g_\theta= \mathrm{Id} + \sin ( \theta) \, f+ \left( 1-\cos( \theta) \right) f^2\] où \(f^2=f \circ f\).
Pour \(\theta\) et \(\theta^{\prime}\) réels, calculer \(g_\theta \circ g_{\theta^{\prime}}\) et montrer qu’il se met sous la forme \(g_{\theta^{\prime \prime}}\) avec \(\theta^{\prime \prime}\) réel.
En déduire que, pour tout réel \(\theta, g_\theta\) est inversible et déterminer son inverse.
On considère, pour \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\), la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}\) par : \[\forall x\in \mathbb{R}_{+},\ f_{n}(x)={\frac{1}{n}}-{\frac{1}{n+x}}\]
Montrer que, pour tout réel positif \(x\), la série de terme général \(% f_{n}(x)\) est convergente. On note \(F(x)\) sa somme.
Calculer \(F(0)\) et \(F(1)\).
Montrer que, pour tout réel positif \(x\), la série de terme général \(% f_{n}^{\prime }(x)\) est convergente. On note \(G(x)\) sa somme.
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{\ast }\) par : \(\displaystyle\forall t\in \mathbb{R}_{+}^{\ast },\ \varphi (t)={% \frac{1}{t}}\) .
Soit \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\). À l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que : \[\forall (x,x_{0})\in \left[ n,+\infty \right[ ^{2},\ \left\vert {\varphi (x)-\varphi (x_{0})-(x-x_{0})\varphi ^{\prime }(x_{0})}\right\vert \leqslant {% \frac{(x-x_{0})^{2}}{n^{3}}}\]
En déduire, pour \(x\in \mathbb{R}_{+}\) et \(h\not=0\) vérifiant \(x+h\in \mathbb{R}_{+}\), la nature de la série de terme général \(\left\vert {% f_{n}(x+h)-f_{n}(x)-hf_{n}^{\prime }(x)}\right\vert\).
Montrer qu’il existe un réel \(K\) tel que, pour \(x\in \mathbb{R}_{+}\) et \(h\not=0\) vérifiant \(x+h\in \mathbb{R}_{+}\), \[\left\vert {{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}-G(x)}\right\vert \leqslant K\left\vert h\right\vert\]
En déduire que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}\) et que \(% F^{\prime }=G\).
Soit \(x\in \mathbb{R}_{+}\).
Justifier que, pour \(k\in \mathbb{N}^{\ast }\), \[f_{k+1}(x)\leqslant \int_{k}^{k+1}\left( {\frac{1}{t}}-{\frac{1}{t+x}}\right)\mathrm{d}t\leqslant f_{k}(x)\]
En déduire que, pour \(n\geqslant 2\) : \[\int_{1}^{n+1}\left( {\frac{1}{t}}-{\frac{1}{t+x}}\right) \mathrm{d}t\leqslant \sum_{k=1}^{n}f_{k}(x)\leqslant {\frac{x}{x+1}}+\int_{1}^{n}\left( {\frac{1}{t}}-{% \frac{1}{t+x}}\right) \mathrm{d}t\]
En déduire que : \(\displaystyle\ln (1+x)\leqslant F(x)\leqslant {\frac{x}{% x+1}}+\ln (1+x)\).
Déterminer un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
L’objet de ce problème est la présentation d’une méthode probabiliste de calcul d’une intégrale (méthode de Monte-Carlo) et de l’améliorer de deux façons.
Dans tout le problème, \(U\) désigne une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), de loi uniforme sur \([0,1]\), \(g\) une fonction continue sur \([0,1]\) et on pose : \[J=\int_0^1 g(t)\,\mathrm{d}t\]
L’espérance d’une variable aléatoire \(X\) sera notée \(\mathbb{E}(X)\) et sa variance \(\mathbb{V}(X)\) (si elles existent). On admet que, pour tout entier naturel non nul \(n\), si \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sont des variables aléatoires à densités, mutuellement indépendantes, alors des variables aléatoires de la forme \(f_1(X_1), f_2(X_2), \ldots, f_n(X_n)\) où les \(f_i\) sont des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), distinctes ou non, sont également mutuellement indépendantes.
Rappeler une densité et la fonction de répartition de \(U\).
Justifier que la variable aléatoire \(g(U)\) admet une espérance égale à \(J\) et une variance \(\sigma^2\) (où \(\sigma\geqslant 0\)) que l’on ne demande pas de déterminer.
Soit \((U_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que \(U\). On suppose que \(\sigma\) n’est pas nul et on note : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ S_n=\sum_{i=1}^n g(U_i)\] Justifier que la suite de variables aléatoires \(\left( \dfrac{S_n}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en probabilité vers \(J\).
On pose : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ Z_n=\sqrt{n}\left( \frac{\frac{S_n}{n} - J}{\sigma} \right)\]
Justifier que la suite \((Z_n)\) converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
On donne : \(\Phi(1,96) = 0,975\), où \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Déterminer un intervalle de confiance asymptotique pour \(J\) au niveau de confiance \(95\%\), faisant intervenir \(S_n\).
Application.
À l’aide du changement de variable \(t=\sin(u)\), montrer que : \[\int_0^1 4\sqrt{1-t^2}\,\mathrm{d}t= \pi\]
Proposer un programme Python utilisant
les questions précédentes et renvoyant une estimation de \(\pi\).
Quelle est la loi de \(1-U\) ?
On considère la variable aléatoire \(Y=\dfrac{g(U)+g(1-U)}{2}\). Quelle est l’espérance de \(Y\) ?
On suppose que \(g\) est strictement croissante sur \([0,1]\).
Justifier que : \[\forall (u,v)\in [0,1]^2,\ \left[g(u) - g(v) \right] \left[ g(1-u) - g(1-v)\right] \leqslant 0\]
Soit \(V\) une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1]\) et indépendante de \(U\). Quel est le signe de \(\mathbb{E}\! \left( \left[g(U) - g(V) \right] \left[ g(1-U) - g(1-V)\right] \right)\) ?
En remarquant que \(g(U)\, g(1-U)\) et \(g(V)\, g(1-V)\) ont la même espérance, en déduire que : \[\mathbb{E}\! \left( g(U)\,g(1-U) \right) \leqslant \left[ \mathbb{E}\!\left( g(U) \right)\right]^2\]
On admet que ce résultat est encore vrai si \(g\) est strictement décroissante sur \([0,1]\).
On suppose que \(g\) est strictement monotone sur \([0,1]\). Prouver que : \[\mathbb{V}(Y) \leqslant \frac{\mathbb{V}(g(U))}{2}\]
Donner un nouvel intervalle de confiance pour \(J\) au niveau de confiance \(95\%\), basé sur cette méthode.
On note \(\ell_n\) la longueur de l’intervalle de confiance obtenu dans la partie I pour une valeur fixée de \(n\). Avec cette nouvelle méthode, combien de tirages \(N\) de la variable aléatoire uniforme suffit-il de faire pour obtenir la même longueur \(\ell_n\) d’intervalle de confiance ?
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que : \(0<a<b<1\). On définit les trois intervalles \(I_1,I_2\) et \(I_3\) par : \[I_1=[0,a[,\quad I_2=[a,b[ \quad\text{et}\quad[b,1].\]
On considère quatre variables aléatoires indépendantes \(U_1,U_2,U_3\) et \(T\), de lois uniformes respectivement sur \(I_1,I_2,I_3\) et \([0,1]\). On suppose que la fonction \(g\) est telle que \(g(U_1),g(U_2)\) et \(g(U_3)\) sont des variables aléatoires à densité.
On définit la variable aléatoire \(\widetilde{U}\) par : \[\widetilde{U} = U_1\,1\kern-0.35em1_{T\in I_1]} + U_2\,1\kern-0.35em1_{T\in I_2]} + U_3\,1\kern-0.35em1_{T\in I_3]}\] où \(1\kern-0.35em1_A\) désigne la fonction indicatrice d’un événement \(A\). \(\widetilde{U}\) est donc la variable aléatoire définie, pour tout élément \(\omega\) de l’univers \(\Omega\) par : \[\widetilde{U}(\omega) = \begin{cases} U_1(\omega) &\text{si } T(\omega) \in I_1 \\ U_2(\omega) &\text{si } T(\omega) \in I_2 \\ U_3(\omega) &\text{si } T(\omega) \in I_3 \end{cases}.\]
À l’aide de la formule des probabilités totales, montrer que, pour tout réel \(x\) : \[\mathbb{P}(g(\widetilde{U}) \leqslant x) = a\;\mathbb{P}(g(U_1) \leqslant x) + \left( b-a \right) \mathbb{P}(g(U_2) \leqslant x) + \left( 1-b\right) \mathbb{P}(g(U_3) \leqslant x).\]
On suppose que \(g(U_1),g(U_2)\) et \(g(U_3)\) sont des variables aléatoires à densité. Montrer que \(g(\widetilde{U})\) est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité en fonction de densités \(f_{g(U_1)},f_{g(U_2)}\) et \(f_{g(U_3)}\) respectivement de \(U_1,U_2\) et \(U_3\).
Prouver que \(\widetilde{U}\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\).
Déduire de ce qui précède que : \[\mathbb{E}(g(\widetilde{U})) = a\;\mathbb{E}(g(U_1)) + \left( b-a \right) \mathbb{E}(g(U_2)) + \left( 1-b \right) \mathbb{E}(g(U_3)).\]
On tire de façon indépendante, uniforme sur chaque intervalle, \(n_1\) points dans \(I_1\), \(n_2\) points dans \(I_2\) et \(n_3\) points dans \(I_3\). On considère donc des variables aléatoires indépendantes \(U_{1,1},\dots,U_{1,n_1},\) \(U_{2,1},\dots,U_{2,n_2}\), \(U_{3,1},\dots,U_{3,n_3}\) telles que :
\(U_{1,1},\dots,U_{1,n_1}\) suivent la même loi que \(U_1\),
\(U_{2,1},\dots,U_{2,n_2}\) suivent la même loi que \(U_2\),
\(U_{3,1},\dots,U_{3,n_3}\) suivent la même loi que \(U_3\),
et on note \(Z\) la variable aléatoire définie par : \[Z=\frac{a}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} g(U_{1,i}) + \frac{b-a}{n_2} \sum_{j=1}^{n_2} g(U_{2,j}) + \frac{1-b}{n_3} \sum_{k=1}^{n_3} g(U_{3,k})\]
Montrer que : \[\mathbb{V}(Z) = \frac{a^2}{n_1}\, \mathbb{V}(g(U_1)) + \frac{(b-a)^2}{n_2}\,\mathbb{V}(g(U_2)) + \frac{(1-b)^2}{n_3}\,\mathbb{V}(g(U_3))\]
Application. On suppose que les réels \(a\) et \(b\) et la fonction \(g\) vérifient : \[a^2\;\mathbb{V}(g(U_1)) =\frac{1}{4},\quad \left( b-a \right)^2 \mathbb{V}(g(U_2))=1 \quad\text{et}\quad\left( 1-b \right)^2 \mathbb{V}(g(U_3))=\frac{1}{9}.\]
On considère la fonction \(f\) définie sur \((\mathbb{R}_+^\ast)^3\) par : \[\forall (x,y,z)\in(\mathbb{R}_+^\ast)^3,\ f(x,y,z)=\frac{1}{4x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{9z}\]
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathrm{C}^2\) sur \((\mathbb{R}_+^\ast)^3\) et calculer ses dérivées partielles d’ordre \(1\) et \(2\).
Prouver que : \[\forall H\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}) \ / \ H\neq 0,\ \forall a\in (\mathbb{R}_+^\ast)^3,\ {}^t\!H \,\nabla^2(f)(a)\,H >0\]
\(f\) admet-elle des extremums sur \((\mathbb{R}_+^\ast)^3\) ?
On suppose que l’on tire \(110\) points, de façon indépendante, uniforme sur chacun des intervalles \((n_1\) points dans \(I_1\), \(n_2\) dans \(I_2\) et \(n_3\) dans \(I_3\). Quelles valeurs faut-il donner à \(n_1,n_2,n_3\) pour que \(\mathbb{E}(Z)\) fournisse une estimation de \(J\) avec le plus petit risque d’erreur possible suivant cette méthode ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
