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On considère la fonction \(g:x\mapsto \ln(2-\mathrm{e}^x)\), définie sur \(]{-\infty},\ln(2)[\).
Expliciter les fonctions \(g'\) et \(g''\).
En déduire que : \[\ln(2-\mathrm{e}^x) \underset 0= - x - x^2 + \circ (x^2)\]
Montrer que pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à \(2\), on a : \[2- \mathrm{e}^{1/k}\in \left] 0,1 \right[\]
En déduire le signe de \(\ln {(2- \mathrm{e}^{1/k})}\), pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à \(2\).
Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln {% (2- \mathrm{e}^{1/k})}\) ?
Pour \(n\) entier supérieur ou égal à \(2\), on pose : \[V_n=\sum_{k=2}^n\ln {(2- \ e^{1/k})} \quad \text{et} \quad u_n=\exp( {V_n})\] Déterminer \[\lim_{n\rightarrow +\infty }V_n \quad \text{et} \quad \lim_{n\rightarrow +\infty }u_n\]
Montrer que \[\ln {(nu_n)}=\sum_{k=2}^n\left[ \ln {(2- \mathrm{e}^{1/k})}-\ln \left( 1-\frac 1k \right) \right]\]
Déterminer un équivalent, quand \(k\) tend vers \(+\infty\), de \(\ln {(2- \mathrm{e}^{1/k})}-\ln \left( 1-\dfrac 1k \right).\)
En déduire que \(u_n\) est équivalent, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), à \(\dfrac Kn\) avec \(K>0\).
Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?
On pose \[S_n=\sum_{k=2}^n(-1)^ku_k\]
Étudier le sens de variations de la suite \((u_n)_{n\geqslant 2}\).
Montrer que les suites \((S_{2n})_{n\geqslant 1}\) et \(% (S_{2n+1})_{n\geqslant 1}\) sont deux suites adjacentes.
En déduire la nature de la série de terme général \((-1)^nu_n\).
\(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n \geqslant 2\), à coefficients réels.
Pour tout élément \(A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on appelle « trace de \(A\) », et on note \(\operatorname{Tr}(A)\), la somme des éléments diagonaux, c’est-à-dire : \[\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{i i}\] On rappelle que \(\operatorname{Tr}\) est une application linéaire de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) telle que : \[\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \ \operatorname{Tr}(A B)=\operatorname{Tr}(B A)\] On note \({}^t\!A\) la transposée de la matrice \(A\).
Soit \(\varphi\) l’application définie \(\operatorname{sur} \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) par : \[\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \ \varphi(A, B)=\operatorname{Tr} ({}^t\!AB)\] Exprimer \(\varphi(A, B)\) en fonction des coefficients de \(A\) et \(B\) et montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note \(N\) la norme associée à ce produit scalaire.
Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Le but de cette question est de prouver que : \[N(A B) \leqslant N(A) \, N(B)\]
Justifier l’existence de \(P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que \[{}^t\!P\left({ }^t A A\right) P=D\] où \(P\) est une matrice orthogonale et \(D\) une matrice diagonale. On notera par la suite \(\lambda_i\) le coefficient \(d_{i i}\) de la matrice \(D=\left(d_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \({}^t\!A A\) et \(X\) un vecteur propre associé. En calculant \({}^t\!X \, {}^t\!A A X\) de deux manières différentes, montrer que \(\lambda \geqslant 0\).
On pose \(S={}^t\!P\left(B\,{}^t\!B\right) P=\left(s_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\). Montrer que : \[[N(A)]^2=\operatorname{Tr}(D), \quad[N(B)]^2=\operatorname{Tr}(S), \quad[N(A B)]^2=\operatorname{Tr}(S D)\]
Montrer que : \[\operatorname{Tr}(S D)=\sum_{i=1}^n \lambda_i s_{i i}\]
On note \(E_i\) le \(i^{\text {ème }}\) vecteur de la base canonique de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), espace des matrices à \(n\) lignes et une colonne, à coefficients réels. Montrer que \[{}^t\!E_i S E_i=\left\| {}^t\!B P E_i\right\|^2\] où \(\left\| \cdot \right\|\) désigne la norme euclidienne canonique de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), puis calculer \({}^t\!E_i S E_i\) en fonction des coefficients de \(S\).
Qu’en déduit-on, pour \(i\) entier compris entre 1 et \(n\), sur le signe de \(s_{i i}\) ?
Montrer que \[\sum_{i=1}^n \lambda_i s_{i i} \leqslant\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)\left(\sum_{i=1}^n s_{i i}\right)\] puis conclure que \[N(A B) \leqslant N(A) \, N(B)\]
On considère deux variables aléatoires à densité \(X\) et \(Y\) définies sur un même espace probabilisé, admettant des espérances \(\mathbb{E}(X)\), \(\mathbb{E}(Y)\) et des variances \(\mathbb{V}(X )\), \(\mathbb{V}(Y)\). On suppose \(\mathbb{V}(X) > 0\). On définit la covariance de \(X\) et \(Y\) par : \[\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}\left[\left(X - \mathbb{E}(X)\right)\left(Y - \mathbb{E}(Y)\right)\right] = \mathbb{E}(XY) -\mathbb{E}(X)\,\mathbb{E}(Y)\]
Montrer que pour tout nombre réel \(\lambda\) : \[\mathbb{V}(\lambda X + Y) = \lambda^2\;\mathbb{V}(X) + 2\lambda \,\mathrm{Cov}(X, Y)+ \mathbb{V}(Y)\]
En étudiant le signe du trinôme précédent, montrer que : \[\left(\mathrm{Cov}(X,Y)\right)^2\leqslant \mathbb{V}(X)\,\mathbb{V}(Y)\]
À quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l’égalité \[\left(\mathrm{Cov}(X,Y)\right)^2= \mathbb{V}(X)\,\mathbb{V}(Y)\ ?\]
Dans cette partie, \(n\) désigne un entier non nul, \(A\) et \(S\) deux réels positifs ou nuls vérifiant \(S> nA\).
On définit sur \([0, +\infty[\,\times\,]0, +\infty[\) la fonction \(L_n\) par : \[L_n(a,b)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{b^n}\,\mathrm{e}^{-\frac{1}{b}(-na+S)}& \text{si } 0\leqslant a\leqslant A\\ \qquad \quad 0 &\text{si } a>A\rule[0pt]{0pt}{15pt}\end{cases}\]
Justifier que \(L_n\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur l’ouvert \(] 0,A[\,\times\,]0,+\infty[\).
Montrer que \(L_n\) n’admet pas d’extremum sur cet ouvert.
Montrer que : \[\forall a\in [0,A[,\ \forall b\in\,]0,+\infty[,\ L_n(a, b) < L_n(A, b)\] Montrer que ce résultat est encore vrai pour tout \(a\) de \(]A,+\infty[\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par : \[\forall b\in\mathbb{R}_+^\ast,\ g(b)= L_n(A, b)\]
Montrer que \(g\) admet un maximum absolu sur \(]0,+\infty[\), atteint en un point \(b_0\) que l’on exprimera en fonction de \(A\), \(S\), \(n\).
Déduire de ce qui précède que \(L_n\) admet sur \([0, +\infty[\,\times\,]0,+\infty[\) un maximum absolu atteint en un unique point \((a_0, b_0)\) que l’on précisera.
Soient \(a\geqslant 0\) et \(b> 0\). On considère la fonction \(f_{a,b}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_{a,b}(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{b}\,\mathrm{e}^{-\frac{x-a}{b}}&\text{si }x\geqslant a\\ \quad \ \ 0 &\text{sinon}\end{cases}\]
Vérifier que \(f_{a,b}\) est bien une densité de variable aléatoire. On note \(\mathcal{E}(a,b)\) la loi associée et on considère désormais une variable aléatoire \(X\) de loi \(\mathcal E(a,b)\).
Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
On pose \(Y=X-a\). Déterminer la loi de \(Y\) et la reconnaître. En déduire \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{V}(X)\).
Soit \(p\in\mathbb{N}\). Montrer que \(X\) admet un moment d’ordre \(p\), \(\mathbb{E}(X^p)\), et pour \(p>0\) déterminer une relation liant \(\mathbb{E}(X^p)\) et \(\mathbb{E}(X^{p-1})\).
Simulation de la loi \(\mathcal E(a,b)\).
Soit \(U\) une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1[\). Montrer que la variable aléatoire \(-b\,\ln(1-U)+a\) suit une loi \(\mathcal E(a,b)\).
On rappelle qu’en langage Python, la
fonction rd.random (qui suppose l’ajout de la
sommande import numpy.random as rd dans le
programme) permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur
\([0,1[\).
Écrire, en langage Python, une fonction
tirage, de paramètres
a et b simulant une
variable aléatoire de loi \(\mathcal
E(a,b)\).
Dans cette partie, \(a\) et \(b\) désignent toujours deux réels tels que \(a\geqslant 0\) et \(b>0\). On considère désormais une suite de variables aléatoires \((X_i)_{i\geqslant 1}\) indépendantes identiquement distribuées de loi \(\mathcal E(a,b)\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on considère les variables aléatoires \(S_n\), et \(Y_n\) définies par \[S_n = X_1 + X_2 + \dots+ X_n \quad\text{et}\quad Y_n= \min( X_1,X_2,\dots,X_n).\]
Le but de cette partie est de déterminer des estimateurs de \(a\) et \(b\).
La fonction tirage étant supposée
définie, compléter le corps du programme
Python suivant, de manière à ce qu’il simule
\(S_n\) et \(Y_n\) (les valeurs étant stockées
respectivement dans S et
Y).
Déterminer l’espérance et la variance de \(S_n\).
Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire \((X_1-a)+(X_2-a)+\cdots+(X_n-a)\) ?
En déduire une densité de \(S_n\).
Déterminer la fonction de répartition de \(Y_n\).
En déduire que \(Y_n\) suit une loi \(\mathcal E(a_n,b_n)\) (on précisera \(a_n\) et \(b_n\)).
Donner les valeurs de \(\mathbb{E}(Y_n)\) et \(\mathbb{V}(Y_n)\).
Calculer \(\mathbb{E}(Y_n-a)\) et \(\mathbb{E}((Y_n-a)^2)\).
Rappeler l’inégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2.
À l’aide de ce qui précède, prouver que \((Y_n)\) est une suite d’estimateurs de \(a\) asymptotiquement sans biais, convergente.
On pose : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ Z_n = \frac{S_n}{n}- Y_n\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Calculer \(b_{Z_n}(b)=\mathbb{E}(Z_n-b)\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). On note \(r_{Z_n}(b)=\mathbb{E}((Z_n-b)^2)\) le risque quadratique de \(Z_n\). Montrer que : \[r_{Z_n} (b) =\frac{2b^2}{n^2}+\frac{b^2}{n}-\frac{2}{n}\,\mathrm{Cov}(S_n,Y_n)\]
À l’aide du préliminaire montrer que : \[\lim_{n\to+\infty} r_{Z_n}(b) = 0\] et en déduire que \((Z_n)\) est une suite d’estimateurs de \(b\) asymptotiquement sans biais, convergente.
Pour un échantillon donné \((x_1,\dots ,x_n)\), avec \(\min\{x_1,\dots ,x_n\}\not=\max\{x_1,\dots ,x_n\}\), correspondant à une réalisation des \(n\) variables aléatoires \(X_1,\dots,X_n\), on définit la fonction \(L\) sur \([0,+\infty[\, \times\, ] 0, +\infty[\) par : \[\forall (a,b)\in [0,+\infty[\, \times\, ] 0, +\infty[,\ L(a,b)=\prod_{i=1}^n f_{a,b}(x_i)\]
Montrer que \(L\) est la fonction \(L_n\) définie dans la partie I, pour des valeurs de \(A\) et \(S\) que l’on précisera en fonction des \(x_i\).
Comparer les estimations de \(a\) et \(b\) obtenues sur l’échantillon \((x_1,\dots,x_n)\) à partir de \(Y_n\) et \(Z_n\) avec les valeurs \(a_0\) et \(b_0\) obtenues dans la partie I.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
