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L’espace \(\mathbb{R}^{3}\) est muni de son produit scalaire usuel. Trois ré els \(a,\) \(b,\) \(c\) étant donnés, on pose : \[M(a,b,c)=% \begin{pmatrix} a & c & b \\ c & a+b & c \\ b & c & a% \end{pmatrix}%\]
Déterminer trois matrices \(I\), \(J\), \(K\) dont les coefficients ne dé pendent pas de \(a\), \(b\), \(c\), telles que : \[M(a,b,c)=aI+bJ+cK\] Calculer \(J^{2}\), \(K^{2}\), \(K^{3}\). Déterminer une relation entre \(I\), \(J\) et \(K^{2}\), ainsi qu’un polynôme annulateur de \(K\).
Quelles sont les valeurs propres possibles de \(K\) ?
Justifier qu’il existe une matrice \(P\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) inversible, telle que \(D={}^t\!P KP\) soit une matrice diagonale.
Déterminer \(P\) et \(D\) vérifiant les conditions précédentes et telles que \(% d_{11}<d_{22}<d_{33}\) (où \(d_{ij}\) est le coefficient d’indices \(i\) et \(j\) de \(D\)).
En écrivant \(M=M(a,b,c)\) en
fonction de \(I\), \(K\), \(K^{2}\), déterminer la matrice \({}^t\!P MP\). En déduire les valeurs
propres de la matrice \(M\).
Discuter suivant les valeurs de \(a\),
\(b\), \(c\) le nombre de valeurs propres distinctes
de \(M\) et préciser dans chaque cas
les sous-espaces propres associ és.
On suppose dans cette question \(a=4\), \(b=2\), \(c=\sqrt{2}\) et on note \(% M=M(4,2,\sqrt{2}).\)
On pose \(X^{\prime }=% \begin{pmatrix} x^{\prime } \\ y^{\prime } \\ z^{\prime }% \end{pmatrix}% = {}^t\!P X\), où \(X=% \begin{pmatrix} x \\ y \\ z% \end{pmatrix}%\).
On définit la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}^{3}\setminus {\{}(0,0,0){\}% }\) par : \(f(x,y,z)=\dfrac{ {}^t\!XMX}{\left\Vert {X}\right\Vert ^{2}}\).
Montrer que \(\left\Vert X\right\Vert ^{2}=\left\Vert X^{\prime }\right\Vert ^{2}\) puis que : \[f(x,y,z)=\dfrac{{4x^{\prime }{}^{2}+2y^{\prime }{}^{2}+8z^{\prime }{}^{2}}}{{x^{\prime }{}^{2}+y^{\prime }{}^{2}+z^{\prime }{}^{2}}}\]
Montrer que \(2\) et \(8\) sont respectivement les minimum et maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{3}\setminus {\{}(0,0,0){\}}\) et déterminer les points en lesquels ils sont atteints.
On cherche désormais à résoudre l’équation \(B^{2}=M\) d’inconnue \(B\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).
Soit \(B\) une solution de l’équation (s’il en existe).
Montrer que \(B\) et \(M\) commutent.
En déduire que si \(X\) appartient au sous-espace propre \(E_{\lambda }\) de \(M\) attaché à la valeur propre \(\lambda\), alors \(BX\) appartient aussi à \(% E_{\lambda }\).
Montrer que les vecteurs propres de \(M\) sont également vecteurs propres de \(B\).
Justifier alors que \(\Delta ={}^t\!PBP\) est une matrice diagonale.
Résoudre l’équation \(\Delta ^{2}= {}^t\!P MP\) d’inconnue \(\Delta\) et donner le nombre de solutions de l’équation \(B^{2}=M\).
On définit une suite réelle \((u_{n})_{n\geqslant 0}\) par \(u_{0}\geqslant 0\) et : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_{n}=\sqrt{n+u_{n-1}}\]
Montrer que pour tout entier \(n\), \(u_{n}\geqslant \sqrt{n}\).
Montrer que : \[\forall x\in \mathbb{R}_{+},\ \sqrt{x}\leqslant \dfrac{{1}}{{2}} \left( 1+x \right)\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n}\leqslant n+\dfrac{{u_{0}}}{% {2^{n}}}\]
puis que la suite \(\left( {\dfrac{{u_{n-1}}}{{n^{2}}}}\right) _{n\geqslant 1}\) converge vers \(0\).
Montrer que la suite \(\left( {\dfrac{{u_{n}}}{{n}}}\right) _{n\geqslant 1}\) converge vers \(0\), puis en remarquant que, pour tout entier \(n\) non nul, \(1\leqslant \dfrac{{u_{n}}}{\sqrt{n}}\leqslant \sqrt{1+\dfrac{{% u_{n-1}}}{{n}}}\), en déduire un équivalent de \(u_{n}\) en \(+\infty\).
On pose \(w_{n}=u_{n}-\sqrt{n}\). À l’aide d’un développement limité en \(% 0\) de \(\sqrt{1+x}\), montrer que la suite \((w_{n})_{n\geqslant 0}\) admet une limite \(L\) que l’on précisera.
Calculer \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\) puis \({\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }}(u_{n}-u_{n-1})\).
Justifier alors qu’il existe un entier naturel \(N_{0}\) tel que pour tout entier \(n\), si \(n\geqslant N_{0}\), alors \(u_{n}\geqslant u_{n-1}-\dfrac{1}{2}\).
Montrer que \(u_{n+1}-u_{n}\) est du signe de \(1+u_{n}-u_{n-1}\), puis que la suite \((u_{n})\) est croissante à partir d’un certain rang.
Écrire en langage Python une fonction
récursive ayant pour nom Suite qui calcule le
terme d’indice \(n\) de la suite
lorsque \(u_{0}=1\).
Déterminer pour quelles valeurs du réel \(\alpha\) l’intégrale \(J_\alpha=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)^\alpha}\) converge.
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout réel \(\alpha\) strictement supérieur à \(\dfrac{1}{2}\), on a : \[\int_0^{+\infty}\frac{t^2}{(1+t^2)^{\alpha+1}}\,\mathrm{d}t= \frac{J_\alpha}{2\alpha}\]
En déduire que : \[\forall \alpha>\frac{1}{2},\ J_{\alpha+1} = \frac{2\alpha - 1}{2\alpha}\, J_\alpha\]
Calculer \(J_1\) puis, pour tout entier naturel \(n\) non nul, calculer \(J_n\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on définit la fonction \(g_n\) sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ g_n(t) = \left( 1+ \frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\]
Justifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), il existe un réel \(k_n\) tel que la fonction \(f_n=\dfrac{1}{k_n}\,g_n\) soit une densité de probabilité. On exprimera \(k_n\) à l’aide de \(J_{\frac{n+1}{2}}\).
Dans cette question, \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) désigne un espace probabilisé et \(X\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) admettant \(f_n\) pour densité. On dit que \(X\) suit la loi de Student à \(n\) degrés de liberté.
Montrer que \(X\) admet une espérance si et seulement si \(n>1\) et la calculer dans ce cas.
Montrer que \(X\) admet une variance si et seulement si \(n>2\) et, dans ce cas, exprimer \(\mathbb{V}(X)\) en fonction de \(k_n,n\) et \(J_{\frac{n-1}{2}}\) puis vérifier que : \[\mathbb{V}(X)=\frac{n}{n-2}\]
Lorsque \(n=1\), la loi de Student à \(1\) degré de liberté s’appelle aussi loi de Cauchy et une densité en est donc : \[f_1:t\mapsto \frac{1}{\pi}\times \frac{1}{1+t^2}\]
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct \((O,\vec{i},\vec{j})\), un rayon lumineux part de l’origine \(O\) et frappe un écran représenté par la droite d’équation \(x=1\), en un point \(M\). On suppose que \(\theta\), mesure de l’angle \((\vec{i},\vec{OM})\), est une variable aléatoire de loi uniforme sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\).
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(\tan(\theta)\). En déduire que \(\tan(\theta)\) est une variable aléatoire à densité, dont on explicitera une densité.
Exprimer \(Y\), variable aléatoire égale à l’ordonnée du point \(M\), en fonction de \(\theta\). Reconnaître la loi de \(Y\).
On considère le script Python suivant :
Proposer une interprétation de ce script.
On considère un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Soit \(Y\) une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), de fonction de répartition \(F\). On note \(G\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(\left| Y \right|\).
On suppose, dans cette question, que \(Y\) est une variable aléatoire admettant une densité \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(Y\) et \(-Y\) ont la même loi si et seulement si \(f\) est paire. On suppose cette condition vérifiée. Montrer alors que \(\left| Y \right|\) est une variable aléatoire à densité et en donner une densité \(g\) en fonction de \(f\).
Réciproquement, on suppose dans cette question que \(\left| Y \right|\) est une variable aléatoire de densité \(g\) et que \(Y\) et \(-Y\) suivent la même loi.
Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \mathbb{P}(Y=x)=0\] puis exprimer \(F(x)\) en fonction de \(F(-x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), exprimer \(F(x)\) en fonction de \(G\) et de \(x\) (on pourra distinguer les cas selon le signe de \(x\)).
En déduire que \(Y\) est une variable aléatoire à densité et exprimer une densité \(f\) de \(Y\) en fonction de \(g\).
Soit \(c\) un réel strictement positif. À l’aide du changement de variable \(u=\mathrm{e}^{2t}\), montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{e}^{-\frac{c\mathrm{e}^{2t}}{2}}\,\mathrm{d}t\) converge et la calculer.
Soient \(X\) et \(X'\) deux variables aléatoires définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{R}^\ast\) et suivant la même loi normale centrée et réduite.
Montrer que la variable aléatoire \(Z=\ln\left| X \right|\) est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité. Donner également une densité de \(-Z\).
Montrer que la variable aléatoire \(\ln\left| \dfrac{X}{X'} \right|\) admet pour densité la fonction \(h\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ h(x)=\frac{2}{\pi}\times \frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}+1}.\]
Déterminer finalement une densité de \(\left| \dfrac{X}{X'} \right|\) puis reconnaître la loi de \(\dfrac{X}{X'}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
