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On considère, pour tout entier naturel \(n\), l’application \(\varphi _{n}\), dé finie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in \mathbb{R},\ \varphi _{n}(x)=(1-x)^{n} \,\mathrm{e}^{-2x}\] ainsi que l’intégrale : \(\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}\varphi _{n}(x)\,\mathrm{d}x\).
On se propose de démontrer l’existence de trois réels, \(a\), \(b\), \(c\) tels que \[I_{n}=a+\dfrac{b}{n}+\dfrac{c}{n^{2}}+\dfrac{\varepsilon (n)}{n^{2}}\quad \text{avec}\quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\varepsilon (n)=0.\]
Calculer \(I_{0}\), \(I_{1}\).
Étudier la monotonie de la suite \((I_{n})_{n\in \mathbb{N}}\).
Déterminer le signe de \(I_{n}\) pour tout entier naturel \(n\).
Qu’en déduit-on pour la suite \((I_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) ?
Majorer la fonction \(g:x\mapsto \mathrm{e}^{-2x}\) sur \([0 , 1]\).
En déduire que : \(\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\ 0\leqslant I_{n}\leqslant \dfrac{1}{n+1}.\)
Déterminer la limite de la suite \((I_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) lorsque \(% n\) tend vers l’infini.
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\forall n\in \mathbb{N},\ 2I_{n+1}=1-(n+1)I_{n}.\)
En déduire la limite de la suite \((nI_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) lorsque \(% n\) tend vers l’infini.
Déterminer la limite de la suite \((n \left( nI_n - 1 \right) )_{n\in \mathbb{N}}\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Donner alors les valeurs de \(a\), \(b\), \(c\).
On considère la fonction \(f\) définie par \[\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{\ast },\quad f(x)=x^{2}-x\ln (x)-1\quad \text{% et}\quad f(0)=-1.\] ainsi que les fonctions \(\varphi\) et \(g\) définies par :
\(\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{\ast },\ \varphi (x)=\dfrac{2}{x}% +\ln (x)\)
\(\forall (x, y)\in \mathbb{R}^{2}, \ g(x , y)=x\,\mathrm{e}^{y}-y \,\mathrm{e}^{x}.\)
On donne le tableau de valeurs de \(f\) : \[
$x=$ $0,5$ $1$ $1,5$ $2$ $2,5$ $3$ $3,5$ $4$ $f(x)\simeq $ $-0,4$ $0$ $0,6$ $1,6$ $3$ $4,7$ $6,9$ $9,5$
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) en 0. En donner une interpré tation graphique.
Étudier la convexité de \(f\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{\ast }\), puis dresser son tableau de variations en précisant la limite de \(f(x)\) lorsque \(% x\) tend vers l’infini.
Étudier la nature de la branche infinie.
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}_{+}^{\ast }\) sur un intervalle \(J\) que l’on précisera.
Quel est le sens de variation de \(f^{-1}\) ? Déterminer la limite de \(% f^{-1}(x)\) lorsque \(x\) tend vers l’infini.
Justifier que pour tout entier naturel \(k\), il existe un unique réel \(% x_{k}\) positif tel que \(f(x_{k})=k\).
Donner la valeur de \(x_{0}\).
Utiliser le tableau de valeurs de \(f\) pour déterminer un encadrement de \(x_{1}\) et \(x_{2}\).
Exprimer \(x_{k}\) à l’aide de \(f^{-1}\) puis justifier que la suite \(% (x_{k})\) est croissante et déterminer sa limite lorsque \(k\) tend vers l’infini.
On définit la suite \((u_{n})\) par \(u_{0}=\dfrac{3}{2}\) et : \(\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\varphi (u_{n})\).
Étudier les variations de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{\ast }\).
On donne \(\varphi \! \left( \frac{3}{2} \right) \simeq 1,73\) et \(\varphi (2)\simeq 1,69\). Montrer que \(\varphi \! \left( \left[ \frac{3}{2}, 2\right] \right) \subset \left[ \frac{3}{2},2\right]\).
En étudiant les variations de \(\varphi ^{\prime }\), montrer que : \(% \forall x\in \left[ \frac{3}{2}, 2\right] ,\ \left\vert \varphi ^{\prime }(x)\right\vert \leqslant \frac{2}{9}\).
Montrer que les équations \(x=\varphi (x)\) et \(f(x)=1\) sont é quivalentes. En déduire que le réel \(x_{1}\) est l’unique solution de l’é quation \(x=\varphi (x)\).
Montrer successivement que pour tout entier \(n\) : \[\dfrac{3}{2}\leqslant u_{n}\leqslant 2\quad ,\quad \left\vert u_{n+1}-x_{1}\right\vert \leqslant \dfrac{2}{9}\left\vert u_{n}-x_{1}\right\vert \quad ,\quad \left\vert u_{n}-x_{1}\right\vert \leqslant \left( \dfrac{2}{9}\right) ^{n}\]
En déduire la limite de la suite \((u_{n})\).
Calculer les dérivées partielles premières de la fonction \(g\).
Montrer que si \(g\) admet un extremum local en \((a,b)\) de \(\mathbb{R}% ^{2}\), alors : \(ab=1\) et \(a= \mathrm{e}^{a-1/a}\).
En déduire que nécessairement \(a>0\), \(ab=1\) et \(f(a)=0\) et donc que le seul point où \(g\) peut admettre un extremum est le couple \((1,1)\).
Calculer les réels : \(r=\partial_{1,1}^2 g(1,1)\) , \(s= \partial_{1,2}^2 g (1,1)\) , \(t=\partial_{2,2}^2 g(1,1)\).
La fonction \(g\) admet-elle un extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) ?
On effectue une suite de lancers d’une pièce de monnaie. On suppose que les r ésultats des lancers sont indépendants et qu’à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité \(p\) (\(0<p<1\)) et face avec la probabilité \(q=1-p\).
On s’intéresse dans cet exercice à l’apparition de deux piles consécutifs.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(A_{n}\) l’événement : « deux piles consécutifs sont réalisés pour la première fois aux lancers numéro \(n\) et \(n+1\) ».
On définit alors la suite \((a_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) des probabilités des év énements \(A_{n}\) par, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(a_{n}=\mathbb{P}(A_{n})\) avec la convention \(% a_{0}=0\).
On considère la fonction polynomiale \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par \(f(x)=x^{2}-qx-pq.\)
Montrer que l’équation \(f(x)=0\) possède deux racines réelles distinctes \(r_{1}\) et \(r_{2}\) avec \(r_{1}<r_{2}\).
Exprimer \(r_{1}+r_{2}\) et \(r_{1}\times r_{2}\) en fonction de \(p\) et \(q\).
Calculer \(f(1)\), \(f(-1)\), \(f(0)\).
En déduire l’encadrement suivant : \(\left\vert r_{1}\right\vert <\left\vert r_{2}\right\vert <1.\)
Déterminer \(a_{1}\), \(a_{2}\) et \(a_{3}\) en fonction de \(p\) et \(q\).
En remarquant que l’événement \(A_{n+2}\) est réalisé si et seulement si :
on a obtenu pile au premier tirage, face au deuxième tirage, et à partir de ce moment, \(A_{n}\)est réalisé
ou :
on a obtenu face au premier tirage, et à partir de ce moment, \(% A_{n+}{}_{1}\) est réalisé,
montrer que l’on a, pour tout entier naturel \(n\) : \(% a_{n+2}-qa_{n+1}-pqa_{n}=0.\)
Écrire un programme, en langage Python,
permettant de calculer \(a_{n}\) ,
l’entier \(n\), le réel \(p\) étant donnés par
l’utilisateur.
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n}=\dfrac{p^{2}}{% r_{2}-r_{1}} \left[ (r_{2})^{n}-(r_{1})^{n} \right]\).
Donner un équivalent de \(a_{n}\) lorsque \(n\) tend vers plus l’infini.
On définit les matrices \(A\) et \(P\) par : \[A=% \begin{pmatrix} r_{1}+r_{2} & -r_{1}r_{2} \\ 1 & 0% \end{pmatrix}% ,\quad P={{% \begin{pmatrix} r_{1} & r_{2} \\ 1 & 1% \end{pmatrix}% }} ,\quad I={{% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1% \end{pmatrix}% }}\] ainsi que les matrices unicolonnes \(X_{n}\) tout entier naturel \(n\), par : \(% X_{n}={{% \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ a_{n}% \end{pmatrix}% }}\).
Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) : \(X_{n+1}=AX_{n}\).
Montrer que les matrices \(A-r_{1}I\) et \(A-r_{2}I\) ne sont pas inversibles.
En déduire que \(A\) est diagonalisable.
Montrer que \(P\) est inversible et déterminer \(P^{-1}\).
Calculer la matrice \(D=P^{-1}AP\).
(Les coefficients de la matrice \(D\) seront exprimés en fonction de \(r_{1}\) et \(r_{2}\) seulement).
Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\) , \(% X_{n}=PD^{n}P^{-1}X_{0}.\)
Retrouver ainsi l’expression de \(a_{n}\) en fonction de \(r_{1}\), \(r_{2}\) , \(p\) et \(n\).
On désigne par \(T\) l’application associant à toute suite de lancers successifs le numéro du lancer où pour la première fois on obtient un double pile. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(\mathbb{P}(T=n+1)=a_{n}\).
Montrer que \(T\) est une variable aléatoire, c’est-à-dire que : \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty } \mathbb{P}(T=n+1)=1.\)
Prouver que \(T\) admet une espérance \(\mathbb{E}(T)\), et que : \(\mathbb{E}(T)=\dfrac{{1+p}% }{p^{2}}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
