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\(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) désigne l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels \((n \geqslant 1)\) et \(E\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n-1\). On considère une matrice \(S\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) admettant \(n\) valeurs propres réelles \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n}\) distinctes deux à deux.
L’objet de l’exercice est de montrer que, si \(k\) est un entier naturel impair et si une matrice A de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) commute avec \(S^{k}\), alors elle commute avec \(S\).
Dans la dernière question on étudiera un contre-exemple.
Justifier l’existence d’une matrice \(P\) inversible telle que la matrice \(P^{-1} S P\) soit une matrice \(D\) diagonale.
Dans la suite de l’exercice un entier naturel impair \(k\) est fixé.
On considère l’application \(f\) de \(E\) dans \(\mathbb{R}^{n}\) qui à tout polynôme \(T\) fait correspondre le vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) défini par : \[f(T)=(T(\lambda_{1}^{k}), T(\lambda_{2}^{k}), \dots, T(\lambda_{n}^{k}))\]
Montrer que \(f\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
En déduire l’existence d’un unique polynôme \(U\) de \(E\) tel que : \[U(\lambda_{1}^{k})=\lambda_{1}, \ U(\lambda_{2}^{k})=\lambda_{2}, \dots, \ U(\lambda_{n}^{k})=\lambda_{n}\]
Prouver que le polynôme \(R\), défini par : \[R(X)=U(X^{k})-X\]
est un polynôme annulateur de \(D\) puis de \(S\).
Soit une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) vérifiant \(A S^{k}=S^{k} A\).
Montrer que pour tout entier naturel \(p\), \[A S^{p k}=S^{p k} A\]
En déduire que les matrices \(A\) et \(S\) commutent, c’est-à-dire que : \[A S=S A\]
On considère les deux matrices \(A\) et \(S\) de \(M_{2}(\mathbb{R})\) suivantes : \[A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad S= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]
Vérifier que \(S\) possède deux valeurs propres distinctes.
Montrer que \(A\) commute avec toute puissance paire de \(S\), mais ne commute pas avec \(S\).
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(I=\left[ 0,\dfrac{\pi}{4}\right]\) par : \[\forall x\in I,\ f(x) = \frac{1}{\cos(x)}\]
ainsi que la suite réelle \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par : \[\begin{cases} \displaystyle I_0 = \dfrac{\pi}{4} \\ \displaystyle\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ I_n = \int_0^\frac{\pi}{4} \left[ f(x) \right]^n \mathrm{d}x\rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) dans un intervalle \(J\) que l’on précisera. On note \(f^{-1}\) la bijection réciproque.
Compléter le script Python suivant pour
qu’il renvoie sur un même graphique les représentations de \(f\) et \(f^{-1}\) :
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x=np.arange(0,np.pi/4,0.01) y=1/np.cos(x) plt.plot(x,y) plt.plot(.....)
Justifier que : \[\forall x\in J,\ \begin{cases} \displaystyle\cos\!\left( f^{-1}(x) \right) = \dfrac{1}{x} \\ \displaystyle\sin\!\left( f^{-1}(x) \right) = \sqrt{1- \frac{1}{x^2}} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\setminus \{1\}\) et montrer que : \[\forall x\in J\setminus \{1\},\ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}}\]
En déduire le développement limité en \(\sqrt{2}\) de \(f^{-1}\) à l’ordre \(1\).
Justifier que la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est bien définie. Calculer \(I_2\).
Déterminer des réels \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall t\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\},\ \frac{1}{1-t^2} = \frac{a}{1-t} + \frac{b}{1+t}\]
En posant \(t=\sin(x)\), déterminer \(I_1\).
Déterminer le sens de variations de la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\).
Montrer que : \[\forall n\geqslant 2,\ I_n \geqslant \int_{\frac{\pi}{4} - \frac{1}{n^2}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{d}x}{\cos^n(x)} \geqslant \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{\cos^n \!\left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{n^2} \right)}\]
En déduire le comportement de la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_{n+2} = \frac{(\sqrt{2})^n}{n+1} + \frac{n}{n+1}\,I_n.\]
Proposer un script Python utilisant la
récursivité et renvoyant la valeur de \(I_n\) pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur.
Dans ce problème, \(p\) désigne un réel appartenant à \(]0,1[\), \((n,m)\) est un couple d’entiers naturels non nuls et on suppose que l’on dispose de deux urnes \(A\) et \(B\), initialement vides. L’urne \(A\) peut contenir au plus \(n\) boules et que l’urne \(B\) peut contenir au plus \(m\) boules.
On dispose de \(n+m\) boules que l’on place dans les urnes de la façon suivante :
on choisit une urne au hasard et on met une boule dans l’urne choisie,
on répète cette épreuve jusqu’à ce que l’une des deux urnes soit pleine, c’est-à-dire jusqu’à ce que l’urne \(A\) contienne \(n\) boules ou que l’urne \(B\) contienne \(m\) boules.
On suppose qu’à chaque épreuve ayant lieu, la probabilité de choisir l’urne \(A\) est \(p\) et que la probabilité de choisir l’urne \(B\) est \(q=1-p\).
On admet qu’il existe un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) permettant de modéliser cette expérience et on note \(R_{n,m}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans l’urne qui n’est pas pleine à l’issue de l’expérience.
Écrire une fonction en langage Python,
d’en-tête def Urne(p), simulant le choix d’une
urne et renvoyant la valeur \(1\) pour
le choix de l’urne \(A\) et \(2\) pour le choix de l’urne \(B\).
Compléter la fonction Python suivante
(utilisant la fonction Urne) pour qu’elle
simule l’expérience et renvoie la valeur prise par \(R_{n,m}\) :
import numpy as np
import numpy.random as rd
def R(n,m,p):
A=0
B=0
while ..........:
if Urne(p)==1:
..........
else:
..........
if ..........:
r=B
else:
r=A
return rOn exécute le script Python suivant
:
n=int(input('n='))
m=int(input('m='))
p=float(input('p='))
S=np.zeros(10**3)
for k in range(10**3):
S[k]=R(n,m,p)
print(np.mean(S))
Que représente le résultat affiché à l’issue de l’exécution de ce script ?
On définit la suite de terme général \(a_{n}\) par : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ a_{n}=\frac{\sqrt{n} \binom{2n}n}{4^{n}}\]
Calculer \(a_{1}\) et, pour tout entier \(n \geqslant 1\), le rapport \(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\).
Démontrer que pour tout entier \(n \geqslant 1\) : \[a_{n} \leqslant \sqrt{\frac{n}{2 n+1}}\]
Donner le sens de variation de la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), et montrer qu’elle converge vers un réel \(\ell\) tel que : \[\frac{1}{2} \leqslant \ell \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\]
On admet que \(\ell =\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\).
Dans cette partie uniquement, on suppose que \(m=n\) et que \(p=q = \dfrac{1}{2}\). La variable aléatoire \(R_{n,m}\) est plus simplement notée \(R_n\).
Déterminer la loi de \(R_1\) et celle de \(R_2\).
Que valent l’espérance et la variance de \(R_1\) et de \(R_2\) ?
Dans la suite, on suppose que \(n\) est supérieur ou égal à \(2\).
Déterminer \(R_n(\Omega)\).
Soit \(k\in R_n(\Omega)\). Calculer la probabilité qu’à l’issue du \((n-1+k)^{\grave{e}me}\) tirage l’urne \(A\) contienne \(n-1\) boules et l’urne \(B\) contienne \(k\) boules.
En déduire la loi de \(R_n\). On vérifiera que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-2} \right]\kern-0.15em\right],\ 2 \left( k+1 \right) \mathbb{P}(R_n=k+1) = \left( n+k \right) \mathbb{P}(R_n=k) \tag{1}\]
En utilisant les égalités (1), établir : \[\mathbb{E}(R_n) = n- \left( 2n-1 \right) \mathbb{P}(R_n=n-1).\]
Déterminer alors un équivalent de \(n-\mathbb{E}(R_n)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
En utilisant les égalités (1), démontrer que : \[\mathbb{E}(R_n^2) = \left( 2n+1 \right) \mathbb{E}(R_n) - n \left( n-1 \right).\]
En déduire une expression de \(\mathbb{V}(R_n)\) en fonction de \(n\) et de \(\mathbb{E}(R_n)\).
Déterminer une expression de \(\mathbb{E}(R_n)\) en fonction de \(\mathbb{E}(R_{n-1})\) puis écrire un script
Python calculant et affichant la valeur de
\(\mathbb{E}(R_n)\) et \(\mathbb{V}(R_n)\) pour un entier naturel
\(n\) entré par l’utilisateur.
On revient au cas général.
À l’aide d’arguments probabilistes, montrer que : \[q^m \sum_{k=0}^{n-1} p^k \binom {m-1+k}{m-1} + p^n \sum_{k=0}^{m-1} q^k \binom {n-1+k}{n-1} = 1 \tag{2}\]
On note alors : \[u_m = \sum_{k=0}^{m-1} q^k \binom {n-1+k}{n-1}\]
Étudier les variations de la suite \((u_m)_{m\in\mathbb{N}^\ast}\) puis, en utilisant la relation (2), déterminer un majorant de \(u_m\) ne dépendant pas de \(m\).
En déduire que la suite \((u_m)_{m\in\mathbb{N}^\ast}\) converge.
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\). Donner un équivalent de \(\binom {m-1+k}{m-1}\) lorsque \(m\) tend vers \({+\infty}\).
En déduire l’existence et la valeur de la limite suivante : \[\lim_{m\to {+\infty}} q^m \sum_{k=0}^{n-1} p^k \binom {m-1+k}{m-1}\]
Prouver finalement que : \[\lim_{m\to {+\infty}} u_m = \frac{1}{p^n}.\]
Dans cette partie, on suppose toujours que les urnes \(A\) et \(B\) sont initialement vides et que l’urne \(A\) peut contenir au maximum \(n\) boules, mais on suppose désormais que l’urne \(B\) a une capacité illimitée. L’expérience s’arrête donc dès que l’urne \(A\) est pleine si cela se produit.
On considère encore un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) (dont on admet l’existence) permettant de modéliser cette expérience et on admet que, presque sûrement, l’urne \(A\) sera pleine à l’issue de l’une des épreuves. Pour simplifier, on suppose que l’expérience (choisir des urnes) continue même après que l’urne \(A\) est remplie, mais on ne rajoute plus alors de boule dans l’urne \(A\). Cela permet de considérer que les choix d’urnes effectués aux différentes épreuves sont mutuellement indépendants.
On note \(T_n\) la variable aléatoire égale au nombre de boules dans l’urne \(B\) quand l’expérience s’arrête si cela se produit, et égale à \(0\) sinon.
On note \(Z_1\) la variable aléatoire égale au nombre de boules mises dans l’urne \(B\) avant de mettre la première boule dans l’urne \(A\) (si cela se produit) et, pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(Z_j\) la variable aléatoire égale au nombre de boules mises dans l’urne \(B\) entre la \((j-1)^{\grave{e}me}\) et la \(j^{\grave{e}me}\) boules mises dans l’urne \(A\) (si une \(j^{\grave{e}me}\) boule est placée dans l’urne \(A\)). Pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(Z_j=0\) s’il n’y a pas de \(j^{\grave{e}me}\) boule placée dans l’urne \(A\). On a donc : \[\forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(Z_j=0) = 0.\]
Déterminer la loi de \(T_n\).
Vérifier en particulier que : \[\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb{P}(T_n=k) = 1\]
Pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), déterminer la loi de \(Z_j\).
Soit \((k_1,\dots,k_n)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\). Calculer \(\displaystyle\mathbb{P}\!\left(\bigcap_{j=1}^n [Z_j=k_j] \right)\).
En déduire que \(Z_1,\dots,Z_n\) sont indépendantes.
Exprimer \(T_n\) en fonction de \(Z_1,\dots,Z_n\).
En déduire l’espérance et la variance de \(T_n\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.