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Soient \(f\) la fonction numérique de la variable réelle définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\]
et \(\left(u_{n}\right)\) la suite de nombres réels déterminée par : \[u_{0} =\int_{0}^{1} f(x) \,\mathrm{d}x\quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}^{\ast}, \ u_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} f(x) \,\mathrm{d}x\]
On note \(\mathcal{C}_{f}\) la représentation graphique de \(f\), relativement à un repère orthonormal \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Montrer que la fonction \(f\) est paire sur \(\mathbb{R}\).
Étudier les variations de \(f\) sur l’intervalle \([0,+\infty[\).
Déterminer la limite de \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
Montrer que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).
Donner l’allure de \(\mathcal{C}_{f}\).
Montrer que \(f\) réalise une bijection de l’intervalle \([0,+\infty[\) sur un intervalle \(J\) à préciser.
Pour tout \(y\) de l’intervalle \(] 0,1]\), déterminer l’unique réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0,+\infty[\) tel que : \[f(x)=y\]
Déterminer alors la bijection réciproque \(f^{-1}\).
On considère la fonction numérique \(F\) de la variable réelle \(x\) définie par : \[F(x)=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})\]
Pour tout réel \(\lambda\) strictement positif, on note \(\mathcal{A}(\lambda)\) l’aire (exprimée en unité d’aire) du domaine constitué par l’ensemble des points \(M(x, y)\) tels que : \[\lambda \leqslant x \leqslant 2 \lambda \quad \text { et } \quad 0 \leqslant y \leqslant f(x)\]
ainsi : \[\mathcal{A}(\lambda)=\int_{\lambda}^{2 \lambda} f(x) \,\mathrm{d}x\]
Montrer que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ x+\sqrt{x^{2}+1}>0\]
En déduire l’ensemble de définition de \(F\).
Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(F\) est impaire sur son ensemble de définition.
Déterminer la limite de \(F\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). En déduire la limite de \(F\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\).
Exprimer \(\mathcal{A}(\lambda)\) en fonction de \(\lambda\) et calculer la limite de \(\mathcal{A}(\lambda)\) lorsque \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).
Calculer \(u_{0}\) et \(u_{1}\).
Effectuer une intégration par parties et calculer \(u_{3}\) (on pourra remarquer que \(\displaystyle \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}=x^{2} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)).
Déterminer le sens de variations de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente. (On ne cherchera pas sa limite dans cette question)
Justifier l’encadrement suivant : \[\forall x \in[0,1], \ \forall n \in \mathbb{N}, \ 0 \leqslant \frac{x^{n}}{\sqrt{1+x^{2}}} \leqslant x^{n}\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{\ast}, \ 0 \leqslant u_{n} \leqslant \frac{1}{n+1}\]
Déterminer alors la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\)
Dans cet exercice, on étudie l’exponentielle d’une matrice pour une matrice carrée d’ordre 3, puis d’ordre 2 .
Soient \(A\) et \(P\) les matrice définies par : \[A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix} , \quad P= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\]
Montrer que la matrice \(P\) est inversible et déterminer \(P^{-1}\)
On pose \(T=P A P^{-1}\).
Calculer la matrice \(T\).
Calculer \(T^{2}, T^{3}\), puis \(T^{n}\) pour out entier naturel \(n \geqslant 3\).
En déduire que : \[\forall n \geqslant 3, \ A^{n}=0\]
où 0 désigne la matrice nulle d’ordre 3.
Pour tout réel \(t\), on définit la matrice \(E(t)\) par : \[E(t)=I+t A+\frac{t^{2}}{2} \, A^{2}\]
où \(I\) désigne la matrice unité d’ordre 3 .
Montrer que : \[\forall\left(t, t^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{2}, \ E(t) \, E(t^{\prime})=E(t+t^{\prime})\]
Pour tout \(t\) réel, calculer \(E(t) \, E(-t)\). En déduire que la matrice \(E(t)\) est inversible et déterminer son inverse en fonction de \(I, A, A^{2}, t\).
Pour tout \(t\) réel et pour tout entier naturel \(n\), déterminer \([E(t)]^{n}\) en fonction de \(I, A, A^{2}, t\) et \(n\).
Soient \(B\) et \(D\) les matrices définies par : \[B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \quad D= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, et pour tout réel \(t\), on définit la matrice \(E_{n}(t)\) par : \[E_{n}(t)=\sum_{k=0}^{n} \frac{t^{k}}{k!} \, B^{k}\] que l’on note \(\displaystyle E_{n}(t)=\begin{pmatrix} a_{n}(t) & c_{n}(t) \\ b_{n}(t) & d_{n}(t) \end{pmatrix}\).
Montrer que \(B\) est diagonalisable.
Déterminer une matrice \(Q\) d’ordre, inversible telle que : \[Q^{-1} B Q=D\]
Pour tout entier naturel \(n\), montrer que : \[B^{n}= \begin{pmatrix} 2-2^{n} & 1-2^{n} \\ 2^{n+1}-2 & 2^{n+1}-1 \end{pmatrix}\]
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ a_{n}(t)=\sum_{k=0}^{n} \frac{2 t^{k}-(2 t)^{k}}{k!}\]
exprimer de même \(b_{n}(t), c_{n}(t), d_{n}(t)\) sous le forme d’une somme.
Déterminer les limites de \(a_{n}(t), b_{n}(t), c_{n}(t), d_{n}(t)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Pour tout \(t\) réel, on pose alors : \[E(t)= \begin{pmatrix} \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} a_{n}(t) & \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} c_{n}(t) \\ \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} b_{n}(t) & \lim \limits_{n \rightarrow+\infty} d_{n}(t) \end{pmatrix}\]
Montrer que : \[E(t)= \begin{pmatrix} 2 e^{t}-e^{2 t} & e^{t}-e^{2 t} \\ 2 e^{2 t}-2 e^{t} & 2 e^{2 t}-e^{t} \end{pmatrix}\]
Déterminer les matrice \(E_{1}\) et \(E_{2}\), telles que pour tout \(t\) réel on ait : \[E(t)=e^{t} E_{1}+e^{2 t} E_{2}\]
Calculer \(E_{1}^{2}, E_{2}^{2}, E_{1} E_{2}, E_{2} E_{1}\).
En déduire que pour tout \(t\) réel, \(E(t)\) est inversible et déterminer son inverse.
Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l’intermédiaire de deux serveurs : le serveur \(A\) ou le serveur \(B\).
On constate que le serveur \(A\) est choisi dans \(70 \%\) des cas et donc que le serveur \(B\) est choisi dans \(30 \%\) des cas (ce qui revient à dire que la probabilité pour que le serveur \(A\) soit choisi est de 0.7). Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres.
Dans cette question, on suppose que la probabilité d’une erreur de transmission avec le serveur \(A\) est de 0.1 , alors que la probabilité d’erreur de transmission avec le serveur \(B\) est de 0.05 .
Calculer la probabilité pour qu’il y ait une erreur de transmission lors de l’envoi d’un courrier.
Si le courrier a subi une erreur de transmission, quelle est la probabilité pour que le serveur utilisé soit le serveur \(A\) ?
Un jour donné, appelé le jour 1, on note les différents serveurs utilisé par l’ordinateur par une suite de lettres. Par exemple, la suite \(A A B B B A \ldots\) signifie que les deux premiers jours l’ordinateur a choisi le serveur \(A\), les jours 3. 4 et 5 il a choisi le le serveur \(B\), et le jour 6 le serveur \(A\). Dans cet exemple, on dit que l’on a une première série de longueur 2 et une deuxième série de longueur 3 (Ce qui est également le cas de la série BB
On note \(L_{1}\) la variable aléatoire représentant la longueur de la premièer série et \(L_{2}\) la variable aléatoire représentant la longueur de la deuxième série.
Ainsi, pour \(k \geqslant 1\), dire que \(L_{1}=k\) signifie que pendant les \(k\) premiers jours, c’est le même serveur qui a été choisi et le jours suivant l’autre serveur.
Justifier soigneusement la formule : \[\forall k \geqslant 1 \quad P\left(L_{1}=k\right)=(0.3)^{k}(0.7)+(0.7)^{k}(0.3)\]
Vérifier par le calcul que
\[\sum_{k=1}^{+\infty} p\left(L_{1}=k\right)=1\]
Déterminer l’espérance mathématique de \(L_{1}\).
Déterminer la loi du couple aléatoire \(\left(L_{1}, L_{2}\right)\).
En déduire la loi de \(L_{2}\)
Soit \(n \in \mathbb{N}^{\ast}\). À partir d’un jour donné, que l’on appellera le jour 1, on note : \(N_{n}\) la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l’ordinateur choisit le serveur \(A\) pendant les \(n\) premiers jours, \(T_{1}\) le numéro du jour où pour la première fois le serveur \(A\) est choisi et \(T_{2}\) le numéro du jour où pour la deuxième fois le serveur \(A\) est choisi.
Déterminer la loi de \(N_{n}\), son espérance mathématique et sa variance.
Déterminer la loi de \(T_{1}\), son espérance mathématique et sa variance.
Montrer que : \[\forall k \geqslant 2, \ \mathbb{P}(T_{2}=k)=(k-1)(0.7)^{2}(0.3)^{k-2}\]
Le temps de transmission en seconde d’un message par le serveur \(A\) est une variable aléatoire \(Z\) qui suit une loi exponentielle de paramètre 1 .
Le prix en euros \(W\) de cette transmission, est calculé de la façon suivante : on multiplie la durée de transmission en seconde par 0.1 euro, auquel on ajoute une somme forfaitaire de 1 euro,
Rappeler une densité \(f_{Z}\) de \(Z\) ainsi que sa fonction de répartition \(F_{Z}\).
Quel est le temps moyen (en seconde) de la transmission d’un message par le serveur \(A\)
Exprimer \(W\) en fonction de \(Z\).
Montrer que \(W\) est une variable aléatoire à densité. En déterminer une densité \(f_{W}\)
Déterminer l’espérance de la variable \(W\).
On suppose que le temps de transmission d’un message en seconde par le serveur \(B\) est représenté par la variable aléatoire \(X\) dont une densité de probabilité \(f\) est donnée par : \[f(t) = \begin{cases} t e^{-t^{2} / 2} & \text { si } t \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } t<0 \end{cases}\]
On rappelle que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\).
Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité.
Déterminer la fonction de répartition \(F_{X}\) de \(X\).
Calculer l’espérance de la variable \(X\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
