ECRICOME 2002Maths appliquées

Exercice 1

Dans l’ensemble \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels, on considère le sous-ensemble \(E\) des matrices \(M(a, b)\) définies par: \[M(a, b)=\begin{pmatrix} b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a \end{pmatrix}\]

Ainsi :

\[E=\{M(a, b),\ (a, b) \in \mathbb{R} ^2 \}\]

On note \(f_{a, b}\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par la matrice \(M(a, b)\) dans la base canonique \(\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\), notée \(\mathcal{B}\), de \(\mathbb{R}^{3}\).

1. Structure de \(E\).

   1. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal M_{3}(\mathbb{R})\).

   2. Donner une base de \(F\), ainsi que sa dimension.

2. Étude d’un cas particulier. On pose \(A=M(1,0)\).

   1. Calculer \(A^{2}\). En déduire que \(A\) est une matrice inversible et exprimer \(A^{-1}\) en fonction de A.

   2. Déterminer les valeurs propres de \(A\).

   3. Trouver une base de \(\mathbb{R}^{3}\) dans laquelle la matrice de \(f_{1,0}\) est: \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]

3. Diagonalisation des éléments de \(E\) et application.

   On considère les vecteurs de \(\mathbb{R}^{3}\) suivants : \[u=(1,1,1), \quad v=(1,-1,0), \quad w=(1,1,-2)\]

   1. Justifier que les matrices de l’ensemble \(E\) sont diagonalisables.

   2. Montrer que \(\mathcal{C}=(u, v, w)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).

   3. On note \(P\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\). Écrire \(P\).

   4. Déterminer \(P^{-1}\).

   5. Exprimer les vecteurs \(f_{a, b}(u), f_{a, b}(v), f_{a, b}(w)\) en fonction de \(u, v, w\).

   6. En déduire l’expression de la matrice \(D_{a, b}\) de \(f_{a, b}\) dans la base \(\mathcal{C}\).

   7. Justifier l’égalité : \[P^{-1} M_{a, b} P=D_{a, b}\]

   8. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur \(a\) et \(b\) pour que \(D_{a, b}\) soit inversible.

   9. Cette condition étant réalisée, déterminer la matrice inverse de \(D_{a, b}\).

   10. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur \(a\) et \(b\) pour que \(M_{a, b}\) soit inversible.

Exercice 2

On considère la famille de fonctions \(\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définies sur \(]-1,+\infty[\) par: \[f_{n}(x)=x^{n} \ln (1+x)\]

A. Étude des fonctions

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(h_{n}\) la fonction définie sur \(]-1,+\infty[\) par :

\[h_{n}(x)=n \ln (1+x)+\frac{x}{1+x}\]

1. Étudier le sens de variation des fonctions \(h_{n}\).

2. Calculer \(h_{n}(0)\), puis en déduire le signe de \(h_{n}\).

3. Étude du cas particulier \(n=1\).

   1. Après avoir justifié la dérivabilité de \(f_{1}\) sur \(]-1,+\infty\left[\right.\), exprimer \(f_{1}^{\prime}(x)\) en fonction de \(h_{1}(x)\).

   2. En déduire les variations de la fonction \(f_{1}\) sur \(]-1,+\infty[\).

4. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*} \setminus \{1\}\).

   1. Justifier la dérivabilité de \(f_{n}\) sur \(]-1,+\infty[\) et exprimer \(f_{n}^{\prime}(x)\) en fonction de \(h_{n}(x)\).

   2. En déduire les variations de \(f_{n}\) sur \(]-1,+\infty[\) (on distinguera les cas \(n\) pair et \(n\) impair). On précisera les limites aux bornes sans étudier les branches infinies.

B. Étude d’une suite

On considère la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par :

\[U_{n}=\int_{0}^{1} f_{n}(x) \,\mathrm{d}x\]

5. Calcul de \(U_{1}\).

   1. Prouver l’existence de trois réels \(a, b, c\) tels que: \[\forall x \in[0,1], \ \frac{x^{2}}{x+1}=a x+b+\frac{c}{1+x}\]

   2. En déduire la valeur de l’intégrale : \[\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x+1} \,\mathrm{d}x\]

   3. Montrer que \(\displaystyle U_{1}=\frac{1}{4}\).

6. Convergence de la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).

   1. Montrer que la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est monotone.

   2. Justifier la convergence de la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) (on ne demande pas sa limite).

   3. Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ 0 \leqslant U_{n} \leqslant \frac{\ln 2}{n+1}\]

   4. En déduire la limite de la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).

7. Calcul de \(U_{n}\) pour \(n \geqslant 2\).

   Pour \(x \in[0,1]\) et \(n \in \mathbb{N}^{*} \setminus \{1\}\), on pose : \[S_{n}(x)=1-x+x^{2}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} x^{k}\]

   1. Montrer que : \[S_{n}(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{(-1)^{n} x^{n+1}}{1+x}\]

   2. En déduire que: \[\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k+1}=\ln (2)+(-1)^{n} \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{1+x} \,\mathrm{d}x\]

   3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul de \(U_{n}\), montrer que : \[U_{n}=\frac{\ln 2}{n+1}+\frac{(-1)^{n}}{n+1}\left[\ln (2)-\left(1-\frac{1}{2}+\cdots+\frac{(-1)^{k}}{k+1}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right)\right]\]

Exercice 3

Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables au toucher.

On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d’être tirée, on note sa couleur, et on la remet dans l’urne avec \(c\) boules de la couleur de la boule tirée. On répète cette épreuve, on réalise ainsi une succession de \(n\) tirages \((n \geqslant 2)\).

A. Étude du cas \(c=0\)

On effectue donc ici \(n\) tirages successifs avec remise de la boule dans l’urne.

On note \(X\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des \(n\) tirages et \(Y\) la variable aléatoire réelle définie par : \[\begin{cases} Y=k & \text { si l'on obtient une boule blanche pour la première fois au } k^{\grave{e}me} \text{ tirage } \\ Y=0 &\text { si les } {n} \text{ boules tirées sont noires} \end{cases}\]

1. Déterminer la loi de \(X\). Donner la valeur de \(\mathbb{E}(X)\) et de \(\mathbb{V}(X)\).

2. Pour \(k \in\{1, \ldots, n\}\), déterminer la probabilité \(\mathbb{P}(Y=k)\) de l’événement \([Y=k]\), puis déterminer \(\mathbb{P}(Y=0)\).

3. Vérifier que : \[\sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}(Y=k)=1\]

4. Pour \(x \neq 1\) et \(n\) entier non nul, montrer que : \[\sum_{k=1}^{n} k x^{k}=\frac{n x^{n+2}- \left(n+1 \right) x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}\]

5. En déduire \(\mathbb{E}(Y)\).

B. Étude du cas \(c \neq 0\)

On considère les variables aléatoires \(\left(X_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) définies par : \[\begin{cases} X_{i}=1 \text { si on obtient une boule blanche au } i^{\text {ème }} \text { tirage. } \\ X_{i}=0 \text { sinon. } \end{cases}\]

On définit alors, pour \(2 \leqslant p \leqslant n\), la variable aléatoire \(Z_{p}\) par : \[Z_{p}=\sum_{i=1}^{p} X_{i}\]

6. Que représente la variable \(Z_{p}\) ?

7. Donner la loi de \(X_{1}\) et l’espérance \(\mathbb{E}(X_{1})\) de \(X_{1}\).

8. Déterminer la loi du couple \(\left(X_{1}, X_{2}\right)\). En déduire la loi de \(X_{2}\) puis l’espérance \(\mathbb{E}(X_{2})\).

9. Déterminer la loi de probabilité de \(Z_{2}\).

10. Déterminer l’univers image \(Z_{p}(\Omega)\) de \(Z_{p}\).

11. Soit \(p \leqslant n-1\).

    1. Déterminer \(\mathbb{P}_{[ Z_{p}=k]}( X_{p+1}=1 )\) pour \(k \in Z_{p}(\Omega)\).

    2. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que: \[\mathbb{P}( X_{p+1}=1 )=\frac{1+c \,\mathbb{E}(Z_{p})}{2+p c}\]

    3. En déduire que \(X_{p}\) est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{2}\) (on raisonnera par récurrence sur \(p\) : les variables \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{p}\) étant supposées suivre une loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{2}\), et on calculera \(\mathbb{E}(Z_{p})\)).