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Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs, \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant des lois exponentielles de paramètres respectifs \(a\) et \(b\).
Déterminer la fonction de répartition, puis une densité, de la variable aléatoire \(-X\).
Montrer que \(Y-X\) admet une densité, notée \(h\), définie par \[h(t)=\frac{a b}{a+b} \, \mathrm{e}^{-b t} \text { pour } t>0 \quad \text{et} \quad h(t)=\frac{a b}{a+b} \, \mathrm{e}^{a t} \text { pour } t \leq 0\] On considère la variable aléatoire \(Z=|X-Y|\).
Soit \(s\) un réel positif. Établir l’égalité : \(\displaystyle \mathbb{P}(Z \leqslant s)=1-\frac{b\, \mathrm{e}^{-a s}+a \,\mathrm{e}^{-b s}}{a+b}\).
Montrer que \(Z\) est une variable aléatoire à densité et en donner une densité.
Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.
Soient \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels.
\(\mathrm I\) est la matrice identité de \(E\). On note \({}^t\!A\) la transposée d’un élément \(A\) de \(E\). Si \(A=\left(a_{i, j}\right)\) appartient à \(E\), on rappelle que la trace de \(A\), notée \(\operatorname{Tr}(A)\), est la somme \(a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots+a_{n, n}\) des éléments diagonaux de \(A\) et que l’application \(\mathrm{Tr}\) ainsi définie est une forme linéaire sur \(E\).
On considère l’application \(g\) de \(E \times E\) dans \(\mathbb{R}\), qui à deux matrices \(A\) et \(B\) de \(E\) fait correspondre le réel \(g(A, B)=\mathrm{Tr}( {}^t\!A B)\).
Montrer que l’application \(\mathrm{Tr}\) qui à tout élément de \(E\) associe sa trace, est une forme linéaire sur \(E\).
Soit \(M\) une matrice de \(E\). Montrer que \(\mathrm{Tr}(M)=\mathrm{Tr}({}^t\!M)\).
En déduire que, pour tout couple \((A, B)\) de matrices de \(E\), on a \(g(A, B)=g(B, A)\).
Soit \(A\) un élément de \(E\). Montrer que \(g(A, A)\) est la somme des carrés des coefficients de \(A\).
Montrer, à l’aide des questions précédentes, que \(g\) est un produit scalaire sur \(E\).
Soit \(\mathcal{B}=\left(e_1, e_2, \ldots, e_n\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) défini par : \(f(e_1)=e_n\) et, pour tout entier \(k\) tel que \(2 \leqslant k \leqslant n\), \(f(e_k)=e_{k-1}\).
Montrer que \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\).
Soit \(U\) la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\). Montrer que \(U^n=\mathrm{I}\) et que \(U^{-1}=U\).
On suppose, pour les deux questions suivantes, que \(n=4\).
Calculer \(U^2\) et \(U^3\) et montrer que \(\left(\mathrm{I}, U, U^2, U^3\right)\) est une famille orthogonale pour le produit scalaire \(g\).
On note \(F\) le sous espace vectoriel de \(E\) engendré par la famille \(\left(I, U, U^2, U^3\right)\) et \(V\) la matrice de \(E\) dont la première ligne est constituée de 1 et les autres uniquement de 0.
Calculer la projection orthogonale \(W\) de \(V\) sur \(F\).
Dans tout le problème, \(n\) est un entier positif ou nul, \(a\) un entier pair supérieur ou égal à \(4\) et \(p\) un réel tel que \(0 < p < 1\). Pour simplifier les écritures, on pose \(a_n =2^{n-1}a\).
Un joueur dispose initialement d’une fortune \(a\) et joue à un jeu consistant en une succession de jets d’une pièce donnant pile avec la probabilité \(p\). Avant chaque lancer, le joueur mise une partie de sa fortune sur pile et l’autre partie sur face.
On note \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) un espace probabilisé permettant de modéliser cette expérience et on note \(F_n\) la variable aléatoire égale à la fortune du joueur à l’issue du \(n^{\grave{e}me}\) lancer.
\(F_0\) est donc la variable aléatoire certaine égale à \(a\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la fortune du joueur évolue de la façon suivante à l’issue du \((n+1)^{\grave{e}me}\) lancer :
avant le \((n+1)^{\grave{e}me}\) lancer, le joueur mise une partie \(X_n\) de sa fortune sur pile et l’autre partie, \(F_n-X_n\), sur face,
si le \((n+1)^{\grave{e}me}\) lancer donne pile, la fortune \(F_{n+1}\) est égale à \(2X_n\), s’il fait apparaître face, la fortune \(F_{n+1}\) est égale à \(2 \left( F_n-X_n \right)\).
Ainsi, à tout instant, la fortune du joueur est un entier pair, éventuellement nul. On admet que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(F_n\) et \(X_n\) sont des variables aléatoires sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), on suppose que \(X_n\) prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}\) et on admet que \((X_n,F_n)\) est indépendante du résultat du \((n+1)^{\grave{e}me}\) lancer.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), montrer que \(F_n\) prend ses valeurs dans \(\left\lbrace 0,2,4,\dots,2a_n\right\rbrace\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit la fonction polynôme \(G_n\) par: \[\forall x\in\mathbb{R},\ G_n(x)=\sum_{k=0}^{a_n} \mathbb{P}( F_n=2k) \, x^k.\]
Calculer \(G_n(1)\).
Que représente concrètement \(G_n(0)\) ? Montrer, à l’aide d’un argument probabiliste, que la suite de terme général \(G_n(0)\) est croissante et convergente.
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ G_n'(1)= \frac{\mathbb{E}( F_n)}{2}.\]
Établir de même que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \mathbb{V}(F_n)=4\, G_n''(1)+2\,\mathbb{E}(F_n)- \left[ \mathbb{E}(F_n) \right]^2.\]
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) le polynôme \(G_n\) est convexe sur \(\mathbb{R}^+\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\) et \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,a_n} \right]\kern-0.15em\right]\). On suppose dans cette partie que, si \(\mathbb{P}(F_n=2k)\) n’est pas nul, la loi conditionnelle de \(X_n\) sachant \([F_n=2k]\) est une loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,2k} \right]\kern-0.15em\right]\).
Établir, pour tout entier \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,2k} \right]\kern-0.15em\right]\), l’égalité: \[\mathbb{P}\!\left( [F_{n+1} = 2j ] \cap [F_n =2k ] \right) =\frac{1}{2k+1} \,\mathbb{P}(F_n=2k).\]
(On pourra utiliser le système complet d’événements constitué par les deux résultats possibles du lancer \(n+1\)).
En déduire, pour tout entier \(j \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,a_{n+1}} \right]\kern-0.15em\right]\), une expression sommatoire de \(\mathbb{P}( F_{n+1}= 2j)\).
Montrer que \[\forall x\in \left[ 0,1 \right[,\ G_{n+1}(x)=\sum_{k=0}^{a_n} \frac{x^{2k+1}-1}{(2k+1)(x-1)}\, \mathbb{P}(F_n=2k).\]
En déduire que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \left( 1-x \right) G_{n+1}(x)=\int_x^1 G_n(t^2)\, \mathrm{d}t \tag{1}\]
Prouver, en dérivant deux fois cette égalité, que pour tout \(n\in \mathbb{N}\), on a : \(\mathbb{E}(F_n)=a\).
On suppose maintenant que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,a_n} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que \(\mathbb{P}(F_n=2k)\) ne soit pas nul, la loi conditionnelle de la variable aléatoire \(X_n\) sachant \([F_n=2k]\) est une loi binomiale de paramètres \(2k\) et \(r\), \(r\) étant un réel de \(]0,1[\).
Compléter le script Python suivant pour
qu’il simule l’expérience et affiche les fortunes successives \(F_1,\dots,F_n\) du joueur à l’issue des
\(n\) premières épreuves, les entiers
\(n,p,r,a\) étant entrés par
l’utilisateur :
Dans la suite de l’exercice, on pose : \[A=pr^2+(1-p)(1-r)^2 \quad\text{et}\quad B=2 \left[ pr+(1-p)(1-r) \right].\]
Montrer que pour tout réel \(x\) et tout entier naturel \(n\), on a: \[G_{n+1}(x)=p \, G_n\!\left( (xr+1-r)^2 \right)+(1-p)\, G_n\! \left( (x-xr+r)^2\right). \tag{2}\]
Dans cette question uniquement, on suppose que : \(p=\dfrac{1}{2}\).
On considère le trinôme \(Q(X)=AX^2 + 2r \left( 1-r \right) X + A\), et la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par la condition initiale \(u_0=0\) et : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=Q(u_n).\]
Montrer, pour tout réel \(x\), l’égalité: \(Q(x)=x+A(x-1)^2\).
Montrer que l’intervalle \([0,1]\) est stable par \(Q\).
Montrer que la suite \(u\) est croissante et convergente. Donner la valeur de sa limite.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), montrer, en utilisant (2) et la convexité de \(G_n\) sur \(\mathbb{R}^+\), que : \[\forall x\in\mathbb{R}^+,\ G_{n+1}(x)\geqslant G_n (Q(x) ).\]
Établir: \[\forall n \in \mathbb{N},\ G_{n+1}(0)\geqslant G_1(u_n).\]
Conclure.
On revient au cas général où \(p\) est quelconque.
Montrer à l’aide de (2), que la suite \((\mathbb{E}(F_n) )_{n\in\mathbb{N}}\) est géométrique de raison \(B\).
En posant \(\displaystyle p'=\dfrac{1}{2}-p\) et \(\displaystyle r'=\dfrac{1}{2} -r\), étudier la limite de cette suite suivant les valeurs de \(p\) et \(r\).
Montrer que si \((\mathbb{E}(F_n))_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\), alors \((\mathbb{P}(F_n=0))_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(1\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
