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\(a\) et \(b\) sont deux réels supérieurs ou égaux à 1.
On étudie la suite numérique \((u_{n})\) définie par : \(u_{0}=a\), \(u_{1}=b\) et pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+2}=\sqrt{u_{n}}+\sqrt{u_{n+1}}\]
Soit \((x_{n})\) une suite numérique qui vérifie, pour tout entier naturel \(n\) , la relation : \[x_{n+2}=\dfrac{1}{3} \, x_{n+1}+\dfrac{1}{3} \, x_{n}\] Montrer que : \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n}\) est bien défini et vérifie : \(u_{n}\geqslant 1\).
Montrer que la seule limite possible de la suite \(% (u_{n})\) est \(4\).
Écrire un programme Python qui calcule
et affiche la valeur de \(u_{n}\) pour
des valeurs de \(a\) et \(b\) réelles supé rieures ou égales à \(1\) et de \(n\) entier supérieur ou égal à \(2\), entrées par l’utilisateur.
On se propose d’établir la convergence de la suite \((u_{n})\) par l’étude d’une suite auxiliaire \((v_{n})\) définie, pour tout entier naturel \(n\) par: \[v_{n}=\dfrac{\sqrt{u_{n}}}{2} -1\]
Montrer que si \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=0\) alors \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=4\).
Vérifier, pour tout entier \(n\): \[v_{n+2}=\dfrac{% v_{n+1}+v_{n}}{2 \left( 2+v_{n+2} \right)}\]
En déduire que : \(|v_{n+2}|\leqslant \dfrac{1}{3} \left(|v_{n}|+|v_{n+1}| \right)\).
On note \((x_{n})\) la suite définie par : \(% x_{0}=|v_{0}|\), \(x_{1}=|v_{1}|\) et pour tout entier naturel \(n\) : \[x_{n+2}=\dfrac{1}{3} \, x_{n+1}+\dfrac{1}{3} \, x_{n}\] Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(|v_{n}|\leqslant x_{n}\) et conclure quant à la convergence de la suite \((u_{n})\).
Toutes les matrices de cet exercice sont des éléments de l’ensemble \(E\) des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels.
On pose : \(O= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0% \end{pmatrix}\), \(I= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1% \end{pmatrix}\), \(H=\left\{ M\in E \ / \ \exists \alpha \in \mathbb{R}\text{ tel que }% M=\alpha I\right\}\) et pour toute matrice réelle \(M= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d% \end{pmatrix}\), \(\tau (M)=a+d\) et \(\delta (M)=ad-bc\).
On dit que la suite de matrices \((A_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) où \(A_{n}= \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d_{n}% \end{pmatrix}\) converge vers la matrice \(O\) si \((a_{n})\), \((b_{n})\), \((c_{n})\) et \((d_{n})\) sont des suites réelles de limite nulle.
Soit \((A_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) et \((B_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) deux suites de matrices, \(\lambda\) un réel et \(M\) une matrice. Montrer que si \((A_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) et \((B_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) convergent vers la matrice \(O\), alors \((A_{n}+B_{n})_{n\in \mathbb{N}}\), \((\lambda A_{n})_{n\in \mathbb{N}}\), \((MA_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) et \((A_{n} M)_{n\in \mathbb{N}}\) convergent aussi vers \(O\).
Soit \(D= \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu% \end{pmatrix}\) avec \(|\lambda |<1\) et \(|\mu |<1\). Montrer que la suite de matrices \(% (D^{n})_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(O\).
Soit \(A\) une matrice diagonalisable, de valeurs propres \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(|\lambda |<1\) et \(|\mu |<1\). Montrer que la suite \((D^{n})_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(O\).
Dans toute cette question, \(A\) désigne un élément de \(E\) tel que \(\delta (A)<0\).
On se propose de montrer qu’une telle matrice est diagonalisable.
Montrer que \(A\) n’est pas élément de \(H\).
Vérifier par le calcul que, pour tout élément \(M\) de \(E\) on a: \[M^{2}=\tau (M)M-\delta (M)I\qquad (\ast )\]
Montrer qu’il existe deux réels distincts \(\lambda\) et \(\mu\) tels que: \[\lambda +\mu =\tau (A) \quad \text{et} \quad \lambda \mu =\delta (A)\]
On pose \(M=A-\lambda I\) et \(N=A-\mu I\).
Montrer que \(MN=O\) et en déduire que l’hypothèse « \(M\) est inversible » conduit à une contradiction.
Montrer de même que \(N\) n’est pas inversible.
En déduire que \(A\) est diagonalisable et qu’il existe une matrice \(P\) de \(E\) inversible telle que \(A=P D P^{-1}\) avec \(D= \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu% \end{pmatrix}\).
On note \(U\) l’ouvert de \(\mathbb{R}^{2}\) défini par \(U=\left] \dfrac{1}{3},{% \dfrac{2}{3}}\right[ \times \left] 0,1 \right[\) et \(f\) l’application définie sur \(U\) par :
\[(x,y)\mapsto f(x,y)=x^{2}-x+xy^{2}-xy\]
Montrer que \(f\) est strictement négative sur \(U\).
Montrer (en rédigeant soigneusement) que \(f\) admet un unique extremum sur \(U\) et que celui-ci est un minimum dont on donnera la valeur.
En déduire que, pour tout élément \((x,y)\) de \(U\): \(-{\dfrac{25}{65}}% \leqslant f(x,y)<0\).
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \((a,b)\) soit un élément de l’ouvert \(U\) défini précédemment.
On pose \(Q=\begin{pmatrix} a & b \\ a \left( 1-b\right) & a-1% \end{pmatrix}\).
On se propose de montrer que la suite de matrices \((Q^{n})_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(O\).
Calculer \(\tau (Q)\) et \(\delta (Q)\).
Vérifier que les résultats de la question 2 s’appliquent pour \(A=Q\) et en dé duire que \(Q\) admet deux valeurs propres distinctes \(\lambda\) et \(\mu\) telles que: \[-{\dfrac{1}{3}}<\lambda +\mu <{\dfrac{1}{3}}\qquad \text{et}\qquad -{\dfrac{% 25}{64}}\leqslant \lambda \mu \leqslant 0\]
Exprimer \(\lambda ^{2}+\mu ^{2}\) en fonction de \(% \lambda +\mu\) et \(\lambda \mu\) et en déduire que \(\lambda ^{2}+\mu ^{2}<1\).
Pourquoi peut on affirmer que la suite \((Q^{n})_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(O\) ?
On modélise la durée de fonctionnement d’un appareil par une variable alé atoire réelle \(T\) définie sur un certain espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) admettant une densité \(f\) continue sur \(\mathbb{R}_+\).
On note \(F\) sa fonction de répartition et on suppose que \(F\) vérifie les propriétés:
\(F(t)=0\) pour tout réel \(t\leqslant 0\).
\(F\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}% ^{+}\).
Sous une hypothèse introduite dans la question 2, on se propose d’expliciter \(F\) et \(f\), puis de calculer l’espérance \(\mathbb{E}(T)\) de \(T\), « temps moyen de fonctionnement ».
On rappelle que l’intégrale généralisée \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty } \,\mathrm{e}^{-u^{2}} \,\mathrm{d}u\) converge et vaut \({\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}\).
Soit \(\alpha\) un réel strictement positif; si \(x\) est un élément de \(% \mathbb{R}^{+}\), on pose: \[I(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}2u^{2} \,\mathrm{e}^{-u^{2}} \,\mathrm{d}u\qquad \text{et}\qquad J(x)=\displaystyle \int_{0}^{x} t^{2} \,\mathrm{e}^{-(t/\alpha )^{2}} \,\mathrm{d}t\]
À l’aide d’un changement de variable, exprimer, pour tout élément \(x\) de \(\mathbb{R}^{+}\), \(J(x)\) en fonction de \(I \! \left( {\dfrac{x}{\alpha }}\right)\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout élément \(x\) de \(\mathbb{R}^{+}\): \[I(x)=\displaystyle \int_{0}^{x} \,\mathrm{e}^{-u^{2}} \,\mathrm{d}u-x \,\mathrm{e}^{-x^{2}}\]
En déduire que l’intégrale généralisée \(% \displaystyle \int_{0}^{+\infty }t^{2} \,\mathrm{e}^{-(t/\alpha )^{2}} \,\mathrm{d}t\) converge et vaut \({% \dfrac{\alpha ^{3}\sqrt{\pi }}{4}}\).
Montrer que, pour tout élément \(u\) de \(\mathbb{R}^{+}\), \(F(u)<1\), puis en déduire que \(\mathbb{P}(T\geqslant u)\neq 0\).
Soient \(t_{0}\) et \(t\) des réels tels que \(0\leqslant t_{0}\leqslant t\).
On pose : \(q(t_{0},t)={\dfrac{1}{t-t_{0}}} \,\mathbb{P}_{[T \geqslant t_0]}(t_{0}\leqslant T\leqslant t )\) (c’est une probabilité conditionnelle).
\(q(t_{0},t)\) est le taux d’arrêt de fonctionnement entre les instants \(t_{0}\) et \(t\).
On définit ensuite, sous réserve d’existence, le taux d’arrêt de fonctionnement instantané en \(t_{0}\) par: \[\tau (t_{0})=\lim_{t\rightarrow t_{0}^{+}}q(t_{0},t)\] Exprimer \(q(t_{0},t)\) en fonction de \(t\), \(t_{0}\), \(F(t_{0})\) et \(F(t)\).
En déduire que \(\tau (t_{0})\) existe et que : \[\tau (t_{0})={\dfrac{F^{\prime }(t_{0})}{1-F(t_{0})}}\]
Dans la suite de l’énoncé, on fait l’hypothèse suivante: il existe un réel \(c>0\) tel que, pour tout élément \(t\) de \(\mathbb{R}^{+}\), \(% \tau (t)=ct\).
Montrer que, pour tout élément \(t\) de \(\mathbb{R}^{+}\), on a : \[-\ln \! \left[ 1-F(t)\right] =c \, {\dfrac{t^{2}}{2}}\]
Soit \(t\) un élément de \(\mathbb{R}^{+}\).
Expliciter \(F(t)\), puis montrer, en posant \(\alpha =\sqrt{\dfrac{2}{c}}\), que \(f(t)=\dfrac{2}{\alpha ^{2}} \, t \,\mathrm{e}^{-(t/\alpha )^{2}}\).
Montrer que \(\mathbb{E}(T)\) existe et donner sa valeur en fonction de \(c\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
