Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du concours e3a-Polytech 2026.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^n\).
Écrire pour la fonction \(f\), sans la redémontrer, la formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\) en un point \(a\) de \(\mathbb{R}^n\).
Soient \(J\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les éléments sont égaux à \(1\) et \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Déterminer le rang de \(J\).
Justifier que \(0\) est valeur propre de \(J\). Quel est son ordre de multiplicité ?
Démontrer alors que la matrice \(I_n+J\) est symétrique réelle définie positive.
\(\ast\ \ast\ \ast\ \ast\ \ast\)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^n\) par : \[\forall m=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n,\ f(m)=\sum_{k=1}^nx_k^2+\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)^2-\sum_{k=1}^nx_k\] c’est-à-dire : \[f(m)=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)+\left(x_1+x_2+\dots+x_n\right)^2-\left(x_1+x_2+\dots+x_n\right)\]
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^n\).
Soit \(m=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\).
Calculer \(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(m)\).
Calculer \(\dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}(m)\) et \(\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}(m)\).
Calculer \(\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1^2}(m)\).
Déterminer le vecteur gradient \(\nabla f(m)\) de \(f\) au point \(m=(x_1,\dots,x_n)\).
Déterminer le seul point critique \(a=(a_1,\dots,a_n)\) de \(f\) dans \(\mathbb{R}^n\).
Soit \(m=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\).
Déterminer la matrice Hessienne \(H_f(m)\) de \(f\).
Déterminer le spectre de \(H_f(m)\).
Montrer que \(f\) admet un extremum local en \(a\) et préciser sa nature et sa valeur.
On définit, lorsque cela est possible, la suite réelle \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) par : \[\left\{\begin{array}{l} v_0\in[-1,1]\\ \text{et}\\ \forall n\in\mathbb{N},\ v_{n+1}=\ln\!\left(1-\dfrac{1}{2}\,v_n\right) \end{array}\right.\]
Étude de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\)
Dresser le tableau de variations sur \([-1,1]\) de la fonction \(f:x\mapsto\ln\!\left(1-\dfrac{1}{2}\,x\right)\).
En particulier, on déterminera les deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(f([-1,1])=[a,b]\).
Justifier que \([a,b]\subset\left]-1,1\right[\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(v_n\) est bien défini et que \(v_n\in[a,b]\).
Démontrer qu’il existe \(k\in\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\in[a,b]\), \(\left| f'(x) \right|\leqslant k\).
Prouver alors que pour tout entier \(n\geqslant2\), \(\left| v_n \right|\leqslant k\times\left| v_{n-1} \right|\).
Démontrer que la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge et déterminer sa limite.
Étude d’une série de fonctions
On définit la suite de fonctions \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sur \([-1,1]\) par : \[\left\{\begin{array}{l} u_0(x)=x\\ \text{et}\\ \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}(x)=\ln\!\left(1-\dfrac{1}{2}\,u_n(x)\right) \end{array}\right.\]
Prouver que la série de fonctions \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}u_n\) converge uniformément sur \([-1,1]\).
Soient \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(3\), et \(E_n=\mathbb{R}_n[X]\).
Dans tout l’exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée.
Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on pose \(P_k(X)=X^k\) et on rappelle que \(\mathcal{B}=(P_0,P_1,\dots,P_n)\) est une base de \(E_n\).
On note \(\Phi\) l’application qui à tout polynôme \(P\) de \(E_n\) associe : \[\Phi(P)=\left(\left(X^2-1\right)P\right)''=\left(X^2-1\right)P''+4XP'+2P\]
Vérifier que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E_n\).
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Calculer \(\Phi(P_k)\).
Déterminer la matrice \(M\) de \(\Phi\) dans la base \(\mathcal{B}\).
On explicitera soigneusement les trois premières colonnes et, en fonction de \(j\), une \(j\)-ième colonne de la matrice \(M\), avec \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {3,n+1} \right]\kern-0.15em\right]\).
Montrer que \(\Phi\) admet \(n+1\) valeurs propres deux à deux distinctes notées : \(\lambda_0<\lambda_1<\dots<\lambda_n\).
L’endomorphisme \(\Phi\) de \(E_n\) est-il un automorphisme de \(E_n\) ?
Vérifier que \(\Phi\) est diagonalisable et déterminer la dimension de ses sous-espaces propres.
Soient \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et \(T\) un vecteur propre de \(\Phi\) associé à la valeur propre \(\lambda_k\).
Montrer que le degré de \(T\) est égal à \(k\).
Montrer que le polynôme \(Q\) défini par : \(Q(X)=T(-X)\) est un vecteur propre de \(\Phi\) associé à la valeur propre \(\lambda_k\).
Montrer qu’il existe une unique base \(\mathcal{U}=(Q_0,Q_1,\dots,Q_n)\) de \(E_n\) constituée de vecteurs propres de \(\Phi\), telle que, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(Q_k\) est un polynôme unitaire de degré \(k\) et vérifie : \[Q_k(-X)=(-1)^k\,Q_k(X)\]
Que peut-on en déduire sur la parité des polynômes \(Q_k\) ?
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Justifier que \((Q_0,Q_1,\dots,Q_k)\) est une base de \(\mathbb{R}_k[X]\).
Calculer \(Q_k\) pour \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,3} \right]\kern-0.15em\right]\).
Montrer que l’application \((P,Q)\mapsto(P|Q)=\displaystyle\int_{-1}^1\left(1-t^2\right)P(t)\,Q(t)\,\mathrm{d}t\) définit un produit scalaire sur \(E_n\).
On munit alors \(E_n\) de ce produit scalaire.
Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme symétrique de \(\left(E_n,(\,|\,)\right)\).
On pourra intégrer par parties.
Montrer que la base \(\mathcal{U}\) est orthogonale pour le produit scalaire \((\,|\,)\).
On pourra calculer pour \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), \(i\neq j\), le produit scalaire \(\left(\Phi(Q_i)|Q_j\right)\).
Soit \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Montrer que : \(\forall S\in\mathbb{R}_{j-1}[X],\ (S|Q_j)=0\).
Dans tout l’exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée.
Montrer qu’un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\) de degré impair possède au moins une racine réelle.
Déterminer les racines complexes du polynôme \(X^{11}-1\).
En déduire les racines complexes du polynôme \(1+X+X^2+\dots+X^{10}=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}X^k\). Justifier qu’aucune n’est réelle.
\(\ast\ast\ast\ast\ast\)
Soient \(U\) et \(V\) les variables aléatoires de l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) correspondant chacune au lancer d’un dé à \(6\) faces, numérotées de \(1\) à \(6\), pas forcément équilibré, les lancers étant indépendants.
On suppose que chaque face de chaque dé possède une probabilité non nulle d’apparition.
Enfin, on note \(S=U+V\).
Déterminer les valeurs prises par les variables aléatoires \(U\), \(V\) et \(S\).
On suppose que \(S\) suit une loi uniforme.
Démontrer que la fonction génératrice \(G_S\) de \(S\) est une fonction polynomiale que l’on déterminera.
Déterminer les racines de \(G_S\) dans \(\mathbb{C}\).
Soient \(G_U\) et \(G_V\) les fonctions génératrices des variables aléatoires \(U\) et \(V\).
Déterminer un polynôme \(Q\) (respectivement \(R\)) dont les coefficients dépendent de la loi de la variable aléatoire \(U\) (respectivement de la variable aléatoire \(V\)), vérifiant : \[\forall t\in\mathbb{R},\ G_U(t)=t\,Q(t)\quad\text{et}\quad G_V(t)=t\,R(t)\]
Démontrer que les polynômes \(Q\) et \(R\) possèdent chacun au moins une racine réelle.
On pourra utiliser une des questions préliminaires.
Montrer que \(\forall t\in\mathbb{R},\ G_S(t)=t^2\,Q(t)\,R(t)\).
Établir une contradiction qui démontre que la supposition encadrée est fausse.
On pourra utiliser une des questions préliminaires.
Est-il possible de truquer deux dés à six faces de façon à ce que la somme des résultats obtenus au cours de lancers suive une loi uniforme ?
FIN
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Quatre exercices indépendants et bien guidés : minimum d'une fonction quadratique de ℝⁿ par la hessienne 2(Iₙ + J), suite récurrente contractante et série de fonctions associée, réduction de l'endomorphisme P ↦ ((X² − 1)P)″ avec une base de polynômes propres orthogonale pour un produit scalaire à poids, puis impossibilité de truquer deux dés pour que leur somme soit uniforme.
Le troisième exercice, long et abstrait, est le plus exigeant.