Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du concours e3a-Polytech 2026.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
On rappelle que si \(A\) est une matrice, alors \(A^\top\) désigne sa transposée.
Soit \(g\) un endomorphisme d’un espace vectoriel réel \(H\).
Soit \(\mu\) une valeur propre de \(g\). Montrer que \(\mu^2\) est valeur propre de \(g^2=g\circ g\).
Montrer que si \(x\) est vecteur propre de \(g^2\) associé à une valeur propre non nulle, alors \(g(x)\) est un vecteur propre de \(g^2\).
Démontrer que deux sous-espaces propres de \(g\) associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\geqslant2\) à coefficients réels.
Exprimer, sans démonstration, \(\det(-A)\) et \(\det\!\left(A^\top\right)\) en fonction de \(\det(A)\).
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On note \(E=\mathbb{R}^5\) muni du produit scalaire usuel noté \((x\,|\,y)=X^\top Y\), où \(X\) et \(Y\) sont les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs \(x\) et \(y\) dans la base canonique \(\mathcal{B}=(e_j)_{j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,5} \right]\kern-0.15em\right]}\), orthonormale pour ce produit scalaire.
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(E\) défini par sa matrice \(M\) dans la base \(\mathcal{B}\) : \[M=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\]
Premières propriétés de l’endomorphisme \(f\)
Déterminer la matrice \(M+M^\top\).
Montrer que \(f\) n’est pas un automorphisme de \(E\).
Déterminer le rang de la matrice \(M\).
Prouver que \(f^2\) est un endomorphisme symétrique de \(E\).
Justifier alors que la matrice \(M^2\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_5(\mathbb{R})\).
Montrer que \(f\) vérifie la propriété : \(\forall(x,y)\in E^2,\ \left(f(x)\,|\,y\right)=-\left(x\,|\,f(y)\right)\).
Étude des éléments propres de l’endomorphisme \(f\)
Montrer que \(0\) est la seule valeur propre de \(f\).
On pourra utiliser la question précédente.
En déduire que l’endomorphisme \(f\) n’est pas diagonalisable.
Démontrer que les valeurs propres non nulles de \(f^2\) sont strictement négatives.
On admet dans la suite que les valeurs propres distinctes de \(f^2\) sont \(0\), \(-1\) et \(-3\).
Prouver que : \(E=\mathrm{Ker}(f)\oplus\mathrm{Im}(f)\).
Soient \(\lambda\) une valeur propre non nulle de \(f^2\) et \(x\) un vecteur propre associé.
Montrer que les vecteurs \(x\) et \(f(x)\) forment une famille libre.
Justifier que \((x,f(x))\) engendre un plan vectoriel de \(\mathrm{Im}(f)\).
Soient \(u\) un vecteur propre de \(f^2\) associé à la valeur propre \(-1\) et \(v\) un vecteur propre de \(f^2\) associé à la valeur propre \(-3\).
Montrer que \((u,f(u),v,f(v))\) est une base de \(\mathrm{Im}(f)\).
On pourra utiliser des questions préliminaires.
Déterminer des réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) tels que la matrice \(M\) soit semblable à la matrice : \[T=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \alpha & 0 & 0\\ 0 & \beta & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \gamma\\ 0 & 0 & 0 & \delta & 0\end{pmatrix}\]
Écrire le développement limité à l’ordre \(2\) de la fonction \(t\mapsto\mathrm{e}^t\) en \(0\).
Soient \(h\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) et \(a\in\mathbb{R}_+^\ast\).
Justifier que la fonction \(H:x\mapsto\displaystyle\int_a^xh(t)\,\mathrm{d}t\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et déterminer sa dérivée.
En déduire que la fonction \(G:x\mapsto\displaystyle\int_x^{x+1}h(t)\,\mathrm{d}t\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et calculer sa dérivée.
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Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Justifier que la fonction \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{f(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t\) est définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
Soit l’application \(T\) qui à toute fonction \(f\), continue sur \([0,1]\), associe la fonction \(F\) : \[T(f)=F\]
Un premier exemple
On pose pour tout entier naturel \(n\), \(f_n:t\in[0,1]\mapsto t^n\) et \(F_n=T\!\left(f_n\right)\).
Soit \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\).
Calculer \(F_0(x)\).
Calculer, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(F_k(x)+xF_{k-1}(x)\).
Soit \(k\in\mathbb{N}^\ast\). Démontrer que : \[\frac{F_k(x)}{(-x)^k}-\frac{F_{k-1}(x)}{(-x)^{k-1}}=\frac{(-1)^k}{k}\left(\frac{1}{x}\right)^k\]
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), il existe un polynôme \(P_n\), que l’on déterminera, tel que : \[F_n(x)=(-x)^n\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)-P_n\!\left(\frac{1}{x}\right)\right)\]
Un deuxième exemple
Soient \(g:t\in[0,1]\mapsto\mathrm{e}^t\) et \(G=T(g)\), c’est-à-dire : \[G:x\mapsto\int_0^1\frac{\mathrm{e}^t}{x+t}\,\mathrm{d}t\]
En effectuant le changement de variable \(u=x+t\), prouver que \(G\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
On pose, lorsque cela existe : \[J(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{e}^t-1}{t}\,\mathrm{d}t \quad\text{et}\quad K(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{e}^t}{1+t}\,\mathrm{d}t\]
Montrer que \(J\) et \(K\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_+\).
Montrer que la fonction \(L:x\mapsto G(x)\,\mathrm{e}^x-\mathrm{e} K(x)+J(x)+\ln(x)\) est constante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
En déduire enfin la limite de \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}G(x)\) et un équivalent de \(G(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0^+\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) à valeurs dans \(\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\).
On pose, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]\), \(p_k=\mathbb{P}(X=k)\in[0,1]\) et on se propose de déterminer pour quelles valeurs des \((p_k)_{k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]}\), la variance \(\mathbb{V}(X)\) est maximale, puis minimale.
Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire \(X^2\).
Calculer \(\mathbb{E}\!\left(X^2\right)\), l’espérance de la variable aléatoire \(X^2\).
Exprimer la variance \(\mathbb{V}(X)\) de la variable aléatoire \(X\) à l’aide des seuls paramètres \(p_1\) et \(p_2\).
On considère la fonction \(f\) de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ f(x,y)=4x+y-4x^2-y^2-4xy\]
On note \(T\) l’ensemble fermé et borné défini par : \(T=\left\lbrace (x,y)\in[0,1]^2,\ x+y\leqslant1\right\rbrace\).
Représenter graphiquement \(T\) dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\).
Montrer que \(f\) possède des extrema dans \(T\).
Soit \(m=(x,y)\) un point de \(\mathbb{R}^2\). Déterminer le vecteur gradient \(\nabla f(m)\), de \(f\), en \(m\).
Prouver que \(f\) ne possède pas de point critique dans l’intérieur de \(T\).
On note \(g\) la fonction réelle de la variable réelle qui à tout \(x\) réel associe \(g(x)=x(1-x)\). Dresser le tableau des variations de la fonction \(g\) sur l’intervalle \([0,1]\) et en donner une représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Déterminer alors les extrema de \(f\) dans \(T\).
Résoudre alors le problème posé au début de l’exercice.
Que peut-on dire de la variable aléatoire \(X\) lorsque sa variance est minimale ?
Fin
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet très proche du cours, en trois exercices indépendants : réduction d'une matrice antisymétrique d'ordre 5 par l'étude de f² et l'orthogonalité, intégrales fonctions de leurs bornes jusqu'à un équivalent de ∫₀¹ eᵗ/(x + t) dt en 0⁺, puis extrema de la variance d'une variable à valeurs 1, 2 ou 3 par l'étude d'une fonction de deux variables sur un triangle.
Les questions préliminaires guident l'essentiel du travail.