Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du concours e3a-Polytech 2026.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Vérifier que \(\varphi : t\mapsto t^n\) est une fonction convexe sur \(\left]0,1\right[\).
Écrire l’inégalité de convexité de Jensen pour cette fonction.
Soient \(p\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 et \(J\) la matrice de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1. On note \(I_p\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\).
Déterminer un polynôme annulateur de \(J\) de degré 2.
En déduire les valeurs propres possibles de \(I_p+J\).
Justifier alors que la matrice \(I_p+J\) appartient à \(\mathcal{S}_p^{++}(\mathbb{R})\), c’est-à-dire que \(I_p+J\) est une matrice symétrique réelle définie positive.
\(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\)
Soient \(n\) et \(r\) deux entiers naturels avec \(n\geqslant2\) et \(r\geqslant3\).
On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à \(r\) résultats différents \(\left(\alpha_j\right)_{j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]}\) de probabilités respectives \(\left(x_j\right)_{j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]}\) avec : \(\forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right],\ x_j\in\left]0,1\right[\).
On effectue \(n\) épreuves indépendantes du type de celle décrite au-dessus, ce qui définit un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})\).
Pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(X_j\) la variable aléatoire telle que \(X_j(\Omega)=\{0,1\}\), et pour tout \(\omega\in\Omega\) :
\(X_j(\omega)=0\) si \(\alpha_j\) est obtenu au moins une fois à l’issue de ces \(n\) épreuves,
\(X_j(\omega)=1\) sinon, c’est-à-dire si \(\alpha_j\) n’est jamais obtenu.
Enfin, on désigne par \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de résultats qui n’ont pas été obtenus à l’issue des \(n\) épreuves.
Une expression de l’espérance de \(X\)
Soit \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\). Déterminer la loi de \(X_j\).
Exprimer la variable aléatoire \(X\) à l’aide des variables \(\left(X_j\right)_{j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]}\).
Démontrer alors que l’espérance de la variable aléatoire \(X\) est : \(\mathbb{E}(X)=\displaystyle\sum_{j=1}^r\left(1-x_j\right)^n\).
La suite de l’exercice consiste à rechercher les valeurs des réels \(x_j\) pour lesquelles l’espérance \(\mathbb{E}(X)\) est minimale.
Cela revient à dire que l’on cherche un minimum pour la fonction \(f : (x_1,\dots,x_r)\in\mathbb{R}^r\mapsto\displaystyle\sum_{j=1}^r\left(1-x_j\right)^n\) sous la contrainte : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right],\ x_k>0 \qquad\text{et}\qquad \sum_{j=1}^rx_j=1\]
On pose \(U=\left\{(x_1,\dots,x_{r-1})\in\mathbb{R}^{r-1},\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r-1} \right]\kern-0.15em\right],\ x_k>0\ \text{ et }\ \displaystyle\sum_{j=1}^{r-1}x_j<1\right\}\).
Représenter graphiquement \(U\) dans le plan, c’est-à-dire dans le cas où \(r=3\).
Justifier que \(U\) est un ouvert borné de \(\mathbb{R}^{r-1}\).
Déterminer une fonction \(h\), définie sur \(U\), des \(r-1\) variables \(\left(x_j\right)_{j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r-1} \right]\kern-0.15em\right]}\), telle que : \[h(x_1,...,x_{r-1})=\mathbb{E}(X)\]
Prouver que \(h\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(U\).
Recherche des points critiques de \(h\)
Soient \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r-1} \right]\kern-0.15em\right]\) et \(m=(x_1,...,x_{r-1})\in U\).
Déterminer la \(j\)-ième coordonnée du vecteur gradient de la fonction \(h\) en \(m\) .
Déterminer l’unique point critique \(b\) de \(h\) sur \(U\).
Conclusion
Écrire la matrice Hessienne de \(h\) en \(b\).
Démontrer alors que : \[\mathbb{E}(X)\text{ admet un minimum local pour }x_1=\cdots=x_r=\frac{1}{r}\]
On pourra utiliser une question préliminaire.
En utilisant la convexité de la fonction \(\varphi\) définie dans la question préliminaire, démontrer que : \[\mathbb{E}(X)\text{ est minimale si, et seulement si, }x_1=\cdots=x_r=\frac{1}{r}\]
Rappeler, sans démonstration, les valeurs de \(x\in\mathbb{R}\) pour lesquelles la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^x}\) converge.
Lorsqu’il y a convergence, on note \(\zeta(x)\) sa somme.
Rappeler, sans démonstration, la somme et l’intervalle de convergence de la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}t^n\).
\(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\)
On rappelle que si \(f\) est une fonction infiniment dérivable sur une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\), alors, pour tout entier naturel \(p\), \(f^{(p)}\) désigne la dérivée d’ordre \(p\) de la fonction \(f\) avec la convention \(f^{(0)}=f\).
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\) et tout \(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\), on note, lorsque cela existe : \[E_1(x)=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x-n}+\frac{1}{x+n}\right)\quad\text{et, pour }k\geqslant2,\ E_k(x)=\frac{1}{x^k}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(x-n)^k}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(x+n)^k}\]
Justifier l’existence de \(E_1(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\).
Soient \(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) et \(k\) un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Étudier la nature des séries \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{(x-n)^k}\) et \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{(x+n)^k}\).
En déduire l’existence de \(E_k(x)\) pour tout \(k\geqslant2\).
Soit \(k\in\mathbb{N}^\ast\).
Démontrer que la fonction \(E_k\) est 1-périodique.
Étudier la parité de la fonction \(E_k\).
Une relation de récurrence
Prouver que pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), la fonction \(E_k\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) et que l’on a : \[\forall x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z},\ E_k'(x)=-k\,E_{k+1}(x)\]
En déduire que pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), la fonction \(E_k\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) et que : \[E_k=\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)\,!}\,E_1^{(k-1)}\]
Montrer que pour tout \(x\) de \(\left]-1,1\right[\) et pour tout entier naturel non nul \(n\), la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant0}\frac{x^k}{n^{k+1}}\) converge et calculer sa somme.
Établir que pour tout \(x\in\left]-1,1\right[\), on a : \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{s=1}^{+\infty}\frac{2}{n^{2s}}\,x^{2s-1}\]
Montrer que pour tout \(x\) non nul de \(\left]-1,1\right[\), on a : \[E_1(x)=\frac{1}{x}-2\sum_{s=1}^{+\infty}\zeta(2s)\,x^{2s-1}\]
Le théorème utilisé sera cité avec précision en vérifiant ses hypothèses avec soin.
En déduire que \(\forall k\in\mathbb{N}^\ast\), \(\forall x\in\left]-1,1\right[\), \(x\neq0\), \[E_k(x)=\frac{1}{x^k}+2(-1)^k\sum_{s=1}^{+\infty}\binom{2s-1}{k-1}\zeta(2s)\,x^{2s-k}\] avec la convention \(\dbinom{m}{p}=0\) si \(p>m\).
Dans cet exercice, le corps \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3.
À tout \(n\)-uplet \((a_1,\dots,a_n)\) de \(\mathbb{K}^\ast\times\mathbb{K}^{n-1}\), c’est-à-dire que \(a_1\neq0\), on associe la matrice : \[M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_1\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1}\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]
Dans cette question \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)
Justifier que \(M\) est diagonalisable.
Déterminer le rang de la matrice \(M\).
Justifier que 0 est valeur propre et donner son ordre de multiplicité.
Démontrer alors que la matrice \(M\) possède deux valeurs propres non nulles (éventuellement égales) que l’on notera \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).
Déterminer une base du sous-espace propre associé à la valeur propre 0.
Soit \(\lambda\) un réel non nul.
En résolvant le système \(MX=\lambda X\) où \(X\) est un vecteur non nul de \(\mathbb{R}^n\), montrer que \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) sont solutions de l’équation : \[\lambda^2-\lambda\,a_n-\sum_{j=1}^{n-1}a_j^2=0\]
Déterminer une base des sous-espaces propres de \(M\) associés à \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).
Expliciter une matrice inversible \(P\) telle que \(P^{-1}MP\) est diagonale.
On précisera la matrice diagonale obtenue.
Étude du cas \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\)
Montrer que : \[M\text{ \textbf{n'est pas} diagonalisable si, et seulement si, } \left\{\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}a_j^2=0\\[2ex] \text{ou}\\[1ex] a_n^2+4\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}a_j^2=0 \end{array}\right.\]
Donner un exemple de matrice \(M\) non diagonalisable dans le cas où \(n=3\).
Fin
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Trois exercices indépendants et très guidés : minimisation de l'espérance du nombre de résultats non obtenus en n épreuves (hessienne, puis convexité et inégalité de Jensen), étude des séries de fonctions Eₖ(x) = Σ 1/(x + n)ᵏ jusqu'à leur développement à l'aide des ζ(2s), puis réduction d'une matrice symétrique de rang 2 dans ℝ et dans ℂ.
Les théorèmes de dérivation terme à terme et de Fubini, cités avec leurs hypothèses, font la différence.