Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du concours e3a-Polytech 2026.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(5\).
On rappelle que \(\mathbb{C}_{n-1}[X]\) est le \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n-1\), à coefficients complexes.
Dans tout l’exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée.
Pour tout endomorphisme \(v\) de \(\mathbb{C}_{n-1}[X]\) et tout entier naturel \(m\), on rappelle que : \(v^0=\operatorname{Id}\) où \(\operatorname{Id}\) est l’endomorphisme identité de \(\mathbb{C}_{n-1}[X]\) et lorsque \(m\) est non nul, \(v^m=v\circ v^{m-1}\).
On considère l’application \(u\) définie par : \[\forall P\in\mathbb{C}_{n-1}[X],\ u(P)=Q\quad\text{où}\quad Q(X)=P(X+1)\]
Étude de \(u\)
Vérifier que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{C}_{n-1}[X]\).
Soit \(\mathscr{B}=(P_0,P_1,\dots,P_{n-1})\) la base canonique ordonnée de \(\mathbb{C}_{n-1}[X]\), c’est à dire : \[\forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ P_j(X)=X^j\] Pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), déterminer l’expression de \(u(P_j)\) dans la base \(\mathscr{B}\).
Déterminer alors la matrice \(M\) de \(u\) dans la base \(\mathscr{B}\).
On fera clairement apparaître sur la copie les deux premières colonnes ainsi que la \(k\)-ième colonne de la matrice \(M\) pour un entier naturel \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {3,n-2} \right]\kern-0.15em\right]\).
Déterminer le polynôme caractéristique \(\chi_u\) de l’endomorphisme \(u\).
L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?
Justifier que l’endomorphisme \(u\) est un automorphisme de \(\mathbb{C}_{n-1}[X]\) et préciser \(u^{-1}\).
Déterminer \(M^{-1}\).
Soit \(k\in\mathbb{N}\). Déterminer \(u^k\).
On note \(\Delta=u-\operatorname{Id}\).
Montrer que \(\Delta\) est nilpotent avec : \(\Delta^n=0\).
L’endomorphisme \(\Delta\) est-il diagonalisable ?
Démontrer qu’il existe des entiers relatifs \((a_k)_{k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]}\in\mathbb{Z}^n\), que l’on déterminera, tels que : \[\forall P\in\mathbb{C}_{n-1}[X],\ \ P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_k\,P(X+k)=0\]
Dans tout l’exercice, \(a\) désigne un nombre réel.
Pour tout réel \(s>1\), on appelle \(\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\) et l’on rappelle que : \(\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\).
Justifier la convergence de la série de terme général \(u_n=\dfrac{1}{n^2+a^2}\).
Justifier l’existence de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin(at)}{\mathrm{e}^t-1}\,\mathrm{d}t\).
Prouver que, pour tout \(t>0\), \(\dfrac{1}{\mathrm{e}^t-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kt}\).
Prouver que : \(\forall k\in\mathbb{N}^\ast\), \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\big(\sin(at)\big)\,\mathrm{e}^{-kt}\,\mathrm{d}t=\frac{a}{a^2+k^2}\).
Démontrer que : \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin(at)}{\mathrm{e}^t-1}\,\mathrm{d}t=a\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{a^2+k^2}\).
On pourra utiliser, en la démontrant, l’inégalité valable pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(\left| \sin(x) \right|\leqslant\left| x \right|\).
Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s’assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.
Déterminer : \(\displaystyle\lim_{a\to0}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{a^2+k^2}\).
Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s’assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.
Développement en série entière de la fonction \(H : a\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin(at)}{\mathrm{e}^t-1}\,\mathrm{d}t\)
Prouver que : \[\forall a\in\left]-1,1\right[,\ \forall k\geqslant1,\ \frac{1}{a^2+k^2}=\frac{1}{k^2}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\left(\frac{a}{k}\right)^{2n}\]
Démontrer alors que : \[\forall a\in\left]-1,1\right[,\ H(a)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\,\zeta(2n+2)\,a^{2n+1}\]
Montrer que \(H\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\left]-1,1\right[\).
Déterminer \(H^{(p)}(0)\) pour tout \(p\in\mathbb{N}\).
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(t)}{t-1}\,\mathrm{d}t\) est convergente.
Montrer que : \(\forall p\in\mathbb{N}\), l’intégrale \(I_p=\displaystyle\int_0^1 t^p\,\ln(t)\,\mathrm{d}t\) converge.
Soit \(p\in\mathbb{N}\). Calculer \(I_p\).
Prouver que : \[\int_0^1\frac{\ln(t)}{t-1}\,\mathrm{d}t=\sum_{p=1}^{+\infty}\frac{1}{p^2}\] Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s’assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.
Déterminer enfin la valeur de \(\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(t)}{t-1}\,\mathrm{d}t\).
Soient \(a\) un réel non nul et \(n\) un entier naturel non nul, écrire le développement limité en \(0\) des fonctions :
\(t\mapsto\mathrm{e}^{at}\) à l’ordre \(n\),
\(t\mapsto\ln(1+at)\) à l’ordre \(2\).
\(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\)
Pour \(X\) une variable aléatoire discrète finie, à valeurs dans \(\mathbb{R}_+\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})\), on note \((x_i)_{i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]}\) avec \(0\leqslant x_1<\cdots<x_k\), où \(k\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(1\), les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\) avec une probabilité non nulle. On pose : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right],\ \ \mathbb{P}(X=x_i)=p_i>0\]
On définit alors l’application \(\Phi_X\) de \(\mathbb{R}^\ast\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[\forall t\in\mathbb{R}^\ast,\ \ \Phi_X(t)=\frac{1}{t}\,\ln\!\left(\sum_{i=1}^k p_i\,\mathrm{e}^{x_it}\right)\]
Étude d’exemples
Déterminer \(\Phi_X\) si \(X\) est une variable aléatoire certaine à valeur dans \(\mathbb{R}_+\).
Soit \(Z\) une variable aléatoire telle que : \[\mathbb{P}(Z=0)=\mathbb{P}(Z=1)=\frac{1}{2}\]
Déterminer, pour tout \(t\in\mathbb{R}^\ast\), \(\Phi_Z(t)\).
Montrer que \(\Phi_Z\) peut être prolongée en une fonction \(\tilde{\Phi}_Z\) dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Étude générale. On suppose pour la suite que \(k\geqslant2\).
Déterminer un développement limité de \(\Phi_X\) à l’ordre \(1\) en \(0\).
En déduire que \(\Phi_X\) peut être prolongée en une fonction \(\tilde{\Phi}_X\) dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(\tilde{\Phi}_X(0)\) est égal à \(\mathbb{E}(X)\), l’espérance de la variable aléatoire \(X\).
Reconnaître \(\tilde{\Phi}_X'(0)\).
Déterminer les limites de \(\tilde{\Phi}_X\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
La fonction \(\tilde{\Phi}_X\) peut-elle être impaire ? On justifiera soigneusement la réponse proposée.
Soit \(t\in\mathbb{R}^\ast\). Déterminer une relation entre \(\Phi_X(t)\) et \(\mathbb{E}\!\left(\mathrm{e}^{tX}\right)\), espérance de la variable aléatoire \(\mathrm{e}^{tX}\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes finies, à valeurs dans \(\mathbb{R}_+\) et indépendantes.
Trouver une relation entre \(\Phi_{X+Y}\), \(\Phi_X\) et \(\Phi_Y\).
Fin
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet très proche du cours, en trois exercices indépendants : l'endomorphisme P ↦ P(X + 1) (réduction, nilpotence, Cayley-Hamilton), un exercice d'analyse qui enchaîne intégration terme à terme, série de fonctions et développement en série entière jusqu'à ∫₀¹ ln t/(t − 1) dt = π²/6, puis les développements limités appliqués à t ↦ ln(E(eᵗˣ))/t.
La vérification soignée des hypothèses des théorèmes d'inversion fait la différence.