Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du concours e3a-Polytech 2025.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
On rappelle qu’une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) est décroissante sur \(I\) si : \[\forall\,(x,y)\in I^2,\ x\leqslant y\Longrightarrow f(x)\geqslant f(y)\] Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et tout \(x\in\mathbb{R}\), on pose \(u_n(x)=\mathrm{e}^{-x\sqrt{n}}\).
Déterminer l’ensemble \(D\) des \(x\in\mathbb{R}\) pour lesquels la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}u_n(x)\) converge.
On note alors, pour tout \(x\in D\), \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\).
Montrer, sans calculer sa dérivée, que la fonction \(f\) est décroissante sur \(D\).
Montrer que la série de fonctions \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}u_n\) converge normalement sur \(\left[1,{+\infty}\right[\).
Déterminer alors \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Soit \(J=\displaystyle\int_1^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t\). Montrer que l’intégrale \(J\) converge et prouver que \(J=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}\).
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s’assurera que leurs hypothèses sont bien vérifiées.
Soit \(u\) une fonction réelle de la variable réelle, de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et qui ne s’annule pas.
Déterminer une primitive de la fonction \(x\mapsto\dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
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Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on note \(E_n=\mathbb{R}_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) à coefficients réels.
Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(P_k(X)=X^k\) et on rappelle que \(\mathcal{B}=(P_0,P_1,\dots,P_n)\) est une base de \(E_n\).
On considère l’application \(f\) qui à tout polynôme \(P\in E_n\), associe le polynôme : \(P''(X)-4X\,P'(X)\), c’est-à-dire que : \[f(P)=P''-4X\,P'\]
Étude de \(f\)
Justifier que \(f\) est un endomorphisme de \(E_n\).
Déterminer la matrice \(M\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\) de \(E_n\). Expliciter cette matrice dans le cas \(n=3\).
Prouver que \(f\) est diagonalisable et préciser la dimension de ses sous-espaces propres.
Soit \(P\) un vecteur propre associé à la valeur propre \(\lambda\). Montrer que \(\lambda=-4\deg(P)\).
En déduire que pour tout \(p\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), il existe un unique polynôme unitaire \(H_p\), de degré \(p\) et tel que : \[f(H_p)=-4p\,H_p\] On rappelle qu’un polynôme est unitaire lorsque son coefficient dominant vaut \(1\).
Étude de \(H_p\) pour \(p\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\)
Démontrer que l’on a : \[\forall\,p\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ f(H'_p)=-4(p-1)\,H'_p\]
En déduire que : \[\forall\,p\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ H'_p=p\,H_{p-1}\] et que : \[\forall\,p\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right],\ H_p-X\,H_{p-1}+\frac{p-1}{4}\,H_{p-2}=0\]
Déterminer \(H_j\) pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,3} \right]\kern-0.15em\right]\).
On note \(U\) l’ouvert de \(\mathbb{R}^3\) défini par : \[U=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\ x\neq y \text{ et } y\neq z \text{ et } z\neq x\right\}\] Soit alors \(G\) la fonction définie sur \(U\) par : \[\forall\,m=(x,y,z)\in U,\ G(m)=x^2+y^2+z^2-\ln\left| x-y \right|-\ln\left| y-z \right|-\ln\left| z-x \right|\]
Établir que \(m_0=(a,b,c)\) est un point critique de \(G\) si, et seulement si, \((a,b,c)\) est solution du système : \[(S)\quad\left\{\begin{array}{ll} 2a(a-c)(a-b)=2a-b-c & (L_1)\\ 2b(b-a)(b-c)=2b-a-c & (L_2)\\ 2c(c-a)(c-b)=2c-a-b & (L_3) \end{array}\right.\] On ne cherchera pas à résoudre le système \((S)\).
On note \(Q=(X-a)(X-b)(X-c)\).
Déterminer les coefficients du polynôme \(Q\).
Montrer que \((L_1)\) équivaut au fait que \(a\) est racine de \(f(Q)\).
On admettra dans la suite que :
« \((a,b,c)\) est solution du système \((S)\) » équivaut à « \(f(Q)\) admet pour racines \(a\), \(b\) et \(c\) ».
Prouver que si \(m_0=(a,b,c)\) est un point critique de \(G\), alors \(f(Q)=-12\,Q\).
Déterminer alors le polynôme \(Q\).
En déduire les points critiques de \(G\).
Soient \(r\) un nombre réel non nul, \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et \(M_r\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) définie par : \[M_r=\begin{pmatrix} 1 & r & \cdots & r\\ r & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & r\\ r & \cdots & r & 1 \end{pmatrix}\] On munit l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\) de son produit scalaire canonique.
On note enfin \(J\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à \(1\).
Exprimer \(J^2\) en fonction de \(J\).
En déduire, selon les valeurs de l’entier naturel \(\ell\), l’expression de \(J^\ell\).
Déterminer une base de \(\mathrm{Im}(J)\) et le rang de la matrice \(J\).
Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}(J)\).
Justifier que la matrice \(J\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Déterminer les valeurs propres ainsi que les sous-espaces propres de la matrice \(J\).
Déterminer une matrice diagonale \(D\) semblable à \(J\).
Démontrer que \(\mathrm{Im}(J)\) et \(\mathrm{Ker}(J)\) sont deux sous-espaces orthogonaux supplémentaires dans \(\mathbb{R}^n\).
Justifier que \(M_r\in\mathrm{Vect}(I_n,J)\).
Soit \(k\in\mathbb{N}\). Déterminer explicitement deux réels \(\alpha_k\) et \(\beta_k\) tels que \((M_r)^k=\alpha_kI_n+\beta_kJ\).
On exprimera le résultat sans le symbole \(\sum\).
Montrer que la matrice \(M_r\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Déterminer une matrice \(\Delta_r\) diagonale semblable à \(M_r\).
Dans cette question, on prend \(n=3\).
Déterminer une matrice \(P\) inversible telle que : \[\Delta_r=P^{-1}M_rP,\ \text{où } \Delta_r=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) \text{ avec } \lambda_1=\lambda_2\]
Résoudre le système différentiel : \(Y'=\Delta_rY\).
En déduire les solutions du système différentiel : \(Z'=M_rZ\).
FIN
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Trois exercices indépendants : la série de fonctions Σ exp(−x√n) (domaine, convergence normale, double limite, intégration terme à terme), l'endomorphisme P ↦ P″ − 4XP′ de ℝₙ[X] et ses vecteurs propres, les polynômes de Hermite, qui donnent les points critiques d'une fonction de trois variables, puis la matrice (1 − r)Iₙ + rJ : puissances, diagonalisation et système différentiel Z′ = MᵣZ.
L'exercice 2 est le plus original ; le reste est très proche du cours.