Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du concours e3a-Polytech 2025.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
Soit \(\varphi\) la fonction réelle de la variable réelle définie par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ \varphi(t)=2t^3-t^2+1\]
Étudier les variations de la fonction \(\varphi\) sur l’intervalle \([-1,1]\) et en donner la représentation graphique dans le plan muni d’un repère.
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Soit \(f : M=(x,y)\in\mathbb{R}^2\mapsto x^3+y^2\in\mathbb{R}\).
Déterminer les points critiques sur \(\mathbb{R}^2\) de la fonction \(f\).
En déduire que la fonction \(f\) n’admet pas d’extremum local sur \(\mathbb{R}^2\).
Soit \(D\) le disque fermé de centre \(\mathrm{O}\) et de rayon \(2\) : \(D=\left\lbrace M=(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x^2+y^2\leqslant4\right\rbrace\).
Justifier que \(f\) admet dans \(D\) des extrema globaux.
Justifier que ces extrema sont atteints sur le cercle de centre \(\mathrm{O}\) et de rayon \(2\).
Soit \(M\) un point du cercle de centre \(\mathrm{O}\) et de rayon \(2\) : il existe donc \(\alpha\in\left]-\pi,\pi\right]\) tel que \(M=\big(2\cos(\alpha),2\sin(\alpha)\big)\). Démontrer que : \(f(M)=4\,\varphi\big(\cos(\alpha)\big)\).
En déduire les extrema globaux de \(f\) sur \(D\).
On considère l’équation \((E)\) : \[\forall x\in\mathbb{R},\ x^2y''(x)+x\,y'(x)-\left(x^2+x+1\right)y(x)=0\] où \(y\) est une fonction inconnue de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(y\) de classe \(\mathcal{C}^2\) une solution de \((E)\). Calculer \(y(0)\).
On cherche une solution \(f\) de \((E)\) développable en série entière et telle que \(f'(0)=1\).
On suppose qu’il existe \(R>0\) tel que, \(\forall x\in\left]-R,R\right[\), \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\).
Montrer que l’on a : \(\begin{cases}\forall n\geqslant2,\ \left(n^2-1\right)a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=0\\ a_0=0\\ a_1=1\end{cases}\)
Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que : \(\forall n\geqslant1\), \(\left| a_n \right|\leqslant\frac{1}{(n-1)\,!}\).
Justifier alors que la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(y\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\) solution de \((E)\). On pose, pour tout \(x\) réel, \(z(x)=x\,y(x)\,\mathrm{e}^x\).
Calculer \(z(0)\) et \(z'(0)\).
Prouver que \(z'\) est solution sur \(\mathbb{R}\) de l’équation \[x\,u'(x)-(2x+1)\,u(x)=0 \qquad (F)\] d’inconnue la fonction \(u\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Une équation différentielle
Résoudre sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) l’équation différentielle : \[u'-\left(2+\frac{1}{x}\right)u=0\]
Justifier que les solutions sont prolongeables par continuité en \(0\).
Démontrer que, pour tout réel \(c\), la fonction \(x\mapsto cx\,\mathrm{e}^{2x}\) est solution de \((F)\) sur \(\mathbb{R}\).
On admet que ce sont les seules solutions de \((F)\) sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
Démontrer qu’il existe un réel \(a\) tel que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ z(x)=a(2x-1)\,\mathrm{e}^{2x}+a\]
Déterminer alors une expression de \(f\) à l’aide des fonctions usuelles.
Soient \(r\) un nombre réel, \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et \(M_r\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) définie par : \[M_r=\begin{pmatrix}1 & r & \cdots & r\\ r & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & r\\ r & \cdots & r & 1\end{pmatrix}\]
On rappelle que si \(A\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\) alors \(A^\top\in\mathcal{M}_{q,p}(\mathbb{R})\) désigne la transposée de la matrice \(A\).
On munit l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\) de son produit scalaire canonique : \((X\,|\,Y)=X^\top Y\).
On note enfin \(J\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à \(1\).
Déterminer une base de \(\mathrm{Im}(J)\) et le rang de la matrice \(J\).
Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}(J)\).
Prouver que la matrice \(J\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Déterminer les sous-espaces propres de la matrice \(J\) et une matrice diagonale \(D\) semblable à \(J\).
Démontrer que \(\mathrm{Im}(J)\) et \(\mathrm{Ker}(J)\) sont deux sous-espaces orthogonaux supplémentaires dans \(\mathbb{R}^n\).
Justifier que \(M_r\in\mathrm{Vect}\!\left(I_n,J\right)\).
Vérifier que la matrice \(M_r\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et déterminer une matrice \(\Delta_r\) diagonale semblable à \(M_r\).
Pour tout couple \((X,Y)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), on pose \(f_r(X,Y)=X^\top M_r\,Y\).
Soit \(X\) un vecteur de \(\mathbb{R}^n\). Montrer que l’application \(Y\mapsto f_r(X,Y)\) est une forme linéaire sur \(\mathbb{R}^n\).
Montrer que : \(\forall(X,Y)\in\left(\mathbb{R}^n\right)^2\), \(f_r(X,Y)=f_r(Y,X)\).
Justifier qu’il existe une matrice \(P\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), orthogonale, telle que : \[\forall(X,Y)\in\left(\mathbb{R}^n\right)^2,\ f_r(X,Y)=\left(X'\right)^\top\Delta_r\,Y'\] où l’on a posé \(X'=PX\) et \(Y'=PY\).
On ne déterminera pas la matrice \(P\).
Déterminer les valeurs de \(r\) pour lesquelles l’application \(f_r\) définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^n\).
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p\).
Rappeler la loi de \(Z\), son espérance et sa variance.
Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})\).
Rappeler la définition de « \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes ».
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Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})\) et telles que :
\(X(\Omega)=Y(\Omega)=\mathbb{N}\)
il existe \(p\in\left]0,1\right[\) tel que \(\forall k\in\mathbb{N}\), \(\mathbb{P}(X=k)=\mathbb{P}(Y=k)=p\,q^k\) avec \(q=1-p\).
Soit \(k\in\mathbb{N}\). Montrer que \(\mathbb{P}(X\geqslant k)=q^k\).
Étude de la variable aléatoire \(X+Y\)
Dans quel ensemble la variable aléatoire \(X+Y\) prend-elle ses valeurs ?
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X+Y\).
Soient \(n\) et \(k\) deux entiers naturels.
Lorsque \(k>n\), calculer \(\mathbb{P}_{(X+Y=n)}(X=k)\).
On prend \(k\leqslant n\). Démontrer qu’il existe un scalaire \(r_n\) tel que : \(\mathbb{P}_{(X+Y=n)}(X=k)=r_n\).
On pose \(V=Y-X\) et \(M=\min(X,Y)\) où \(\min(a,b)\) désigne le plus petit des deux réels \(a\) et \(b\).
Dans quels ensembles les variables aléatoires \(V\) et \(M\) prennent-elles leurs valeurs ?
Calculer, pour tout entier naturel \(k\), la valeur de \(\mathbb{P}(M\geqslant k)\).
En déduire la loi de la variable aléatoire \(M\).
Soient \(k\in\mathbb{N}\) et \(r\in\mathbb{Z}\). Calculer la probabilité de l’évènement \((M=k)\cap(V=r)\).
On pourra distinguer les deux cas \(r<0\) et \(r\geqslant0\).
En déduire la loi de \(V\).
Étudier l’indépendance des deux variables aléatoires \(M\) et \(V\).
Fin
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Quatre exercices indépendants et classiques : extrema globaux de x³ + y² sur un disque fermé, solution développable en série entière d'une équation différentielle d'ordre 2, identifiée à eˣ − sh(x)/x, réduction de la matrice (1 − r)Iₙ + rJ et condition pour que XᵀMᵣY soit un produit scalaire, puis lois de la somme, du minimum et de l'écart de deux variables géométriques indépendantes.
Un sujet très proche du cours, qui récompense les théorèmes cités avec leurs hypothèses.