Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du concours e3a-Polytech 2025.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Soit \(f : m=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\longmapsto\displaystyle\sum_{j=1}^n\mathrm{e}^{x_j}\in\mathbb{R}\).
Étudier l’existence d’extrema locaux de \(f\).
La fonction \(f\) est-elle majorée ?
Démontrer que \(f\) admet une borne inférieure que l’on déterminera.
Soit \(g\) la fonction qui à \(m=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\), associe \(g(m)=\displaystyle\sum_{j=1}^nx_j\).
On note \(H=g^{-1}\left(\{0\}\right)=\left\{m=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n,\ \displaystyle\sum_{j=1}^nx_j=0\right\}\)
Déterminer le seul extremum possible de la restriction de \(f\) à \(H\).
Montrer que : \(\forall t\in\mathbb{R},\ \mathrm{e}^t\geqslant1+t\).
En déduire que \(f\) admet, sous la contrainte \(H\), un minimum global que l’on déterminera.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(3\). On note dans tout l’exercice :
\(E=\mathbb{C}_{n-1}[X]\),
\(A\) et \(B\) les deux polynômes : \(A=X^n-1\) et \(B=X^n-X\).
Énoncer le théorème de la division euclidienne pour les polynômes.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\).
On pourra poser la division euclidienne de \(A\) par \(B\).
Déterminer le PGCD des polynômes \(A\) et \(B\).
Décomposer les deux polynômes \(A\) et \(B\) en produits de facteurs irréductibles dans \(\mathbb{C}[X]\).
Les \(n\) racines distinctes de \(B\) seront notées : \(z_1\), \(z_2\), …, \(z_{n-1}\) et \(z_n\) avec \(z_n=0\).
\(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\)
On considère l’application \(f\) qui à tout polynôme \(P\) de \(E\), associe le reste de la division euclidienne du produit \(AP\) par \(B\).
Prouver que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-2} \right]\kern-0.15em\right]\). En posant la division euclidienne, déterminer \(f\!\left(X^k\right)\).
De la même façon, déterminer \(f\!\left(X^{n-1}\right)\).
En déduire la matrice \(M\) de \(f\) dans la base canonique \(\mathscr{B}=\left(1,X,\dots,X^{n-1}\right)\) de \(E\).
Calculer la trace de \(M\).
Justifier que le rang de \(M\) est égal à \(n-1\).
Déterminer une base de \(\mathrm{Im}(f)\).
Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}(f)\).
Justifier que \(\mathrm{Im}(f)=\left\{(X-1)P\mid P\in\mathbb{C}_{n-2}[X]\right\}\).
Montrer que \(\mathrm{Ker}(f)\) et \(\mathrm{Im}(f)\) sont supplémentaires dans \(E\).
Soit \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On note \(P_j\) le polynôme de \(E\) défini par \(P_j=\dfrac{B}{X-z_j}=\displaystyle\prod_{\substack{k=1\\k\neq j}}^n(X-z_k)\) et \(R_j=f(P_j)\).
Vérifier que \(P_j(z_j)\neq0\).
Montrer que les racines de \(P_j\) sont racines de \(R_j\).
En déduire qu’il existe un scalaire \(\lambda_j\) tel que \(R_j=\lambda_jP_j\). Que peut-on alors dire du polynôme \(P_j\) ?
Montrer que l’on a : \(A(z_j)=\lambda_j\).
En déduire l’expression de \(\lambda_j\) à l’aide de \(z_j\). On précisera la valeur de \(\lambda_n\).
L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
Retrouver la valeur de la trace de l’endomorphisme \(f\).
Déterminer le polynôme caractéristique \(\chi_f\) de l’endomorphisme \(f\) sous forme développée.
En déduire le déterminant de l’endomorphisme induit par \(f\) sur \(\mathrm{Im}(f)\).
Déterminer le développement en série entière de \(t\mapsto\dfrac{1}{1-t}\) et donner son domaine de validité.
Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}(n+1)\,t^n\).
Soit \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}a_nt^n\) et \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}b_nt^n\) deux séries entières définies sur \(\left]-R,R\right[\) (avec \(R>0\)).
On note \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}c_n\,t^n\) le produit de Cauchy de ces deux séries entières.
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Choisir sans justification l’expression correcte de \(c_n\) : \[(a)\ c_n=\sum_{p-q=n}a_p\,b_q\qquad(b)\ c_n=\sum_{p-q\leqslant n}a_p\,b_q\qquad(c)\ c_n=\sum_{p+q\leqslant n}a_p\,b_q\qquad(d)\ c_n=\sum_{p+q=n}a_p\,b_q\]
Soit \(f\) une fonction continue sur le segment \([a,b]\).
Rappeler sans démonstration la valeur de \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\).
\(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\) \(\ast\)
On rappelle que si \(t\) est un réel, \(\left\lfloor t \right\rfloor\) désigne la partie entière du réel \(t\) et que l’on a : \(\left\lfloor t \right\rfloor\leqslant t<\left\lfloor t \right\rfloor+1\) ou encore \(t-1<\left\lfloor t \right\rfloor\leqslant t\).
Pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\), on note \(E_x\) l’ensemble : \(E_x=\left\{m=(a,b)\in\mathbb{N}^2,\ \sqrt{a^2+b^2}\leqslant x\right\}\), c’est-à-dire l’ensemble des points du plan euclidien \(\mathbb{R}^2\) à coordonnées entières positives du disque fermé de centre \(O\) et de rayon \(x\).
On pose enfin \(G(x)=\mathrm{Card}(E_x)\).
Représenter graphiquement \(E_2\) et déterminer \(G(2)\).
En utilisant le changement de variable \(t=\sin(u)\), calculer l’intégrale : \(J=\displaystyle\int_0^1\left(1-t^2\right)^{1/2}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que l’on a : \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ G(n)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\left(\left\lfloor \sqrt{n^2-k^2} \right\rfloor+1\right)\).
On pourra s’aider d’un dessin.
Prouver que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k^2}{n^2}\right)^{1/2}=\frac{\pi}{4}\).
Pour \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{n^2-k^2}\). Démontrer que \(S_n\;\underset{n\to +\infty}{\sim}\;n^2\,\dfrac{\pi}{4}\).
En déduire un équivalent de \(G(n)\) lorsque l’entier \(n\) tend vers plus l’infini.
Déterminer alors un équivalent de la fonction \(G\) au voisinage de plus l’infini.
On définit la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}a_nt^n\) où \(a_n\) vaut \(1\) si \(n\) est le carré d’un entier et \(0\) sinon.
Déterminer le rayon de convergence \(R\) de cette série entière. On notera \(h\) la somme de cette série.
On pose, pour \(t\in I=\left]-1,1\right[\), \(g(t)=\dfrac{h(t)^2}{1-t}\). Prouver que : \(\forall t\in I,\ g(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}G\!\left(\sqrt{n}\right)t^n\).
Montrer que l’on a : \[\forall\varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb{N}^\ast,\ \text{tel que }\ \forall n\geqslant n_0,\ \left| G\!\left(\sqrt{n}\right)-\frac{\pi}{4}(n+1) \right|\leqslant\varepsilon\,(n+1)\]
En majorant la quantité \(\left| g(t)-\dfrac{\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)\,t^n \right|\), montrer que \(g(t)\;\underset{t\to 1^-}{\sim}\;\dfrac{\pi}{4}\,(1-t)^{-2}\).
Fin
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Trois exercices indépendants : extrema de Σ exp(xⱼ), libres puis sous la contrainte Σ xⱼ = 0 ; l'endomorphisme de ℂₙ₋₁[X] qui associe à P le reste de la division de (Xⁿ − 1)P par Xⁿ − X (noyau, image, éléments propres, polynôme caractéristique) ; puis le nombre G(x) de points entiers d'un quart de disque, son équivalent πx²/4 par les sommes de Riemann et la série entière de coefficients G(√n).
La fin de l'exercice 3, avec ses arguments en ε, est la partie la plus exigeante.