Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont interdites.
Sujet du concours e3a-Polytech 2025.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^4\) muni de son produit scalaire canonique, par : \[\forall X=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,\ f(X)=x^2+y^2+z^2+t^2\]
On cherche les extrema éventuels de la fonction \(f\) sous la contrainte : \[H=\left\{X=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,\ x+y=2\right\}\] et les points où ces extrema sont atteints.
Déterminer les extrema de la fonction \(h : (u,v,w)\in\mathbb{R}^3\mapsto 2u^2+v^2+w^2-4u+4\).
Déterminer les solutions du problème posé.
Soit \(g : X=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mapsto x+y-2\).
En utilisant la fonction \(g\), déterminer les extrema possibles de \(f\) restreinte à \(H\).
Retrouver les solutions du problème posé.
Soit \(F=\left\{X=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,\ x+y=0\right\}\) et \(Y=(-1,-1,0,0)\in\mathbb{R}^4\).
Démontrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) et en donner la dimension.
Déterminer le sous-espace orthogonal du sous-espace \(F\).
Calculer la distance \(\mathrm{d}(Y,F)\) entre \(Y\) et le sous-espace vectoriel \(F\).
Soit \(X\in\mathbb{R}^4\). Justifier que : \(X\in H\iff X+Y\in F\).
En déduire la structure de l’ensemble \(H\).
Retrouver de nouveau les solutions du problème posé.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(3\).
On note \(E_{n-1}=\mathbb{C}_{n-1}[X]\) le \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(n\), des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n-1\) et à coefficients dans \(\mathbb{C}\).
On note \(\mathscr{B}=(Q_0,Q_1,\dots,Q_{n-1})\) où, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(Q_k(X)=X^k\), la base canonique de \(E_{n-1}\).
Pour tout \(\alpha\in\mathbb{C}\), on note \(\varphi_\alpha\) l’endomorphisme de \(E_{n-1}\) qui à tout polynôme \(P\), associe : \[\varphi_\alpha(P)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{q=0}^{n-1}P(\alpha^q)\,X^q\]
Soit \(A_\alpha\) la matrice de l’endomorphisme \(\varphi_\alpha\) dans la base canonique \(\mathscr{B}\) de \(E_{n-1}\).
Soit \(\omega=\mathrm{e}^{\frac{2i\pi}{n}}\). On rappelle que \(\omega^n=1\) et que \(\overline{\omega}=\omega^{-1}=\dfrac{1}{\omega}\).
Déterminer, suivant la valeur de l’entier relatif \(m\), la somme : \(\sigma_m=\displaystyle\sum_{r=1}^n\omega^{m(r-1)}\).
On note \(A_\omega=\left(a_{k,\ell}\right)_{1\leqslant k,\ell\leqslant n}\) la matrice associée à l’endomorphisme \(\varphi_\omega\) dans la base \(\mathscr{B}\) de \(E_{n-1}\).
Écrire la matrice \(A_\omega\) dans le cas où \(n=3\). On utilisera le nombre complexe \(j=\mathrm{e}^{\frac{2i\pi}{3}}\).
Démontrer que, pour tout couple \((k,\ell)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), on a : \(a_{k,\ell}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,\omega^{(k-1)(\ell-1)}\).
La matrice \(A_\omega\) est-elle symétrique ? Peut-on affirmer qu’elle est diagonalisable ?
Calculer \(A_\omega\times A_{\overline{\omega}}\). En déduire que \(A_\omega\) est inversible et déterminer son inverse.
Déterminer alors un nombre complexe \(\alpha\) tel que : \(\varphi_\omega^{-1}=\varphi_\alpha\).
Calculer \(\left(A_\omega\right)^2\) puis vérifier que \(\left(A_\omega\right)^4=I_n\).
La matrice \(A_\omega\) est-elle diagonalisable ?
On note, pour \(q\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(L_q(X)=\dfrac{X^n-1}{X-\omega^q}\). En particulier, \(L_0(X)=1+X+\dots+X^{n-1}\).
Déterminer les valeurs propres possibles de \(\varphi_\omega\).
Exprimer les \(n\) racines du polynôme \(X^n-1\) à l’aide de puissances de \(\omega\).
En déduire que : \(\forall q\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ L_q\in E_{n-1}\).
On pose \(H_0=\mathrm{Vect}(Q_0,L_0)\) et on admet que \((Q_0,L_0)\) en est une base.
Vérifier que \(H_0\) est stable par \(\varphi_\omega\).
Écrire la matrice de l’endomorphisme induit par \(\varphi_\omega\) sur \(H_0\) dans la base \((Q_0,L_0)\).
En déduire :
un vecteur non nul de \(\mathrm{Ker}\!\left(\varphi_\omega-\operatorname{Id}_{E_{n-1}}\right)\),
un vecteur non nul de \(\mathrm{Ker}\!\left(\varphi_\omega+\operatorname{Id}_{E_{n-1}}\right)\).
Dans le cas \(n=3\), déterminer le spectre de \(A_\omega\).
Dans le cas \(n=4\), déterminer les valeurs propres de \(A_\omega\).
Déterminer les valeurs propres de la matrice \[\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dfrac{\sqrt{n}}{\omega} & 0\\[2ex] 0 & 0 & 0 & \dfrac{\sqrt{n}}{\omega^{n-1}}\\[2ex] 0 & \dfrac{\omega}{\sqrt{n}} & 0 & 0\\[2ex] \dfrac{\omega^{n-1}}{\sqrt{n}} & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
On suppose à présent \(n\geqslant5\).
Montrer que le sous-espace vectoriel \(G=\mathrm{Vect}(Q_1,Q_{n-1},L_1,L_{n-1})\) est de dimension \(4\) et est stable par \(\varphi_\omega\).
Déterminer le spectre de \(\varphi_\omega\).
Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle et son domaine de validité.
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On pose, lorsque cela est possible, \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{(n!)^2}\).
Montrer que la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\).
Démontrer que la fonction \(f\) est lipschitzienne sur tout segment \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\).
Prouver que pour tout réel positif \(x\), \(f'(x)\leqslant\mathrm{e}^x\).
Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs. On note \(z=\max(x,y)\). Prouver que l’on a : \(\left| f(x)-f(y) \right|\leqslant\mathrm{e}^z\left| x-y \right|\).
Prouver que l’on a : \(f(x)-1\;\underset{x\to 0}{\sim}\;x\).
On pose, pour tout \(x>0\), \(g(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{1}{t\left[f(t)\right]^2}\,\mathrm{d}t\).
Justifier que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\left]0,{+\infty}\right[\).
Étudier le signe de \(g\) sur \(\left]0,{+\infty}\right[\).
Montrer que : \(g(x)\;\underset{x\to 0}{\sim}\;\ln(x)\).
Prouver que pour tout \(t>0\), on a : \(f(t)>1+t\).
En déduire que \(g\) possède une limite finie lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \(F(X)=\dfrac{1}{X(1+X)^2}\).
Démontrer que pour tout \(x>1\), on a : \[g(x)\leqslant\ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{1}{x+1}+\ln(2)-\frac{1}{2}\]
En déduire que \(g\) est majorée par \(\ln(2)\) sur \(\left]0,{+\infty}\right[\).
Fin
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Trois exercices indépendants, très guidés : le minimum de x² + y² + z² + t² sur l'hyperplan affine x + y = 2 obtenu par trois méthodes (fonction de trois variables, optimisation sous contrainte, projection orthogonale), les éléments propres de la matrice de Fourier discrète, dont la puissance quatrième vaut Iₙ, puis l'étude de f(x) = Σ xⁿ/(n!)² et de g(x) = ∫₁ˣ dt/(t f(t)²).
Un sujet proche du cours, où le jury a surtout sanctionné les bases : sous-espace vectoriel, somme géométrique, théorèmes cités sans leurs hypothèses.