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Polynômes de Jacobi
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2026.
L’objectif de ce problème est de définir les polynômes de Jacobi et d’étudier quelques-unes des propriétés de ces polynômes.
La première partie de ce sujet est consacrée à la définition d’un produit scalaire sur l’ensemble \(\mathbb{R}[X]\) des polynômes à coefficients réels. Dans une deuxième partie, on se propose de démontrer la célèbre formule de Vandermonde sur les coefficients binomiaux et d’introduire la notion de coefficient binomial généralisé. Les troisième et quatrième parties proposent la définition des polynômes de Jacobi ainsi que certaines de leurs propriétés les plus classiques. Enfin, la cinquième partie permet de présenter les polynômes de Legendre, en tant que cas particulier des polynômes de Jacobi.
Soit \(\delta\in\mathbb{R}\).
Rappeler sans démonstration la condition de convergence de \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{t^\delta}\,\mathrm{d}t\) et donner sa valeur lorsqu’elle converge.
Soit \(a\in\mathbb{R}\). Déduire de la question précédente une condition nécessaire et suffisante sur \(\delta\) pour que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^a\frac{1}{(a-t)^\delta}\,\mathrm{d}t\) converge.
Dans toute la suite de ce problème, sauf mention contraire, \(\alpha\) et \(\beta\) désignent deux réels strictement supérieurs à \(-1\).
Démontrer que, pour toute fonction \(f\) continue sur le segment \([-1,1]\), l’intégrale \(\displaystyle\int_{-1}^1(1-t)^\alpha(1+t)^\beta f(t)\,\mathrm{d}t\) est convergente.
Pour tout \((P,Q)\in\left(\mathbb{R}[X]\right)^2\), on pose \(\langle P,Q\rangle=\displaystyle\int_{-1}^1(1-t)^\alpha(1+t)^\beta P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t\). Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[X]\).
On note \(\left\| . \right\|\) la norme euclidienne associée à ce produit scalaire. On a donc : \[\forall P\in\mathbb{R}[X]\,,\ \left\| P \right\|=\sqrt{\langle P,P\rangle}\]
On suppose, dans cet exemple uniquement, que \(\alpha=\beta=-\frac{1}{2}\). Le produit scalaire est donc ici défini par : \[\forall(P,Q)\in\left(\mathbb{R}[X]\right)^2\,,\ \langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t\]
Calculer le produit scalaire \(\langle1,X\rangle\).
Calculer les normes \(\left\| 1 \right\|\) et \(\left\| X \right\|\).
On suppose, dans cet exemple uniquement, que \(\alpha=\beta=0\). Le produit scalaire est donc ici défini par : \[\forall(P,Q)\in\left(\mathbb{R}[X]\right)^2\,,\ \langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t\]
Calculer, pour tout \((i,j)\in\mathbb{N}^2\), \(i\neq j\), le produit scalaire \(\langle X^i,X^j\rangle\).
Calculer, pour tout \(i\in\mathbb{N}\), la norme \(\left\| X^i \right\|\).
Dans cette partie, complètement indépendante de la précédente, on se propose tout d’abord de démontrer la formule de Vandermonde : \[\forall(k,m,p)\in\mathbb{N}^3\,,\ k\leqslant m+p\,,\ \binom{m+p}{k}=\sum_{j=0}^k\binom{m}{k-j}\binom{p}{j}\]
Démontrer cette formule. On pourra pour cela considérer \((m,p)\in\mathbb{N}^2\), \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,m+p} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\mathcal{F}\) un ensemble constitué de \(m+p\) éléments et on pourra partitionner judicieusement \(\mathcal{F}\).
On introduit, dans toute la suite du problème, une nouvelle notation. Pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\) et pour tout \(\ell\in\mathbb{N}\), on pose : \[B_\ell^\lambda=\begin{cases}\dfrac{\lambda(\lambda-1)\dots(\lambda-\ell+1)}{\ell!} & \text{si } \ell>0\\[2mm] 1 & \text{si } \ell=0\end{cases}\] Par exemple : \(B_3^{\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-1\right)\times\left(\frac{1}{2}-2\right)}{3!}=\dfrac{1}{16}\).
Lorsque \(k\) et \(n\) sont deux entiers naturels tels que \(k\leqslant n\), comparer les deux nombres \(\dbinom{n}{k}\) et \(B_k^n\).
On admettra que la formule de Vandermonde précédemment démontrée se généralise aux coefficients \(B_\ell^\lambda\) sous la forme : \[\forall k\in\mathbb{N}\,,\ \forall(s,t)\in\mathbb{R}^2\,,\ k\leqslant s+t\,,\ B_k^{s+t}=\sum_{j=0}^kB_{k-j}^sB_j^t\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). On se place dans \(E=\mathbb{R}_n[X]\) et on note encore \(\langle.,.\rangle\) la restriction à \(E\) du produit scalaire défini dans la question Q4.
L’algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de construire une base orthonormale \(\mathcal{B}=(P_0,P_1,\dots,P_n)\) de \(E\) relativement à ce produit scalaire et vérifiant les deux conditions suivantes :
\((i)\) \(\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\,,\ \mathrm{Vect}(P_0,P_1,\dots,P_k)=\mathrm{Vect}(1,X,\dots,X^k)\)
\((ii)\) \(\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\,,\ \langle P_k,X^k\rangle>0\)
Démontrer que pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), le polynôme \(P_k\) est de degré \(k\).
Démontrer que pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), le polynôme \(P_k\) appartient à \(\mathrm{Vect}\!\left(1,X,\dots,X^{k-1}\right)^\perp\).
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On considère \(Q\in\mathrm{Vect}\!\left(1,X,\dots,X^{k-1}\right)^\perp\) tel que \(\deg(Q)=k\).
Démontrer que : \(\exists\alpha_k\in\mathbb{R}\) tel que \(Q=\alpha_kP_k\).
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\).
Démontrer qu’il existe \(a_k\in\mathbb{R}\) tel que \(P_{k+1}-a_kXP_k\) soit de degré inférieur ou égal à \(k\).
Démontrer qu’il existe \((b_k,c_k)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(P_{k+1}=(a_kX+b_k)P_k+c_kP_{k-1}\).
On considère \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et on s’intéresse aux racines de \(P_k\). On note \(m\) le nombre de racines réelles de \(P_k\) qui se situent dans l’intervalle \(\left]-1,1\right[\), comptées autant de fois que leur ordre de multiplicité. On désigne par \(\mathcal{R}=\{x_1,\dots,x_m\}\) l’ensemble, éventuellement vide, constitué par ces racines.
Quelle inégalité relie \(k\) et \(m\) ?
On considère le polynôme \(S=(X-x_1)(X-x_2)\dots(X-x_m)\) si \(m\geqslant1\) et \(S=1\) si \(\mathcal{R}=\varnothing\).
Que peut-on dire du signe de la fonction polynomiale \(x\mapsto P_k(x)S(x)\) sur \(\left]-1,1\right[\) ?
En déduire que \(\langle P_k,S\rangle\neq0\).
Que peut-on conclure sur \(m\) ?
Dans cette partie, on se place à nouveau dans \(E=\mathbb{R}_n[X]\) et on continue de noter \(\langle.,.\rangle\) la restriction à \(E\) du produit scalaire défini dans la question Q4.
On pose, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et pour tout \(x\in\left]-1,1\right[\) : \[g_k(x)=(1-x)^{\alpha+k}(1+x)^{\beta+k} \qquad\text{et}\qquad J_k(x)=\frac{(-1)^k}{2^kk!(1-x)^\alpha(1+x)^\beta}\,g_k^{(k)}(x)\]
Donner l’expression de \(g_0\) et \(g_1\). En déduire l’expression de \(J_0\) et \(J_1\).
Soient \(p\in\mathbb{N}\) et \(j\) un nombre réel, pas nécessairement entier. Déterminer l’expression de la dérivée \(p\)-ième de la fonction \(x\mapsto(1-x)^j\) sur \(\left]-1,1\right[\) en utilisant la notation \(B_p^j\).
En déduire une expression de \(g_k^{(k)}(x)\) pour tout \(x\in\left]-1,1\right[\).
Démontrer alors que, pour \(k\geqslant2\) : \[\forall x\in\left]-1,1\right[\,,\ J_k(x)=\frac{1}{2^k}\sum_{i=0}^kB_{k-i}^{k+\alpha}B_i^{k+\beta}(x-1)^i(x+1)^{k-i}\]
Démontrer que la fonction \(J_k\) est polynomiale de degré \(k\) et proposer une expression simple de son coefficient dominant à l’aide de la formule de Vandermonde.
Les polynômes \(J_k\) associés aux fonctions polynomiales \(x\mapsto J_k(x)\) sont appelés polynômes de Jacobi. Nous allons en étudier une propriété fondamentale
Soient \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,k-1} \right]\kern-0.15em\right]\).
Démontrer la convergence des deux intégrales \(\displaystyle\int_{-1}^1x^ig_k^{(k)}(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_{-1}^1x^{i-1}g_k^{(k-1)}(x)\,\mathrm{d}x\) puis prouver que : \[\int_{-1}^1x^ig_k^{(k)}(x)\,\mathrm{d}x=-i\int_{-1}^1x^{i-1}g_k^{(k-1)}(x)\,\mathrm{d}x\]
En déduire que \(\langle J_k,X^i\rangle=0\).
Démontrer que la famille \((J_0,J_1,\dots,J_n)\) est une base orthogonale de \(E\).
Expliquer, sans faire les calculs, comment il serait possible d’en déduire une base orthonormale de \(E\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Dans cette partie, on se place, comme dans l’exemple des questions 7 et 8, dans le cas où \(\alpha=\beta=0\). On rappelle que le produit scalaire est alors donné par : \[\forall(P,Q)\in\left(\mathbb{R}_n[X]\right)^2\,,\ \langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t\]
Nous admettrons alors que la base orthonormale obtenue dans la question 28 vérifie toutes les hypothèses de la famille de polynômes étudiée dans la partie C. Ces polynômes sont appelés Polynômes de Legendre, et à ce titre notés \(L_k\). Ils sont donc donnés par la formule suivante : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\,,\ L_k=\frac{1}{2^kk!}\left[\left(X^2-1\right)^k\right]^{(k)}\]
Calculer \(L_k\) pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,3} \right]\kern-0.15em\right]\).
Calculer les racines des polynômes \(L_k\) pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]\) et vérifier, dans ces cas particuliers, la conclusion de la question 19.
Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), retrouver le degré de \(L_k\) sans utiliser les résultats de la partie C, puis calculer le coefficient dominant de \(L_k\).
Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), déterminer la parité des polynômes \(L_k\).
Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), calculer \(L_k(1)\) et \(L_k(-1)\).
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On reprend la définition de la fonction \(g_k\) qui est ici donnée par : \[\forall x\in\left]-1,1\right[\,,\ g_k(x)=\left(1-x^2\right)^k\]
Exprimer, pour tout \(x\in\left]-1,1\right[\), la quantité \(\left(1-x^2\right)g_k'(x)\) à l’aide de \(g_k(x)\).
En déduire, à l’aide de la formule de Leibniz, que le polynôme \(L_k\) est solution sur \(\left]-1,1\right[\) de l’équation différentielle : \[\left(1-x^2\right)y''-2xy'+k(k+1)y=0\]
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Étudier la monotonie sur \([0,1]\) de la fonction \(f_k\) définie par : \[\forall x\in[0,1]\,,\ f_k(x)=\left(L_k(x)\right)^2+\frac{1-x^2}{k(k+1)}\left(L_k'(x)\right)^2\]
En déduire la majoration : \(\forall x\in[-1,1]\,,\ \left| L_k(x) \right|\leqslant1\).
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\). L’objectif de sous-partie est de préciser le résultat des questions 14 et 15 dans le cas des polynômes de Legendre.
En reprenant les notations de la question 14, déterminer l’expression de \(a_k\).
Démontrer que : \(L_{k+1}=\dfrac{2k+1}{k+1}XL_k-\dfrac{k}{k+1}L_{k-1}\).
Les polynômes \(L_k\) ont été définis pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On pourrait démontrer qu’il est possible d’étendre leur définition afin de disposer de \(L_k\) pour tout \(k\in\mathbb{N}\). On suppose que toutes les propriétés précédemment démontrées, notamment l’égalité de la question 39, restent valables.
Considérons un réel \(x\in[-1,1]\) et intéressons-nous à la série entière \(\displaystyle\sum_{k\geqslant0}L_k(x)t^k\).
Démontrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à \(1\). On pose, pour tout \(t\in\left]-1,1\right[\) : \[S(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}L_k(x)t^k\]
Établir, grâce à la question 39, que : \[\forall t\in\left]-1,1\right[\,,\ \left(1-2tx+t^2\right)S'(t)+(t-x)S(t)=0\]
En déduire que : \[\forall t\in\left]-1,1\right[\,,\ \sum_{k=0}^{+\infty}L_k(x)t^k=\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}\]
\(\diamond\)Fin\(\diamond\)
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet classique sur les polynômes orthogonaux : produit scalaire à poids (1 − t)ᵃ(1 + t)ᵇ sur [−1, 1], identités binomiales, relation de récurrence à trois termes et racines des polynômes orthogonaux, formule de Rodrigues des polynômes de Jacobi, puis cas des polynômes de Legendre (équation différentielle, majoration, série génératrice).
Un sujet régulier et bien guidé.