Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2026.
On note \(\left\lfloor x \right\rfloor\) la partie entière d’un nombre réel \(x\). On rappelle qu’il s’agit de l’unique nombre entier pour lequel l’encadrement suivant est satisfait : \(\left\lfloor x \right\rfloor\leqslant x<\left\lfloor x \right\rfloor+1\).
Pour \(s\) un nombre complexe, on note \(\mathrm{Re}(s)\) et \(\mathrm{Im}(s)\) ses parties réelle et imaginaire respectivement.
Le sujet utilise abondamment la lettre grecque \(\zeta\) (« zeta »). Pour \(s\) un nombre réel strictement supérieur à 1, on note : \[\zeta(s)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}\]
Divers prolongements de cette fonction \(\zeta\) sont étudiés au cours du sujet.
Pour \(k\) un entier supérieur ou égal à 2, on définit la fonction \(f_k\) sur \(\left]0,1\right]\) par : \[f_k(t)=\frac{1}{k}\left\lfloor \frac{1}{t} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{1}{kt} \right\rfloor\]
Le problème vise à établir une condition suffisante pour que la fonction \(\zeta\) ne s’annule pas sur l’ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à \(\frac{1}{2}\) (cette non annulation étant une forme de l’hypothèse de Riemann), la condition considérée portant sur la géométrie des fonctions \(f_k\) dans un espace ad hoc.
Pour \(k\) entier naturel non nul, on définit \(u_k(s)=\frac{1}{k^s}\) sur \(\mathbb{R}\).
La série de fonctions \(\displaystyle\sum_{k\geqslant1}u_k\) converge-t-elle normalement sur l’intervalle \(\left]1,{+\infty}\right[\) ?
Montrer que la fonction \(s\mapsto\zeta(s)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}\) est continue sur l’intervalle \(\left]1,{+\infty}\right[\).
Montrer que la fonction \(\zeta\) ne s’annule pas sur l’intervalle \(\left]1,{+\infty}\right[\). Préciser son signe.
Soit \(s\) un nombre complexe et \(t\) un nombre réel strictement positif. On note \(t^s=\mathrm{e}^{s\ln(t)}\). Exprimer le module \(\left| t^s \right|\) à l’aide de \(t\) et du couple \(\left(\mathrm{Re}(s),\mathrm{Im}(s)\right)\).
Soit \(s\) un nombre complexe tel que \(\mathrm{Re}(s)>1\).
Établir que la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant1}\frac{1}{k^s}\) converge absolument.
On note encore \(\zeta(s)\) la somme de cette série : \(\zeta(s)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}\).
On note \((p_i)_{i\geqslant1}\) la suite des nombres premiers rangés par ordre croissant. Ainsi, \(p_1=2\), \(p_2=3\), \(p_3=5\), \(p_4=7\). On utilisera librement le fait que \(\lim_n p_n={+\infty}\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Justifier que la famille \(\left(\frac{1}{\left(p_1^{m_1}\cdots p_n^{m_n}\right)^s}\right)_{(m_1,\dots,m_n)\in\mathbb{N}^n}\) est une famille sommable et que la somme de cette famille, notée \(S_n(s)\), est donnée par \[S_n(s)=\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-\frac{1}{p_i^s}}\]
Pour \(n\) entier naturel non nul, on note \(\mathbb{N}_n\) l’ensemble des entiers naturels non nuls dont la factorisation en nombres premiers ne fait intervenir que les nombres \(p_1,\dots,p_n\).
En considérant la somme \(\displaystyle\sum_{k\in\mathbb{N}_n}\frac{1}{k^s}\), exprimer la limite de \(S_n(s)\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\) à l’aide d’une valeur de la fonction \(\zeta\).
On note \(x\) la partie réelle du nombre \(s\). On rappelle qu’on travaille sous l’hypothèse \(x>1\).
Déterminer la nature de la série \(\displaystyle\sum_i\frac{1}{p_i^x}\). On pourra justifier et exploiter la convergence de la suite \(\left(S_n(x)\right)_n\).
On note \(a_n=\displaystyle\prod_{i=1}^n\frac{p_i^x}{p_i^x+1}\).
Montrer que la suite \((a_n)_n\) converge et que sa limite est un réel strictement positif. On considérera la suite de terme général \(\ln(a_n)\).
Pour tout \(n\geqslant1\), établir l’inégalité \(\left| S_n(s) \right|\geqslant a_n\) et en déduire que le nombre \(\zeta(s)\) est non nul.
Dans cette question, la lettre \(s\) désigne un nombre complexe tel que \(\mathrm{Re}(s)>\frac{1}{2}\).
Établir que la fonction \(t\mapsto t^{2(s-1)}\) est intégrable sur \(\left]0,1\right]\), puis calculer l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1\left| t^{s-1} \right|^2\,\mathrm{d}t\).
Pour tout nombre réel \(d\) dans l’intervalle \(\left]0,1\right[\), on considère \(\Delta_d\) l’ensemble des points \(M\) du plan complexe dont l’affixe \(s\) satisfait l’inégalité \(d^2\left| s \right|^2\geqslant2\,\mathrm{Re}(s)-1\).
Soit \(d\in\left]0,1\right[\). Montrer que \(\Delta_d\) est égal au complémentaire dans le plan complexe d’un disque \(\mathcal{D}_d\) dont on précisera le centre \(O_d\) et le rayon \(R_d\) en fonction de \(d\).
Pour \(d\in\left]0,1\right[\), on pose \(g(d)=\frac{1}{d^2}-\frac{\sqrt{1-d^2}}{d^2}\). Déterminer l’image par la fonction \(g\) de l’intervalle \(\left]0,1\right[\). On pourra procéder par étude des variations.
Déterminer l’intersection \(\displaystyle\bigcap_{d\in\left]0,1\right[}\Delta_d\).
Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 2. On rappelle l’expression : \[f_k(t)=\frac{1}{k}\left\lfloor \frac{1}{t} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{1}{kt} \right\rfloor\]
Calculer \(f_k\!\left(\frac{1}{i}\right)\) pour \(i\) entier compris entre 1 et \(k\).
Pour \(t\) dans l’intervalle \(\left]0,1\right]\), établir l’encadrement : \[0\leqslant f_k(t)\leqslant\frac{k-1}{k}\]
On pourra commencer en utilisant la définition de la partie entière \(\left\lfloor \frac{1}{kt} \right\rfloor\), dont on déduira un encadrement de \(\frac{1}{t}\) qu’on interprétera au vu de la définition de \(\left\lfloor \frac{1}{t} \right\rfloor\).
Déduire des deux questions précédentes l’ensemble des valeurs prises par \(f_k\) sur l’intervalle \(\left]0,1\right]\).
Justifier que la fonction \(f_k\) est continue par morceaux et intégrable sur \(\left]0,1\right]\).
Dans les questions suivantes, \(s\) désigne un nombre réel strictement supérieur à 1.
Dans cette question uniquement, on élargit l’étude au cas \(k=1\) (et donc \(k\) est un entier naturel non nul). Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1\left\lfloor \frac{1}{kt} \right\rfloor t^{s-1}\,\mathrm{d}t\) converge.
On note : \[F(s)=\int_0^1\left\lfloor \frac{1}{t} \right\rfloor t^{s-1}\,\mathrm{d}t\]
Établir : \[F(s)=\sum_{j=1}^{+\infty}j\int_{1/(j+1)}^{1/j}t^{s-1}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{s}\,\zeta(s)\]
Pour \(k\) entier supérieur ou égal à 2 et \(s>1\), établir l’égalité : \[\int_0^1 f_k(t)\,t^{s-1}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{s}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k^s}\right)\zeta(s)\]
Soit \(s\) un nombre réel strictement positif.
Soit \(k\) un entier naturel non nul. On considère la fonction \(h\) sur \(\left]0,{+\infty}\right[\) définie par \(h(t)=\frac{1}{t^s}\). Déterminer le maximum de \(\left| h'(t) \right|\) sur le segment \([k,k+1]\).
Montrer que la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant1}\int_k^{k+1}\left(\frac{1}{k^s}-\frac{1}{t^s}\right)\mathrm{d}t\) est une série à termes positifs convergente et que sa somme \(G(s)\) vérifie : \[0\leqslant G(s)\leqslant s\,\zeta(s+1)\]
Dans cette question, on suppose \(s>1\). Établir l’égalité : \[\zeta(s)-G(s)=\frac{1}{s-1}\]
puis l’estimation asymptotique \(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+O(1)\) lorsque \(s\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures.
On admet que les résultats de cette partie se généralisent, au prix de quelques menues adaptations, au cas où \(s\) est un nombre complexe de partie réelle strictement positive. On peut alors définir \(\zeta(s)\) pour \(s\) un nombre complexe distinct de \(1\) dont la partie réelle satisfait \(0<\mathrm{Re}(s)\leqslant1\) par : \[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+G(s)\]
Montrer que \(\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,t^{s-1}\,\mathrm{d}t\) tend vers \(\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\,\mathrm{d}t\) lorsque \(s\) tend vers \(1\) par valeurs réelles strictement supérieures.
En utilisant la question précédente et les questions Q21 et Q24, établir l’égalité : \[\int_0^1 f_k(t)\,\mathrm{d}t=\frac{\ln(k)}{k}\]
On note \(E\) l’espace des fonctions continues par morceaux sur \(\left]0,1\right]\) et à valeurs réelles. On définit en outre le sous-ensemble \(L^2\) des fonctions \(f\) de \(E\) telles que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1 f(t)^2\,\mathrm{d}t\) converge.
On considère des fonctions continues par morceaux sur \(\left]0,1\right]\), sans qu’il soit besoin de le spécifier à chaque fois. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie en justifiant complètement :
toute fonction bornée sur \(\left]0,1\right]\) appartient à \(L^2\) ;
les ensembles \(E\) et \(L^2\) sont égaux ;
toute fonction intégrable sur \(\left]0,1\right]\) appartient à \(L^2\).
Pour \(f\) et \(g\) dans l’ensemble \(L^2\), montrer que l’intégrale \(\int_0^1 f(t)g(t)\,\mathrm{d}t\) converge absolument, puis établir que l’ensemble \(L^2\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) (là encore, on ne demande pas de relever le caractère continu par morceaux des fonctions considérées).
On pourra établir et utiliser l’inégalité \(\left| f(t)g(t) \right|\leqslant\frac{1}{2}\left(f(t)^2+g(t)^2\right)\).
Vérifier qu’on définit une forme bilinéaire symétrique positive sur \(L^2\) en posant : \[(f|g)=\int_0^1 f(t)g(t)\,\mathrm{d}t\]
Justifier que ce n’est pas un produit scalaire sur \(L^2\), en fournissant un contre-exemple à l’aspect « défini ».
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit \((\lambda_k)_{2\leqslant k\leqslant n}\) une famille de nombres réels tels que : \[\sum_{k=2}^n\lambda_kf_k=0\text{ sur }\left]0,1\right]\]
En évaluant la relation précédente pour \(t\in\left]\frac{1}{2},1\right]\), établir l’égalité \(\displaystyle\sum_{k=2}^n\frac{\lambda_k}{k}=0\).
Soit \(\ell\) un entier compris entre \(2\) et \(n-1\). En évaluant en un nombre \(t\) bien choisi, établir l’égalité : \[\sum_{k=\ell+1}^n\lambda_k\frac{\ell}{k}+\sum_{k=2}^{\ell-1}\lambda_k\left(\frac{\ell}{k}-\left\lfloor \frac{\ell}{k} \right\rfloor\right)=0\]
Dans le cas \(\ell=2\), la deuxième somme étant indicée pour \(k\) allant de \(2\) à \(2-1\), on la considère vide, donc nulle.
Montrer l’égalité \(\lambda_2=0\) en combinant le résultat de Q30 et celui de Q31 pour \(\ell=2\), puis montrer que tous les scalaires \(\lambda_k\) sont nuls. Quelle propriété de la famille \((f_k)_{k\geqslant2}\) a-t-on ainsi établie ?
On considère maintenant le sous-espace \(F\) de \(L^2\) engendré par les fonctions \(f_k\) pour \(k\geqslant2\), et la fonction constante égale à \(1\), qu’on note \(\mathbf{1}\).
Montrer que \((.|.)\) (voir notation Q29) définit un produit scalaire sur \(F\).
On rappelle que \(\mathbf{1}\) désigne la fonction constante égale à \(1\). On travaille dans l’espace \(F=\mathrm{Vect}\left(\mathbf{1},f_2,\dots,f_n,\dots\right)\) muni du produit scalaire \((.|.)\) (selon Q29 et Q33).
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2. Montrer l’existence d’une unique famille orthonormale \((e_k)_{2\leqslant k\leqslant n}\) d’éléments de \(L^2\) telle que pour chaque entier \(p\) compris entre \(2\) et \(n\), les sous-espaces engendrés \(\mathrm{Vect}\left(e_2,\dots,e_p\right)\) et \(\mathrm{Vect}\left(f_2,\dots,f_p\right)\) sont égaux, et \((e_p|f_p)>0\).
Pour \(n\geqslant2\) entier, on note \(d_n\) la distance de la fonction \(\mathbf{1}\) au sous-espace engendré par \((f_2,\dots,f_n)\).
Montrer l’égalité : \[d_n^2=1-\sum_{k=2}^n\left(\mathbf{1}|e_k\right)^2\]
Montrer que la suite \((d_n)_n\) converge.
On admet que l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’étend aux fonctions continues par morceaux sur \(\left]0,1\right]\) de carré intégrable, dans le cas de fonctions à valeurs complexes, sous la forme suivante (les fonctions \(f\) et \(g\) ci-dessous sont donc supposées vérifier les conditions précédentes, en particulier, \(f^2\) et \(g^2\) sont supposées intégrables sur \(\left]0,1\right]\)) : \[\left| \int_0^1 f(t)g(t)\,\mathrm{d}t \right|^2\leqslant\int_0^1\left| f(t) \right|^2\,\mathrm{d}t\times\int_0^1\left| g(t) \right|^2\,\mathrm{d}t\]
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Soit \((\lambda_k)_{2\leqslant k\leqslant n}\) une famille de nombres réels. Soit \(s\) un nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à \(\frac{1}{2}\). Justifier l’inégalité : \[\left| \int_0^1\left(1-\sum_{k=2}^n\lambda_kf_k(t)\right)t^{s-1}\,\mathrm{d}t \right|^2\leqslant\int_0^1\left(1-\sum_{k=2}^n\lambda_kf_k(t)\right)^2\mathrm{d}t\times\int_0^1\left| t^{2(s-1)} \right|\,\mathrm{d}t\]
On souhaite maintenant démontrer que, si la suite \((d_n)_n\) admet pour limite \(0\), alors la fonction \(\zeta\), prolongée selon la Partie BII, ne s’annule en aucun nombre complexe \(s\) tel que \(\mathrm{Re}(s)>\frac{1}{2}\). Pour cela, on procède par l’absurde, et on suppose que \(s\) est un nombre complexe distinct de \(1\) tel que \(\mathrm{Re}(s)>\frac{1}{2}\) et \(\zeta(s)=0\). On admet que l’égalité Q21 est encore vraie pour tout nombre complexe \(s\) distinct de \(1\), de partie réelle strictement positive.
Établir l’inégalité \(d_n^2\left| s \right|^2\geqslant2\,\mathrm{Re}(s)-1\), puis, en supposant \(\displaystyle\lim_{n\to{+\infty}}d_n=0\), conclure.
\(\diamond\)Fin\(\diamond\)
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet ambitieux autour de la fonction ζ de Riemann : séries de fonctions et produit eulérien, transformée de Mellin des fonctions fₖ construites avec la partie entière et prolongement de ζ, puis distance de la fonction constante 1 à des sous-espaces d'un espace préhilbertien, qui donne une condition sur les zéros de ζ.
Les intégrales impropres et les familles sommables demandent beaucoup de rigueur.