Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Obtention de piles successifs lors de lancers d’une pièce.
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2026.
Dans ce sujet, nous étudions la probabilité d’apparition de \(n\) côtés pile successifs lors du lancer d’une pièce. Ce type de problème a notamment servi de modèle pour des études effectuées dans les années 2010 visant à améliorer la performance des transmissions d’informations dans certains types de réseaux informatiques sans fil appelé OLSR [1]. Ces derniers ont des applications dans l’utilisation des mini-drones de reconnaissance, ou bien lors de communications d’unités de secours pour la prévention des catastrophes naturelles.
Dans les trois premières parties, nous étudions la probabilité d’apparition pour la première fois de \(n\) côtés pile successifs lors de lancers d’une pièce. La première partie s’intéresse aux cas où \(n=1\) et \(n=2\) ; la deuxième au cas où \(n=3\). Puis le cas général est étudié dans la troisième partie. La dernière partie, quant à elle, traite du problème de l’apparition d’une succession d’au moins n côtés pile consécutifs lorsqu’une pièce est lancée \(k\) fois.
Notations et définition
On dispose d’une pièce non nécessairement équilibrée. On note \(p\in\left]0,1\right[\) la probabilité que le résultat d’un lancer donne le côté pile et \(q\in\left]0,1\right[\) celle qu’il soit face. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on définit la variable aléatoire \(X_n\) de sorte que pour tout entier \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(X_n\) prend la valeur \(k\) lorsque l’on obtient pour la première fois \(n\) côtés piles consécutifs à la suite de \(k\) lancers d’une pièce et \(X_n=+\infty\) si cet événement ne se produit jamais. On admet dans tout le sujet l’existence d’un espace probabilisé \((\Omega,\mathbb{P})\) sur lequel est définie \(X_n\). On note \(f\) la fonction définie par, pour tout \(t\in[0,1]\), \(f(t)=t^n-q\displaystyle\sum_{i=1}^np^{i-1}t^{n-i}\) et \(\mathcal{R}e(z)\) la partie réelle de tout nombre complexe \(z\).
Donner explicitement la loi de \(X_1\).
Donner directement la fonction génératrice de \(X_1\), son espérance et sa variance.
Démontrer les résultats donnés dans la question 2.
Déterminer \(\mathbb{P}(X_2=1)\) et \(\mathbb{P}(X_2=2)\).
Soit \(k\in\mathbb{N}\), \(k>2\). On suppose que \(X_2\) prend la valeur \(k\). Déterminer l’ensemble des résultats possibles pour les deux premiers lancers.
En déduire que pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(k>2\), \(\mathbb{P}(X_2=k)=q\mathbb{P}(X_2=k-1)+pq\mathbb{P}(X_2=k-2)\).
Montrer que le trinôme \(X^2-qX-pq\) admet deux racines \(r_1\) et \(r_2\) dans \(\left]-1,1\right[\) vérifiant \(r_2<r_1\) et \(\left| r_2 \right|<\left| r_1 \right|\).
Déterminer le rayon de convergence, noté \(R\), de la série entière \(\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty}\left(r_1^{k-1}-r_2^{k-1}\right)z^k\).
Exprimer \(\mathbb{P}(X_2=k)\) pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(k>2\).
Déterminer l’événement \((X_2=+\infty)\) en fonction des événements \((X_2\geqslant k)\), où \(k\in\mathbb{N}^\ast\). En déduire que \(\mathbb{P}(X_2=+\infty)=0\).
Montrer que la fonction génératrice de \(X_2\), notée \(G_{X_2}\), est telle que, pour tout \(z\in\mathbb{C}\) tel que \(\left| z \right|<R\), \(G_{X_2}(z)=\dfrac{p^2z^2}{1-qz-pqz^2}\)..
Montrer que \(X_2\) admet une espérance et une variance.
Calculer l’espérance de \(X_2\) puis montrer que sa variance vaut \(\dfrac{1}{p^4}+\dfrac{2}{p^3}-\dfrac{2}{p^2}-\dfrac{1}{p}\).
On s’intéresse dans cette partie au cas où \(n=3\).
Donner pour tout \(k\in\{1,2,3\}\), \(\mathbb{P}(X_3=k)\).
Montrer à l’aide d’un système complet d’événements adéquat que pour tout \(k>3\), \[\mathbb{P}(X_3=k)=q\mathbb{P}(X_3=k-1)+pq\mathbb{P}(X_3=k-2)+qp^2\mathbb{P}(X_3=k-3)\]
Soit \(k\in\mathbb{N}^\ast\). On pose la matrice colonne \(U_k=\begin{pmatrix}\mathbb{P}(X_3=k+2)\\ \mathbb{P}(X_3=k+1)\\ \mathbb{P}(X_3=k)\end{pmatrix}\). Déterminer une matrice \(M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(U_{k+1}=MU_k\).
Déterminer le polynôme caractéristique noté \(\chi_M\) de \(M\).
Montrer que \(\chi_M\) admet une unique racine dans \(\left]0,1\right[\).
Vérifier que \((X-p)\chi_M(X)=X^4-X^3+qp^3\) puis montrer que \(\chi_M\) admet une seule racine réelle.
Justifier que \(M\) est diagonalisable dans \(\mathbb{C}\).
On note \(Q\in GL_3(\mathbb{C})\) et \(D\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) une matrice diagonale d’ordre \(3\) telles que \(M=QDQ^{-1}\). Sans calculer \(Q\), montrer qu’il existe \((A,B,C)\in\mathbb{C}^3\), \(\lambda_1\in\left]0,1\right[\) et \(\lambda_2\in\mathbb{C}\) tels que, pour tout \(k\geqslant1\), \[\mathbb{P}(X_3=k)=A\lambda_1^{k-1}+B\lambda_2^{k-1}+C\overline{\lambda_2}^{k-1}\]
Déterminer uniquement la valeur de \(A\) en fonction de \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).
On note \(\theta\) un argument de \(\lambda_2\) et \(r\) son module. Montrer qu’il existe \((a,b,c)\in\mathbb{R}^3\) tel que pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbb{P}(X_3=k)=a\lambda_1^{k-1}+br^{k-1}\cos((k-1)\theta)+cr^{k-1}\sin((k-1)\theta)\)
Montrer que : \(q<\lambda_1\), \(\mathcal{R}e(\lambda_2)<0\), \(\left| \lambda_2-1 \right|>1\) puis que \(\left| \lambda_2 \right|<\lambda_1\).
En déduire l’existence d’un réel \(m>0\), que l’on calculera en fonction de \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), tel que \(\mathbb{P}(X_3=k)\underset{k\to+\infty}{\sim}m\lambda_1^k\).
Dans cette partie B.II, on suppose que \(p=3/4\).
Déterminer dans \(\mathbb{N}\) une racine du polynôme \(\chi_M\!\left(\frac{X}{4}\right)\).
En déduire toutes les racines de \(\chi_M\).
Déterminer un équivalent de \(\mathbb{P}(X_3=k)\).
On s’intéresse au cas où apparaît pour la première fois une succession de \(n\) côtés pile lors du lancer d’une pièce, où \(n\in\mathbb{N}^\ast\).
Quelles sont les valeurs de \(\mathbb{P}(X_n=k)\), où \(k\in\{1,\cdots,n\}\) ?
Montrer que pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(k>n\), \[\mathbb{P}(X_n=k)=q\mathbb{P}(X_n=k-1)+qp\mathbb{P}(X_n=k-2)+\cdots+qp^{n-1}\mathbb{P}(X_n=k-n)\]
On rappelle que la fonction \(f\) a été définie dans l’introduction du sujet. Calculer \(f(1)\) puis montrer qu’il existe \(t\in\left]p,1\right[\) tel que \(f(t)\geqslant0\). On considère dans la suite de cette partie C un tel réel \(t\).
Montrer par récurrence que pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbb{P}(X_n=k)\leqslant t^k\).
Montrer que la fonction génératrice de \(X_n\), notée \(G_{X_n}\), est définie pour tout \(z\in\mathbb{C}\) tel que \(\left| z \right|<\dfrac{1}{t}\) et que \(G_{X_n}(z)=\dfrac{p^nz^n(1-pz)}{qp^nz^{n+1}-z+1}\).
Montrer que \(X_n\) admet une espérance et calculer \(\mathbb{E}(X_n)\).
On admet qu’il existe \(a\in\mathbb{C}\), \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\) \(n\) nombres complexes de module strictement supérieur à \(1\) et deux à deux distincts et \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\in\mathbb{C}^n\) tels que pour tout \(z\) tel que \(\left| z \right|<\dfrac{1}{t}\), \(G_{X_n}(z)=a+\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{z-\lambda_i}\). Déterminer pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbb{P}(X_n=k)\) en fonction des nombres \(a_i\) et \(\lambda_i\).
Dans cette partie, on effectue des lancers successifs de la même pièce, on rappelle que la probabilité d’obtenir le côté pile est \(p\in\left]0,1\right[\). Au bout de \(k\in\mathbb{N}^\ast\) lancers, on s’intéresse à l’apparition d’une succession d’au moins \(n\) côtés pile consécutifs. Par exemple, on lance 100 fois la pièce et on regarde si la série de cinq côtés pile : « pile,pile,pile,pile,pile » est apparue dans ces 100 lancers, mais il n’est pas interdit d’avoir une série de plus de cinq piles côte à côte. On note \(A_{n,k}\) l’événement : « avoir une succession d’au moins \(n\) côtés pile au bout de \(k\) lancers de la pièce ». On admettra que pour tout \((b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{C}^n\), il existe une unique suite \((u_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\) telle que : \[\forall i\in\{1,\cdots,n\},\quad u_i=b_i\quad\text{et}\quad\forall k>n,\quad u_k=qu_{k-1}+qpu_{k-2}+\cdots+qp^{n-1}u_{k-n} \tag{$\star$}\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\).
Quelles sont les valeurs de \(\mathbb{P}(A_{n,k})\), où \(k\in\{1,\cdots,n\}\) ?
Montrer que pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(k>n\), \[\mathbb{P}(A_{n,k})=p^n+q\mathbb{P}(A_{n,k-1})+qp\mathbb{P}(A_{n,k-2})+\cdots+qp^{n-1}\mathbb{P}(A_{n,k-n})\]
Écrire une fonction Python ayant comme variables d’entrée \(p\), \(k\) et \(n\) et qui donne en sortie la liste des \(\mathbb{P}(A_{n,l})\) pour \(l\in\{1,\cdots,k\}\).
Déterminer une suite constante \((v_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\) vérifiant : \[\forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ k>n,\ v_k=p^n+qv_{k-1}+qpv_{k-2}+\cdots+qp^{n-1}v_{k-n}\]
Déterminer \((b_1,\cdots,b_n)\in\mathbb{C}^n\) telle que la suite \((u_k)\) vérifiant la condition \((\star)\) est telle que, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbb{P}(A_{n,k})=1-u_k\).
Montrer que pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(k\geqslant n\), \(0<u_k<1\) et \((u_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\) est décroissante.
On pose \(M=\max\left\{\dfrac{u_{i+1}}{u_i}\ ;\ i\in\{n,\cdots,2n-1\}\right\}\). En utilisant la fonction \(f\) définie en introduction puis en raisonnant par récurrence d’ordre \(n\) à partir du rang \(n+1\), montrer qu’il existe \(\alpha\in\left[M,1\right[\) telle que pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(k\geqslant n+1\), \(u_k\leqslant\alpha^{k-n}\).
Déterminer \(\mathbb{P}\!\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{+\infty}A_{n,k}\right)\) puis justifier l’affirmation : lorsque l’on effectue une succession de lancers d’une pièce, presque sûrement on obtiendra à un moment une série d’au moins 10000 côtés pile consécutifs.
On suppose dans cette question \(n=5\) et \(p=1/2\). On admet que l’on peut prendre \(\alpha=0{,}9827\) et que l’on a \(0{,}9827^{95}\leqslant 0.193\). Justifier l’affirmation suivante : on lance 100 fois une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir au moins cinq cotés pile consécutifs est au moins de \(0{,}8\).
En s’inspirant de la méthode de la partie B, proposer une démarche expliquée en quelques étapes et sans faire les calculs et qui permettrait de montrer l’existence de \((\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n)\in\mathbb{C}^n\) avec pour tout \(i\in\{1,\cdots,n\}\), \(\left| \mu_i \right|<1\) et de \((c_1,\cdots,c_n)\in\mathbb{C}^n\) tel que pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbb{P}(A_{n,k})=1-\displaystyle\sum_{i=1}^nc_i\mu_i^k\).
Références
Evgeny Khorov et al. « Analytical
study of neighborhood discovery and link management in OLSR ». In :
2012 IFIP Wireless Days. 2012, p. 1-6. doi :
10.1109/WD.2012.6402849.
\(\diamond\)Fin\(\diamond\)
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet de probabilités sur le temps d'attente de n piles consécutifs : cas n = 1 et n = 2 par une relation de récurrence et la fonction génératrice, cas n = 3 par la réduction d'une matrice compagnon et l'étude des racines de son polynôme caractéristique, puis cas général et application aux séries de piles.
Les comparaisons de modules de racines demandent du soin.