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Découverte de la planète Neptune
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2026.
Les quatre parties de ce problème sont indépendantes, le candidat peut les traiter dans l’ordre de son choix. Dans tout ce problème, \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) désigne l’ensemble des matrices à 3 lignes et à 3 colonnes à coefficients réels.
Urbain Le Verrier (1811-1877) doit sa célébrité à la découverte de la planète Neptune en 1846. À cette époque, seules 7 planètes sont alors connues (Mercure, Vénus, La Terre, Mars, Jupiter, Saturne et Uranus). Les mouvements des planètes sont régis par les lois de Newton. Quand on ne néglige pas les interactions entre planètes, les équations caractérisant les trajectoires des planètes sont pour l’instant impossibles à résoudre. Lagrange puis Laplace ont apporté des simplifications mais n’ont pas abouti. Le Verrier a conclu leurs travaux et établi les trajectoires des 7 planètes alors connues.
La trajectoire que Le Verrier prédit concernant la planète Uranus contredit les observations de Herschel effectuées en 1781 : Uranus ne se trouve pas là où elle devrait être ! Ces écarts inexpliqués entre la position réelle d’Uranus sur son orbite et celle déduite par la théorie suggèrent l’existence d’un corps céleste inconnu, plus lointain, exerçant une force gravitationnelle perturbatrice. Plus tard, un astronome allemand, Johann Galle, observe pour la première fois la planète à l’origine de cette anomalie, à partir des calculs de Le Verrier. Elle est baptisée Neptune et on considère que c’est Le Verrier (et non Galle) qui l’a découverte.
On se place dans l’écliptique qui est le plan \(P\) d’origine le soleil et contenant le système solaire. On munit ce plan d’un repère orthonormé \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\) et, si \(M\) et \(N\) sont deux points de ce plan, \(MN\) désigne la longueur du segment d’extrémités \(M\) et \(N\).
Soit \((a,c)\in\left(\mathbb{R}_+^\ast\right)^2\) tel que \(c<a\). On pose \(b=\sqrt{a^2-c^2}\). On appelle \(F\) le point de coordonnées \((c,0)\) et \(F'\) le point de coordonnées \((-c,0)\).
On appelle \(\mathcal{E}\) l’ensemble des points \(M\) de \(P\) tels que \(MF+MF'=2a\). On dit que \(\mathcal{E}\) est une ellipse de foyers \(F\) et \(F'\).
Dans cette partie, \(x\) et \(y\) sont deux réels et \(M\) est le point de \(P\) de coordonnées \((x,y)\).
Rappeler l’inégalité triangulaire mettant en jeu les distances \(MF\), \(MF'\) et \(FF'\) puis prouver que : \[FF'\geqslant\left| MF-MF' \right|\]
En déduire que \(MF-MF'-2a\neq0\) et \(MF-MF'+2a\neq0\).
En déduire l’équivalence suivante : \[M\in\mathcal{E}\Longleftrightarrow(MF'+MF-2a)\times(MF'+MF+2a)\times(MF-MF'-2a)\times(MF-MF'+2a)=0\]
En déduire l’équivalence suivante : \(M\in\mathcal{E}\Longleftrightarrow\left((MF')^2+(MF)^2-4a^2\right)^2=4(MF')^2(MF)^2\).
En déduire que \(\mathcal{E}\) est l’ensemble des points \(M\) du plan \(P\) dont les coordonnées \((x,y)\) vérifient \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\).
Soit : \[f:\begin{cases} [0,a] \longrightarrow \mathbb{R}\\[0.5em] x \longmapsto b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}} \end{cases}\]
Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner les équations des tangentes à \(\mathcal{C}_f\), la courbe représentative de \(f\), en \((0,b)\) et \((a,0)\).
Tracer \(\mathcal{C}_f\).
Représenter \(\mathcal{E}\). On y placera aussi les points \(A\), \(A'\), \(B\), \(B'\) de cordonnées respectives \((a,0)\), \((-a,0)\), \((0,b)\), \((0,-b)\), ainsi que \(F\) et \(F'\). On dit que \([A'A]\) est le grand axe de \(\mathcal{E}\) et \([B'B]\) est le petit axe de \(\mathcal{E}\).
On pose \(e=\frac{c}{a}\), on appelle excentricité de \(\mathcal{E}\) cette quantité.
Montrer que \(e\in\left]0,1\right[\) puis exprimer \(c\) et \(b\) en fonction de \(a\) et \(e\).
Donner l’allure de l’ellipse \(\mathcal{E}\) suivant que \(e\) soit proche de \(0\) ou de \(1\).
Les interactions entre les planètes existent et ne sont pas toujours négligeables. Pour les planètes massives, Le Verrier a pu toutefois négliger les petites planètes (Mercure, Vénus, Terre et Mars) et ne tenir compte que des planètes massives alors connues (Uranus, Jupiter et Saturne). Nous allons ainsi simplifier le problème et nous placer dans le cas où il n’y aurait que trois planètes.
Pour chacune des trois planètes massives, Le Verrier définit des fonctions numériques définies sur \(\mathbb{R}_+\) et de classe \(\mathcal{C}^\infty\), permettant, sans entrer dans des détails trop techniques, de décrire les trajectoires de ces planètes. Ainsi, pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]\), on définit des fonctions \(h_i\) et \(l_i\), fonctions du temps et deux fois dérivables sur \(\mathbb{R}_+\) (\(h_1\) et \(l_1\) pour Uranus, \(h_2\) et \(l_2\) pour Jupiter, et enfin \(h_3\) et \(l_3\) pour Saturne). Les équations physiques de Lagrange et Laplace disent qu’il existe une matrice \(B\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) (dont les coefficients sont des réels constants et ne dépendent donc pas du temps) telle que : \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\ \begin{cases}G_t=B\times L_t\\ K_t=-B\times H_t\end{cases} \quad\text{avec}\] \[H_t=\begin{pmatrix}h_1(t)\\ h_2(t)\\ h_3(t)\end{pmatrix},\ L_t=\begin{pmatrix}l_1(t)\\ l_2(t)\\ l_3(t)\end{pmatrix},\ G_t=\begin{pmatrix}h_1'(t)\\ h_2'(t)\\ h_3'(t)\end{pmatrix}\text{ et } K_t=\begin{pmatrix}l_1'(t)\\ l_2'(t)\\ l_3'(t)\end{pmatrix}\]
Pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), on pose \(F_t=\begin{pmatrix}h_1''(t)\\ h_2''(t)\\ h_3''(t)\end{pmatrix}\).
Montrer que : \(\forall t\in\mathbb{R}_+,\ F_t=A\times H_t\) avec \(A=-B^2\). On suppose uniquement dans cette partie que \(A\) a trois valeurs propres réelles \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) et \(\lambda_3\) telles que \(\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3<0\).
Montrer qu’il existe \(Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) telle que \(A=Q\times\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix}\times Q^{-1}\).
Pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), on pose : \(\begin{pmatrix}y_1(t)\\ y_2(t)\\ y_3(t)\end{pmatrix}=Y_t\) avec \(Y_t=Q^{-1}\times H_t\), la matrice \(Q\) ayant été définie dans la question précédente. Pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]\), montrer que \(y_i\) est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 qu’on précisera.
Soit \(t\in\mathbb{R}_+\). Pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]\), donner l’expression générale de \(y_i(t)\) à des constantes multiplicatives près.
Montrer que \(B\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) et exprimer \(h_1,h_2,h_3\) puis \(l_1,l_2,l_3\) en fonction de \(y_1,y_2,y_3\) et des matrices \(B\) et \(Q\).
Pour toute matrice \(M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), on note \(\mathrm{Tr}(M)\) sa trace.
Démontrer que : \(\forall(A,B)\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})^2,\ \mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)\) et en déduire que deux matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) semblables ont même trace.
On pose : \(A=Q\times\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix}\times Q^{-1}\) avec \(Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) et \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\in\mathbb{R}^3\). On note : \[S_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\ S_2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2\ \text{ et }\ S_3=\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3\]
On note \(P_A\) le polynôme caractéristique de \(A\), et on pose : \[\alpha_0+\alpha_1X+\alpha_2X^2+\alpha_3X^3=P_A\]
Exprimer \(\mathrm{Tr}(A)\), \(\mathrm{Tr}\!\left(A^2\right)\) et \(\mathrm{Tr}\!\left(A^3\right)\) en fonction de \(S_1\), \(S_2\) et \(S_3\).
Exprimer \(P_A\) puis \(\alpha_0\), \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) en fonction de \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) et \(\lambda_3\).
Exprimer \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) en fonction de \(S_1\) et \(S_2\). On admet que \(\alpha_0=\frac{3S_1S_2-S_1^3-2S_3}{6}\).
Le Verrier a ainsi, sans notion de déterminant ni de rang, explicité le polynôme caractéristique de la matrice \(A\) intervenant dans ses calculs grâce aux traces de \(A\), \(A^2\) et \(A^3\). Une fois le polynôme caractéristique calculé, il en a déduit le spectre de \(A\).
On appelle \(A\) la matrice \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-4 & 11 & 13\\ 0 & 1 & 7\\ 0 & 7 & 1\end{pmatrix}\) et \(R\) le polynôme \(X^3+X^2-14X-24\).
Justifier l’existence d’une matrice triangulaire supérieure \(T\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) et d’une matrice inversible \(Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{C})\) telles que \(A=QTQ^{-1}\). Les relations trouvées à la question Q19 sont-elles encore valables ici ?
Déterminer \(\mathrm{Tr}(A)\), \(\mathrm{Tr}\!\left(A^2\right)\) et \(\mathrm{Tr}\!\left(A^3\right)\) et en déduire que le polynôme caractéristique de \(A\) est \(R\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\).
Déterminer une matrice \(Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) telle que la matrice \(Q^{-1}AQ\) soit diagonale.
L’étude du système réduit aux trois planètes massives Jupiter, Saturne et Uranus fait en réalité intervenir une matrice dont on ne connaît que des valeurs approchées. Nous étudions dans cette partie l’influence de l’approximation effectuée sur le spectre de cette matrice.
Dans toute cette partie, \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois réels vérifiant \(a<b<c\) et \((u,v,w)\) est un élément de \(\left(\mathbb{R}^\ast\right)^3\). Pour tout \(M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), on note \(M^\top\) la transposée de \(M\). On pose : \[U=\begin{pmatrix}u\\ v\\ w\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad T=UU^\top\]
On note \(D\) la matrice \(\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\end{pmatrix}\) et on fixe \(t\in\mathbb{R}^\ast\) pour toute cette partie. On pose \(D(t)=D+tT\) et on considère l’équation \((E_t)\) d’inconnue \(\lambda\in\mathbb{R}\) suivante : \[\frac{u^2}{\lambda-a}+\frac{v^2}{\lambda-b}+\frac{w^2}{\lambda-c}=\frac{1}{t}\]
Soit \(\lambda\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace a,b,c\right\rbrace\). On suppose que \(\lambda\) appartient au spectre de \(D(t)\). On note \(X\) un vecteur propre de \(D(t)\) associé à \(\lambda\).
Montrer que : \(\lambda\mathrm{I}_3-D\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) et \(U^\top X=t\,U^\top(\lambda\mathrm{I}_3-D)^{-1}UU^\top X\).
Montrer que : \(U^\top(\lambda\mathrm{I}_3-D)^{-1}U=\frac{1}{t}\).
En déduire que \(\lambda\) est une solution de l’équation \((E_t)\).
Dresser le tableau de variations de la fonction numérique \(F\) suivante : \[F:\lambda\longmapsto\frac{u^2}{\lambda-a}+\frac{v^2}{\lambda-b}+\frac{w^2}{\lambda-c}\] En déduire que \(F\) s’annule en deux points \(\rho_1\) et \(\rho_2\) vérifiant \(\rho_1<\rho_2\).
Montrer que l’équation \((E_t)\) admet trois solutions réelles distinctes \(\lambda_1(t)\), \(\lambda_2(t)\) et \(\lambda_3(t)\) vérifiant \[\lambda_1(t)<\lambda_2(t)<\lambda_3(t)\] On comparera ces quantités à \(a\), \(b\), \(c\), \(\rho_1\) et \(\rho_2\). On sera amené à distinguer les cas \(t>0\) et \(t<0\).
Montrer que l’ensemble des solutions de \((E_t)\) et le spectre de \(D(t)\) sont confondus.
On note \(g_1\) la réciproque de la restriction de \(F\) à \(\left]-\infty,a\right[\), \(g_2\) la réciproque de la restriction de \(F\) à \(\left]a,b\right[\), \(g_3\) la réciproque de la restriction de \(F\) à \(\left]b,c\right[\) et enfin \(g_4\) la réciproque de la restriction de \(F\) à \(\left]c,{+\infty}\right[\).
Prouver l’existence de \(g_i\) pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\), calculer \(g_2(0)\) et déterminer la limite de \(g_2\) en \({+\infty}\) et en \(-\infty\)
Exprimer \(\lambda_1(t)\), \(\lambda_2(t)\) et \(\lambda_3(t)\) en fonction de \(g_1\), \(g_2\), \(g_3\), \(g_4\) et de \(t\). On sera amené à distinguer les cas \(t>0\) et \(t<0\).
Montrer que la fonction \(\lambda_1\) se prolonge en une fonction continue sur \(\mathbb{R}\). On admet qu’il en est de même pour \(\lambda_2\) et \(\lambda_3\). On notera encore \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) et \(\lambda_3\) ces fonctions prolongées.
Montrer que la fonction \(\lambda_1\), ainsi prolongée, est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et déterminer la valeur de \(\lambda_1'(0)\). On pourra s’appuyer sur l’expression de \(F(\lambda_1(t))\). Donner, sans justification, les valeurs que l’on obtiendrait pour \(\lambda_2'(0)\) et \(\lambda_3'(0)\) en reprenant ce raisonnement.
Calculer la limite de \(\lambda_1\) en \({+\infty}\) et \(-\infty\). Quels commentaires peut-on faire quand on compare les valeurs propres de \(D\) et celles de \(D(t)\) ?
\(\diamond\)Fin\(\diamond\)
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Un sujet plaisant qui suit la découverte de Neptune : ellipse de Kepler, système différentiel H″ = AH découplé par diagonalisation, méthode de Le Verrier pour obtenir le polynôme caractéristique à partir des traces des puissances, puis valeurs propres d'une matrice perturbée par une matrice de rang 1, étudiées comme solutions d'une équation.
Un sujet abordable et bien guidé.