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Sur quelques sous-groupes de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\)
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2026.
Dans tout le sujet, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2. On note :
\(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coefficients dans \(\mathbb{R}\), \(I_n\) sa matrice identité.
\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) le groupe des matrices inversibles de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
\(\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\) (resp. \(\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\)) l’ensemble des matrices symétriques positives de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) (resp. définies positives).
\(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) le groupe des matrices orthogonales de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), et \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\) celui des matrices orthogonales de déterminant 1.
La transposée d’une matrice \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) sera notée \(M^\top\) et sa trace \(\operatorname{tr}M\).
On note \(|X|\) le cardinal d’un ensemble \(X\), en convenant que \(|X|=+\infty\) si \(X\) est un ensemble infini.
Si \(\mathcal{A}\) est une partie finie d’un groupe \(G\), on note \(\langle\mathcal{A}\rangle\) le sous-groupe de \(G\) engendré par \(\mathcal{A}\).
Le problème comporte trois parties indépendantes.
Soit \(G\) un groupe de neutre \(e\). On dit que \(G\) est d’exposant fini si et seulement si : \[\exists m\in\mathbb{N}^\ast\quad\forall x\in G\quad x^m=e\] De plus, si \(G\) est un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), on note \(\operatorname{tr}G\) la trace du groupe \(G\), qui est l’ensemble : \[\operatorname{tr}G=\{\operatorname{tr}A\ ;\ A\in G\}\]
Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\).
Montrer que si \(G\) est fini, alors \(G\) est d’exposant fini et \(\operatorname{tr}G\) est fini.
Donner un exemple de sous-groupe infini de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) dont la trace soit finie.
Donner un exemple (pas nécessairement matriciel) de groupe infini qui soit d’exposant fini.
Pour tout \(\theta\in\mathbb{R}\), on note \(R_\theta\) et \(S_\theta\) les matrices : \[R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\qquad S_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}\] On pourra utiliser sans démonstration les relations suivantes, valables pour tout \((\theta,\varphi)\in\mathbb{R}^2\) : \[R_\theta R_\varphi=R_{\theta+\varphi}\qquad R_\theta S_\varphi=S_{\theta+\varphi}\qquad S_\varphi R_\theta=S_{\varphi-\theta}\qquad S_\theta S_\varphi=R_{\theta-\varphi}\]
Soit \(A\in\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\). Montrer qu’il existe un unique réel \(\theta\in\left[0,2\pi\right[\) tel que \(A=R_\theta\).
Soit \(\theta\in\mathbb{R}\). Dans cette question, \(G=\langle R_\theta\rangle\).
Vérifier que \(G=\{R_{k\theta}\ ;\ k\in\mathbb{Z}\}\).
Dans le cas où \(\theta=\frac{2\pi}{m}\) avec \(m\in\mathbb{N}^\ast\), déterminer \(|G|\).
Montrer que \(G\) est fini si et seulement si \(\frac{\theta}{\pi}\in\mathbb{Q}\).
Montrer que si \(G\) est d’exposant fini, alors \(G\) est fini.
Montrer que si \(\operatorname{tr}G\) est fini, alors \(G\) est fini.
Soient \(\theta\) et \(\theta'\) deux réels. Dans cette question \(G=\langle R_\theta,R_{\theta'}\rangle\).
Montrer que \(|G|=\left|\left(\theta\mathbb{Z}+\theta'\mathbb{Z}\right)\cap\left[0,2\pi\right[\right|\).
En déduire, pour \(p\) et \(q\) deux entiers non nuls premiers entre eux, que \(\left|\langle R_{\frac{\pi}{p}},R_{\frac{\pi}{q}}\rangle\right|=2pq\).
Déterminer \(\left|\langle R_{\frac{\pi}{p}},R_{\frac{\pi}{q}}\rangle\right|\) dans le cas général (où \(p\) et \(q\) ne sont pas forcément premiers entre eux).
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\). Montrer que \(G\) est monogène.
Pour \(m\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(\mathcal{D}_m\) le sous-groupe de \(\mathrm{O}_2(\mathbb{R})\) engendré par \(R_{\frac{2\pi}{m}}\) et \(S_{\frac{\pi}{2}}\).
Déterminer le cardinal de \(\mathcal{D}_m\).
On pourra montrer que \(\mathcal{D}_m\cap\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})=\langle R_{\frac{2\pi}{m}}\rangle\), puis chercher une bijection entre \(\mathcal{D}_m\cap\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{D}_m\backslash\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\).
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathrm{O}_2(\mathbb{R})\) qui n’est pas inclus dans \(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\). Montrer qu’il existe \(m\in\mathbb{N}^\ast\) tel que \(G\) soit isomorphe à \(\mathcal{D}_m\).
Dans cette partie, \(G\) est un sous-groupe de \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\). On désire montrer que : \[G\text{ fini }\iff G\text{ d'exposant fini }\iff\operatorname{tr}G\text{ fini}\]
Rappeler le théorème de réduction des matrices orthogonales.
On suppose dans cette question que \(G\) est d’exposant fini. Montrer, en utilisant le théorème de réduction précédent, que \(\operatorname{tr}G\) est fini.
Jusqu’à la fin de cette partie, on suppose maintenant que \(\operatorname{tr}G\) est fini. On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de son produit scalaire usuel : \[(A|B)=\operatorname{tr}A^\top B\] On note \(\mathcal{F}\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) engendré par \(G\) et \(d=\dim\mathcal{F}\).
Montrer qu’il existe une famille \(\mathcal{B}=(A_i)_{i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,d} \right]\kern-0.15em\right]}\) de matrices de \(G\) qui forme une base de \(\mathcal{F}\).
Soit \(B=\left((A_i|A_j)\right)_{(i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,d} \right]\kern-0.15em\right]^2}\). On considère la matrice \(C\) des coordonnées des matrices \(A_i\) dans la base canonique de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Quelle est la taille de la matrice \(C\) ?
Montrer que \(B=C^\top C\).
Montrer que \(B\) et \(C\) sont de même rang. En déduire que \(B\) est inversible.
Soit \(M\in G\). On peut décomposer \(M\) dans la base \(\mathcal{B}\) : \[M=\sum_{j=1}^dx_jA_j\] On note alors \(X_M=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_d\end{pmatrix}\) et \(Y_M=\begin{pmatrix}(A_1|M)\\ \vdots\\ (A_d|M)\end{pmatrix}\). Montrer que \(X_M=B^{-1}Y_M\).
Montrer que \(\{Y_M\mid M\in G\}\) est un ensemble fini. En déduire que \(G\) est fini.
On note \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) l’espace vectoriel des matrices colonnes de taille \(n\times1\) à coefficients dans \(\mathbb{R}\).
Dans cette partie, on se place dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), muni de son produit scalaire canonique noté \((.|.)\) et de sa norme associée \(\|.\|\). Pour \(r\geqslant0\), on note \(\mathcal{B}(0,r)\) la boule fermée de centre 0 et de rayon \(r\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) pour cette norme, et \(\mathcal{B}=\mathcal{B}(0,1)\) la boule unité fermée.
Soient \(A\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) et \(B\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\).
On pose, pour \(X\) et \(Y\) dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) : \[\langle X,Y\rangle_A=(AX|Y)\] Montrer que \(\langle.,.\rangle_A\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).
On note alors \(\|.\|_A\) la norme associée à ce produit scalaire et \(\mathcal{B}_A\) la boule unité fermée pour cette norme. Existe-t-il une matrice \(A\) telle que \(\mathcal{B}(0,r)=\mathcal{B}_A\) ?
Vérifier que \(X\mapsto A^{-1}BX\) est autoadjoint pour le produit scalaire \(\langle.,.\rangle_A\). Que peut-on en déduire pour la matrice \(A^{-1}B\) ?
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\). On note \(B\preccurlyeq A\) si et seulement si pour tout \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), \((BX|X)\leqslant(AX|X)\).
Montrer que \(B\preccurlyeq A\) si et seulement si \(A-B\in\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\).
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\). Montrer que \(B\preccurlyeq A\) si et seulement si le spectre de \(A^{-1}B\) est inclus dans \(\left]0,1\right]\).
Pour la réciproque, on pourra utiliser une base orthonormée pour le produit scalaire \(\langle.,.\rangle_A\) bien choisie.
On suppose toujours que \(A\) et \(B\) sont deux matrices de \(\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\), et que \(B\preccurlyeq A\). Montrer que \(\det B\leqslant\det A\), avec égalité si et seulement si \(A=B\).
Montrer que \(B\preccurlyeq A\) si et seulement si \(\mathcal{B}_A\subset\mathcal{B}_B\).
Soit \(\mathcal{K}\) une partie de \(\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\). Montrer que \(\mathcal{K}\) est une partie bornée de \(\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\) si et seulement s’il existe \(\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\) telle que pour tout \(A\in\mathcal{K}\), \(A\preccurlyeq\alpha I_n\).
Soit \(\mathcal{C}\) une partie convexe de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(\varphi:\mathcal{C}\to\mathbb{R}\) une fonction. On dit que \(\varphi\) est strictement concave si et seulement si : \[\forall(A,B)\in\mathcal{C}^2\quad\forall t\in[0,1]\qquad\varphi\big(tA+(1-t)B\big)\geqslant t\varphi(A)+(1-t)\varphi(B)\] avec égalité si et seulement si \(A=B\) ou \(t=0\) ou \(t=1\).
Montrer que \(\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) est une partie convexe de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\varphi : A\mapsto\ln(\det A)\) est une fonction strictement concave sur \(\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\).
On pourra utiliser le résultat de la question Q16.
À toute matrice \(A\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) on associe son groupe orthogonal : \[\mathrm{O}(A)=\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\ ;\ M^\top AM=A\}\]
Montrer que \(\mathrm{O}(A)\) est un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), isomorphe à \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\).
On pourra montrer qu’il existe une matrice \(B\) telle que \(A=B^\top B\), et chercher un isomorphisme sous la forme \(M\mapsto B^{-1}MB\).
Montrer que \(\mathrm{O}(A)\) est une partie compacte de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Dans cette partie, \(G\) désigne un sous-groupe compact de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\). On désire montrer que \(G\) est alors isomorphe à un sous-groupe de \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\).
Montrer que pour tout \(M\in G\), \(|\det M|=1\).
On pose : \[\mathcal{C}=\{MX\ ;\ (M,X)\in G\times\mathcal{B}\}\] Montrer que \(\mathcal{C}\) est compact, et que 0 est un point intérieur à \(\mathcal{C}\).
Montrer qu’il existe une unique matrice \(A\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) telle que \(\mathcal{C}\subset\mathcal{B}_A\) et qui soit de déterminant maximal.
On pourra commencer par montrer que \(\mathcal{E}=\{A\in\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\ ;\ \mathcal{C}\subset\mathcal{B}_A\}\) est non vide, compact et convexe, puis utiliser la question Q23 pour démontrer l’unicité.
Montrer que \(G\) est un sous-groupe de \(\mathrm{O}(A)\).
Soit \(G\) un groupe de neutre \(e\), engendré par une partie finie \(\mathcal{S}=\{s_i\}_{i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]}\). À tout élément \(g\in G-\{e\}\) on associe sa longueur relativement à \(\mathcal{S}\) par : \[\ell_{\mathcal{S}}(g)=\min\left\{\sum_{i=1}^k|a_i|\ \middle|\ g=s_1^{a_1}\dots s_k^{a_k}\ ;\ s_i\in\mathcal{S}\ ,\ a_i\in\mathbb{Z}\right\}\] \(\ell_{\mathcal{S}}(g)\) est le nombre minimal d’éléments de \(\mathcal{S}\) permettant d’obtenir \(g\). Par convention, on pose \(\ell_{\mathcal{S}}(e)=0\). On note alors, pour \(p\in\mathbb{N}\) : \[\mathcal{V}_{\mathcal{S}}(p)=\{g\in G\ ;\ \ell_{\mathcal{S}}(g)\leqslant p\}\] \(\mathcal{V}_{\mathcal{S}}(p)\) est l’ensemble des éléments de \(G\) s’obtenant à partir d’au maximum \(p\) éléments de \(\mathcal{S}\).
Nous dirons que \(G\) est un groupe à croissance polynomiale de degré \(d\in\mathbb{N}\) si et seulement si il existe deux réels strictement positifs \(\alpha\) et \(\beta\) tels que, pour tout \(p\geqslant1\) : \[\alpha p^d\leqslant|\mathcal{V}_{\mathcal{S}}(p)|\leqslant\beta p^d\]
Montrer que pour tous \(g\) et \(h\) dans \(G\), \(\ell_{\mathcal{S}}(g^{-1})=\ell_{\mathcal{S}}(g)\) et \(\ell_{\mathcal{S}}(gh)\leqslant\ell_{\mathcal{S}}(g)+\ell_{\mathcal{S}}(h)\).
Soit \(\Sigma\) une autre partie finie génératrice de \(G\). Montrer qu’il existe deux constantes \(C\) et \(C'\) strictement positives telle que, pour tout \(g\in G\) : \[C\ell_{\mathcal{S}}(g)\leqslant\ell_\Sigma(g)\leqslant C'\ell_{\mathcal{S}}(g)\] En déduire que le fait que \(G\) soit un groupe à croissance polynomiale de degré \(d\) ne dépend pas du système \(\mathcal{S}\) de générateurs choisis.
Soit \(p\in\mathbb{N}\). Dénombrer le nombre de triplets \((x,y,z)\in\mathbb{N}^3\) tels que \(x+y+z\leqslant p\). En déduire que \((\mathbb{Z}^3,+)\) est un groupe à croissance polynomiale et déterminer son degré.
Dans cette partie, \(n=3\). On considère les trois matrices suivantes : \[S=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\qquad T=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\qquad U=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\] On note \(\mathcal{A}=\{S,T,U\}\). \(\mathbb{H}\) désigne alors le sous-groupe de \(\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) engendré par \(\mathcal{A}\).
Pour tout \((i,j,k)\in\mathbb{Z}^3\), calculer \(S^iT^jU^k\).
Pour \((i,j,k,i',j',k')\in\mathbb{Z}^6\), déterminer un triplet \((i'',j'',k'')\in\mathbb{Z}^3\) tel que : \[S^iT^jU^kS^{i'}T^{j'}U^{k'}=S^{i''}T^{j''}U^{k''}\]
Vérifier que \(U\) commute avec tous les éléments de \(\mathbb{H}\), et que pour tout \((i,j)\in\mathbb{Z}^2\) : \[S^iT^jU^{ij}=T^jS^i\]
Le groupe \(\mathbb{H}\) est-il commutatif ? Quel est le groupe engendré par \((S,T)\) ?
Montrer que l’application \(f\) définie par : \begin{align*}f\ :\ \mathbb{Z}^3&\to\mathbb{H}\\(i,j,k)&\mapsto S^iT^jU^k\end{align*} est bien définie et bijective. Est-ce un isomorphisme de groupe (en munissant \(\mathbb{Z}^3\) de sa structure usuelle) ? Peut-on munir \(\mathbb{Z}^3\) d’une structure de groupe telle que \(f\) soit un isomorphisme ?
Soit \(M\in\mathbb{H}\) et \(p\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer que si \(\ell_{\mathcal{A}}(M)\leqslant p\), alors il existe \((i,j,k,z)\in\mathbb{Z}^4\) tels que \(M=S^iT^jU^{k+z}\) avec \(|i|+|j|+|k|\leqslant p\) et \(|z|\leqslant|ij|\). En déduire que \(|\mathcal{V}_{\mathcal{A}}(p)|=O(p^4)\) quand \(p\) tend vers \(+\infty\).
On pourra utiliser les résultats de la question Q35.
Montrer que, pour tout \((i,j,k)\in\mathbb{Z}^3\), si \(|i|+|j|\leqslant p\) et \(|k|\leqslant|ij|\), alors \(\ell_{\mathcal{A}}(S^iT^jU^k)\leqslant p\).
Montrer que : \[\operatorname{card}\{(i,j,k)\in\mathbb{N}^3\ ,\ i+j\leqslant p\text{ et }k\leqslant ij\}\geqslant\frac{p^3}{2}\sum_{i=0}^p\frac{i}{p}\left(1-\frac{i}{p}\right)^2\] et déterminer un équivalent de cette dernière quantité quand \(p\) tend vers \(+\infty\).
En déduire que \(\mathbb{H}\) est un groupe à croissance polynomiale de degré 4.
\(\diamond\)Fin\(\diamond\)
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un beau sujet de théorie des groupes matriciels : sous-groupes finis de O₂(ℝ) (cycliques et diédraux) et de Oₙ(ℝ), sous-groupes compacts de GLₙ(ℝ), qui laissent invariant un produit scalaire grâce à la stricte log-concavité du déterminant, puis croissance polynomiale de degré 4 du groupe de Heisenberg discret.
Il demande du recul sur les groupes et une bonne pratique du théorème spectral.