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Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2025.
Notations
Si \(a\) et \(b\) sont deux entiers tels que \(a\leqslant b\), on note \(\left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right]\) l’ensemble des entiers \(k\) tels que \(a\leqslant k\leqslant b\).
Pour \(n\in\mathbb{N}\), on appelle polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à \(n\) toute fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) de la forme \[x\mapsto\sum_{k=-n}^{n}c_k\mathrm{e}^{ikx}\] où, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {-n,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(c_k\in\mathbb{C}\). On note \(\mathcal{T}_n\) l’ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à \(n\). C’est un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel, ce qu’on ne demande pas de vérifier.
On note \(\mathcal{C}^0_{2\pi}\) le \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel des fonctions continues \(2\pi\)-périodiques de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) et \(\mathcal{C}^1_{2\pi}\) le sous-espace vectoriel des fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) \(2\pi\)-périodiques. Pour \(g\in\mathcal{C}^0_{2\pi}\) et \(h>0\), on pose : \[\omega_g(h)=\sup_{|t-s|\leqslant h}\left| g(s)-g(t) \right|\]
Pour toute fonction bornée \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\), on pose : \[\left\| f \right\|_\infty=\sup_{t\in\mathbb{R}}\left| f(t) \right|\]
Montrer que si \(g\) est la fonction sinus, alors, pour tout \(h>0\), \(\omega_g(h)\leqslant h\).
Montrer que, pour tous \(g\in\mathcal{C}^0_{2\pi}\) et \(h>0\), \(\omega_g(h)\) est un réel bien défini.
On suppose que \(g\in\mathcal{C}^1_{2\pi}\). Montrer que, pour tout \(h>0\), \(\omega_g(h)\leqslant h\left\| g' \right\|_\infty\). En déduire que \(\displaystyle\lim_{h\to0}\omega_g(h)=0\).
On admet que \(\displaystyle\lim_{h\to0}\omega_g(h)=0\) est vrai pour tout \(g\in\mathcal{C}^0_{2\pi}\).
Soit \(h\) et \(h'\) deux réels strictement positifs et soit \(g\in\mathcal{C}^1_{2\pi}\).
Montrer que, si \(h\leqslant h'\), alors \(\omega_g(h)\leqslant\omega_g(h')\).
Montrer que \(\omega_g(h+h')\leqslant\omega_g(h)+\omega_g(h')\).
En déduire que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\) et pour tout réel \(\lambda\) strictement positif : \[\omega_g(nh)\leqslant n\omega_g(h)\quad\text{et}\quad\omega_g(\lambda h)\leqslant(1+\lambda)\omega_g(h)\]
Soit \(g\in\mathcal{C}^0_{2\pi}\). Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[\int_{-\pi+x}^{\pi+x}g(t)\,\mathrm{d}t=\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\,\mathrm{d}t\]
Soit \(g\in\mathcal{C}^0_{2\pi}\) et \(n\in\mathbb{N}\). Pour tout \(p\in\mathcal{T}_n\), on note \(\Delta(p)\) la fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) définie par \[\forall x\in\mathbb{R},\quad\Delta(p)(x)=\int_{-\pi}^{\pi}p(x-t)g(t)\,\mathrm{d}t\] Montrer que \(\Delta\) définit un endomorphisme de \(\mathcal{T}_n\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit la fonctions \(\varphi_n\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) en posant, pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \[\varphi_n(t)=\mathrm{e}^{-ni\frac{t}{2}}\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{ikt}\quad\text{et}\quad f_n(t)=\varphi_n(t)^4\]
Dans cette sous-partie, on fixe un entier \(n\in\mathbb{N}\).
Montrer que, pour tout réel \(t\) n’appartenant pas à \(2\pi\mathbb{Z}\), \[\varphi_n(t)=\frac{\sin(n+1)\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\quad\text{et}\quad f_n(t)=\left(\frac{\sin(n+1)\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^4\]
Montrer que \(\varphi_n\) et \(\varphi_n^2\) appartiennent à \(\mathcal{T}_n\), puis que \(f_n\) appartient à \(\mathcal{T}_{2n}\).
Montrer qu’il existe un réel strictement positif \(c_n\) tel que \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}c_nf_n(t)\,\mathrm{d}t=1\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose désormais \(J_n=c_nf_n\), de sorte que \(J_n\) est une fonction réelle positive vérifiant \[J_n\in\mathcal{T}_{2n}\quad\text{et}\quad\int_{-\pi}^{\pi}J_n(t)\,\mathrm{d}t=1\]
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
Montrer que \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left| t \right|J_n(t)\,\mathrm{d}t=\frac{\displaystyle\int_0^{\pi}tf_n(t)\,\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_0^{\pi}f_n(t)\,\mathrm{d}t}\).
Montrer que pour \(t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), \(\frac{2}{\pi}t\leqslant\sin t\leqslant t\).
En déduire que \(\displaystyle\int_0^{\pi}tf_n(t)\,\mathrm{d}t\leqslant\pi^4\left(\frac{n+1}{2}\right)^2\int_0^{(n+1)\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4u}{u^3}\,\mathrm{d}u\).
En déduire également que \(\displaystyle\int_0^{\pi}f_n(t)\,\mathrm{d}t\geqslant2(n+1)^3\int_0^{(n+1)\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4u}{u^4}\,\mathrm{d}u\).
Montrer qu’il existe \(a>0\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left| t \right|J_n(t)\,\mathrm{d}t\leqslant\frac{a}{n+1}\).
Dans cette sous-partie, on fixe \(g\in\mathcal{C}^0_{2\pi}\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit la fonction \(T_ng\) en posant, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[T_ng(x)=\int_{-\pi}^{\pi}J_n(x-t)g(t)\,\mathrm{d}t\]
L’objectif de cette sous-partie est de montrer que \((T_ng)\) est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Pour tous \(n\in\mathbb{N}\) et \(x\in\mathbb{R}\), montrer que \[T_ng(x)=\int_{-\pi}^{\pi}J_n(t)g(x-t)\,\mathrm{d}t\quad\text{et}\quad g(x)=\int_{-\pi}^{\pi}J_n(t)g(x)\,\mathrm{d}t\] En déduire que \(\left| T_ng(x)-g(x) \right|\leqslant\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}J_n(t)\left| g(x-t)-g(x) \right|\,\mathrm{d}t\).
Le cas \(\mathcal{C}^1\). On suppose, seulement dans cette question, que \(g\) est \(\mathcal{C}^1\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[\left\| T_ng-g \right\|_\infty\leqslant\frac{a\left\| g' \right\|_\infty}{n+1}\] où le réel \(a\) a été défini à la question Q13.
Conclure que \((T_ng)\) est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Le cas \(\mathcal{C}^0\). Dans cette question, on ne suppose plus que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^1\).
On rappelle le résultat admis à la question Q2 : \(\displaystyle\lim_{h\to0}\omega_g(h)=0\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et tous réels \(t\) et \(x\), \[\left| g(x-t)-g(x) \right|\leqslant\big(1+n\left| t \right|\big)\omega_g(1/n)\]
En déduire qu’il existe \(b>0\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \[\left\| T_ng-g \right\|_\infty\leqslant b\,\omega_g(1/n)\]
Conclure que la suite \((T_ng)\) converge uniformément vers \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Dans cette partie, on considère l’espace vectoriel \(\mathbb{C}[X]\) des polynômes à coefficients complexes. Pour \(n\in\mathbb{N}\), on note \(\mathbb{C}_n[X]\) le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\).
Dans cette sous-partie on fixe un entier \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et on note \(T\) le polynôme \(X^n+1\).
Montrer que \(T\) admet \(n\) racines simples dans \(\mathbb{C}\).
On note \(z_1,\dots,z_n\) les racines de \(T\).
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Montrer que \(\displaystyle\prod_{j\neq k}(z_k-z_j)=T'(z_k)\).
Soit \(\ell\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On considère la fonction rationnelle \(F\) donnée par \(F=\dfrac{X^\ell}{X^n+1}\).
On rappelle que, par décomposition en éléments simples de \(F\), il y a existence et unicité de \(\mu_1,\dots,\mu_n\) dans \(\mathbb{C}\) et de \(E\) dans \(\mathbb{C}[X]\) tels que \[F=\sum_{k=1}^{n}\frac{\mu_k}{X-z_k}+E\]
Montrer que, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\mu_k=-\dfrac{z_k^{\ell+1}}{n}\) et que \(E\) est soit le polynôme nul, soit le polynôme constant égal à \(1\).
Calculer \(F'(1)\) et en déduire que \(\ell=\dfrac{n}{2}+\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{z_k^{\ell+1}}{(z_k-1)^2}\).
En déduire que :
pour tout polynôme \(P\in\mathbb{C}_n[X]\), \(\quad XP'(X)=\dfrac{n}{2}P(X)+\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{z_kP(z_kX)}{(z_k-1)^2}\) ;
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{z_k}{(z_k-1)^2}=-\frac{n^2}{4}\).
Pour tout \(P\in\mathbb{C}[X]\), on pose \(\left\| P \right\|=\displaystyle\sup_{|z|=1}\left| P(z) \right|\).
Montrer que \(\left\| . \right\|\) est une norme sur \(\mathbb{C}[X]\).
Montrer que, si \(z\) est un nombre complexe de module \(1\) et si \(z\neq1\), alors \(\dfrac{z}{(z-1)^2}\) est un réel négatif.
À l’aide de Q21, en déduire que pour tout \(P\in\mathbb{C}_n[X]\), \(\left\| P' \right\|\leqslant n\left\| P \right\|\).
En déduire que pour tout \(q\in\mathcal{T}_n\), \(\left\| q' \right\|_\infty\leqslant3n\left\| q \right\|_\infty\).
Soit \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(I\subset\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{C}\) et soit \(\alpha\in\left]0,1\right]\).
On dit que \(g\) est \(\alpha\)-höldérienne s’il existe \(K>0\) tel que, pour tous réels \(x\) et \(y\) de l’intervalle \(I\), \(\left| g(x)-g(y) \right|\leqslant K\left| x-y \right|^\alpha\).
Soit \(\alpha\in\left]0,1\right[\) et soit \(h_\alpha\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+\) par \(h_\alpha:x\mapsto x^\alpha\).
Soit \(y\) un réel positif, montrer que pour tout \(x\geqslant y\) on a : \(0\leqslant x^\alpha-y^\alpha\leqslant(x-y)^\alpha\).
En déduire que \(h_\alpha\) est \(\alpha\)-höldérienne sur \(\mathbb{R}_+\).
Soit \(\beta\in\left]0,1\right]\) tel que \(\beta\neq\alpha\). Montrer que \(h_\alpha\) n’est pas \(\beta\)-höldérienne.
Soit \(k\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+\) par \[k:x\mapsto\begin{cases}x\ln x & \text{si } x>0\\ 0 & \text{si } x=0\end{cases}\]
Soit \(y\in\left]0,1\right]\). Montrer que pour tout \(x\in[0,1-y]\), \((x+y)\ln(x+y)-x\ln x\leqslant(y-1)\ln(1-y)\).
En déduire que \(k\) est \(\alpha\)-höldérienne sur \([0,1]\) pour tout \(\alpha\in\left]0,1\right[\).
Dans la suite du problème, pour \(\alpha\in\left]0,1\right[\), on note \(\mathcal{H}^\alpha_{2\pi}\) l’ensemble des fonctions \(\alpha\)-höldériennes \(2\pi\)-périodiques de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\).
Pour tout \(f\in\mathcal{C}^0_{2\pi}\), on pose \(\delta_n(f)=\displaystyle\inf_{p\in\mathcal{T}_n}\left\| f-p \right\|_\infty\).
Montrer que \(\mathcal{H}^\alpha_{2\pi}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{C}^0_{2\pi}\).
Montrer que si \(g\in\mathcal{H}^\alpha_{2\pi}\), alors \(\delta_n(g)\underset{n\to+\infty}{=}O\!\left(\dfrac{1}{n^\alpha}\right)\).
L’objectif de cette sous-partie est d’établir une réciproque à la question Q32.
On fixe un réel \(\alpha\in\left]0,1\right[\) et une fonction \(f\in\mathcal{C}^0_{2\pi}\) telle que \(\delta_n(f)\underset{n\to+\infty}{=}O\!\left(\dfrac{1}{n^\alpha}\right)\). Il existe ainsi un réel \(C>0\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(\delta_n(f)\leqslant\dfrac{C}{n^\alpha}\).
Pour \(n\in\mathbb{N}\), montrer qu’il existe \(q_n\in\mathcal{T}_n\) tel que \(\delta_n(f)=\left\| f-q_n \right\|_\infty\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on considère un polynôme \(p_n\in\mathcal{T}_{2^n}\) tel que \(\left\| f-p_n \right\|_\infty=\delta_{2^n}(f)\).
Montrer, en appliquant l’inégalité établie à la question Q25, qu’il existe un réel \(C'>0\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[\left\| p_{n+1}'-p_n' \right\|_\infty\leqslant C'2^{n(1-\alpha)}\]
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[\left\| p_n' \right\|_\infty\leqslant\left\| p_0' \right\|_\infty+\frac{C'}{2^{1-\alpha}-1}2^{n(1-\alpha)}\]
En déduire l’existence d’un réel \(A>0\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[\left\| p_n' \right\|_\infty\leqslant A2^{(1-\alpha)n}\]
Montrer que, pour tout \((x,y)\in\mathbb{R}^2\), \(\left| f(x)-f(y) \right|\leqslant C2^{1-n\alpha}+A2^{(1-\alpha)n}\left| x-y \right|\).
En déduire que \(f\) est \(\alpha\)-höldérienne.
Indication : lorsque \(0<\left| x-y \right|\leqslant1\), on pourra choisir \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(\dfrac{1}{2^{n+1}}\leqslant\left| x-y \right|\leqslant\dfrac{1}{2^n}\) et majorer \(\left| f(x)-f(y) \right|\) à l’aide de la question précédente.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet d'analyse fine : module de continuité, noyau de Jackson et approximation uniforme d'une fonction continue périodique par des polynômes trigonométriques, inégalité de Bernstein obtenue par une décomposition en éléments simples, puis caractérisation des fonctions höldériennes par la vitesse d'approximation.
Les majorations sont longues et demandent de l'aisance.