Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Un principe d’incertitude matriciel
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2025.
Notations
Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel. On note \(\operatorname{Id}\) l’application identité de \(E\). Un nombre complexe \(\lambda\) est valeur propre d’un endomorphisme \(\phi\) de \(E\) si \(\mathrm{Ker}(\phi-\lambda\operatorname{Id})\neq\{0\}\). On note \(\mathrm{VP}(\phi)\) l’ensemble des valeurs propres de \(\phi\). Pour tout \(\lambda\in\mathrm{VP}(\phi)\), \(\mathrm{Ker}(\phi-\lambda\operatorname{Id})\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), que l’on note \(E_\lambda(\phi)\).
Si \(x=(x_1,x_2,\dots,x_N)\) est un élément de \(\mathbb{R}^N\), on note \(\left\| x \right\|\) sa norme euclidienne canonique : \(\left\| x \right\|=\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}\).
On note \(\mathcal{M}_N(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées de taille \(N\) à coefficients réels.
On note \(I_N\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_N(\mathbb{R})\) et, si \((\alpha_1,\dots,\alpha_N)\in\mathbb{R}^N\), on note \(\mathrm{diag}(\alpha_1,\dots,\alpha_N)\) la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont \(\alpha_1,\dots,\alpha_N\).
L’ensemble des valeurs propres d’un élément \(A\) de \(\mathcal{M}_N(\mathbb{R})\) est noté \(\mathrm{Sp}(A)\).
On note \(\mathcal{S}_N(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices symétriques réelles de taille \(N\). On note \(\mathcal{S}_N^+(\mathbb{R})\) (resp. \(\mathcal{S}_N^{++}(\mathbb{R})\)) l’ensemble des matrices symétriques réelles positives (resp. définies positives) de taille \(N\).
Dans cette partie, \(E\) désigne le \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C})\) des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) indéfiniment dérivables.
Pour tout \(f\in E\), on pose \(\ell(f)=-f''\). Montrer que l’on définit ainsi un endomorphisme \(\ell\) de \(E\).
Montrer que \(\mathbb{R}_+\subset\mathrm{VP}(\ell)\). Pour tout réel \(\lambda\in\mathbb{R}_+\), déterminer une base de \(E_\lambda(\ell)\).
Pour tout \(a\in\mathbb{R}_+^\ast\), on définit \(G_a:\begin{cases}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\\ t\longmapsto\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}at^2}\end{cases}\) (gaussienne de paramètre \(a\)). On admet la convergence et la valeur de l’intégrale suivante : \[\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)\,\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\]
On fixe un réel \(a\) strictement positif.
Montrer pour tout réel \(\xi\) la convergence de l’intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)\mathrm{e}^{-i\xi t}\,\mathrm{d}t\).
On notera dans la suite \(\widehat{G_a}:\begin{cases}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\\ \xi\longmapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)\mathrm{e}^{-i\xi t}\,\mathrm{d}t\end{cases}\)
Démontrer que l’application \(\widehat{G_a}\) est de classe \(\mathcal{C}^1\).
Démontrer que \(\widehat{G_a}\) est solution sur \(\mathbb{R}\) d’une équation différentielle du premier ordre que l’on explicitera.
En déduire que \(\widehat{G_a}=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\,G_{1/a}\).
Démontrer que les intégrales \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}G_a^2(u)\,\mathrm{d}u\) et \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}u^2G_a^2(u)\,\mathrm{d}u\) sont convergentes et déterminer leurs valeurs.
On définit le réel positif \(\sigma_{\mathrm{F}}(G_a)\) (resp. \(\sigma_{\mathrm{T}}(G_a)\)) par la relation \[\sigma_{\mathrm{F}}^2(G_a)=\frac{1}{2\pi\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(u)^2\,\mathrm{d}u}\int_{-\infty}^{+\infty}u^2\,\widehat{G_a}(u)^2\,\mathrm{d}u\] \[\left(\text{resp. }\sigma_{\mathrm{T}}^2(G_a)=\frac{1}{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(u)^2\,\mathrm{d}u}\int_{-\infty}^{+\infty}u^2G_a(u)^2\,\mathrm{d}u\right)\]
Démontrer l’égalité \(\sigma_{\mathrm{T}}^2(G_a)=\gamma\!\left(\sigma_{\mathrm{F}}^2(G_a)\right)\), où \(\gamma:x\mapsto\frac{1}{4x}\).
Pour \(f\) un élément non nul d’une certaine classe de fonctions \(\mathcal{S}\), on a \(\sigma_{\mathrm{T}}^2(f)\sigma_{\mathrm{F}}^2(f)\geqslant\frac{1}{4}\) (inégalité d’Heisenberg). Si \(f\) représente un signal réel, \(\sigma_{\mathrm{T}}^2(f)\) représente son étalement dans le domaine temporel et \(\sigma_{\mathrm{F}}^2(f)\) son étalement dans le domaine fréquentiel. Le principe d’incertitude d’Heisenberg dit alors qu’on ne peut pas localiser précisément et simultanément un signal dans les deux domaines.
Les multiples des gaussiennes sont les seuls éléments de \(\mathcal{S}\) qui réalisent l’égalité dans l’inégalité d’Heisenberg.
L’application \(\gamma:x\mapsto\frac{1}{4x}\) vérifie donc \(\gamma(x)=\displaystyle\min_{\substack{f\in\mathcal{S}\setminus\{0\}\\ \sigma_{\mathrm{F}}^2(f)=x}}\sigma_{\mathrm{T}}^2(f)\), pour tout réel \(x\) strictement positif.
Le but du sujet dans la suite est d’établir pour des signaux discrets (éléments de \(\mathbb{R}^N\)), un résultat semblable, relativement à une matrice \(A\) donnée (principe d’incertitude matriciel). Il s’agira en particulier de définir dans ce contexte les analogues de \(\sigma_{\mathrm{T}}^2\), \(\sigma_{\mathrm{F}}^2\) et \(\gamma\) et d’en étudier certaines propriétés.
Dans cette partie B, \(N\) désigne un entier supérieur ou égal à \(2\).
On note \(\mathcal{G}\) l’ensemble des matrices symétriques réelles de taille \(N\), à coefficients dans \(\{0,1\}\), de diagonale nulle. Si \(A=(a_{i,j})_{(i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2}\) est un élément de \(\mathcal{G}\) on définit \[\delta(A)=\mathrm{diag}\!\left(\sum_{k=1}^Na_{1,k},\sum_{k=1}^Na_{2,k},\dots,\sum_{k=1}^Na_{N,k}\right)\quad\text{et}\quad L_A=\delta(A)-A\]
Soit \(B=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\).
Déterminer la matrice \(L_B\). Que vaut \(\mathrm{rg}(L_B)\) ?
Calculer \(L_B^2\). En déduire \(\mathrm{Sp}(L_B)\) et pour tout réel \(\lambda\in\mathrm{Sp}(L_B)\), déterminer \(\dim\!\left(E_\lambda(L_B)\right)\).
La matrice \(L_B\) est-elle élément de \(\mathcal{S}_N^+(\mathbb{R})\) ? de \(\mathcal{S}_N^{++}(\mathbb{R})\) ?
Soit \(A\) un élément de \(\mathcal{G}\). On note \(1\kern-0.35em1_N\) le vecteur colonne de taille \(N\) ne contenant que des \(1\).
Montrer que \(\mathrm{Vect}(1\kern-0.35em1_N)\subset\mathrm{Ker}(L_A)\). A-t-on l’égalité ?
Soit \(x=(x_1,x_2,\dots,x_N)\in\mathbb{R}^N\).
On rappelle qu’on peut identifier les éléments de \(\mathbb{R}^N\) et les matrices colonnes de taille \(N\). Ainsi, dans les questions suivantes, \(x\) est identifié à la matrice colonne de taille \(N\) dont les coefficients sont \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_N\), et sa transposée \(x^T\) est identifiée à la matrice ligne \(\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_N\end{pmatrix}\).
Démontrer que : \(\displaystyle\sum_{(i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2}a_{i,j}x_i^2=x^T\,\delta(A)\,x\).
En déduire : \[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant N}a_{i,j}(x_i-x_j)^2=\frac{1}{2}\sum_{(i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2}a_{i,j}(x_i-x_j)^2=x^TL_Ax\tag{$\star$}\]
En déduire que \(L_A\in\mathcal{S}_N^+(\mathbb{R})\).
On dit qu’un élément \(A=(a_{i,j})_{(i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2}\) de \(\mathcal{G}\) vérifie la propriété \((\Gamma)\) lorsque pour tout \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2\) tel que \(i\neq j\), il existe un entier \(n\geqslant2\) et des éléments deux à deux distincts \(i_1,i_2,\dots,i_n\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), vérifiant : \[i_1=i,\qquad\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ a_{i_k,i_{k+1}}=1\quad\text{et}\quad i_n=j\] Dans cette question, on suppose que \(A\) vérifie la propriété \((\Gamma)\). Montrer que \(\mathrm{Ker}(L_A)=\mathrm{Vect}(1\kern-0.35em1_N)\).
Dans la partie C et la partie D, on suppose que \(N\geqslant4\) et on considère l’élément de \(\mathcal{M}_N(\mathbb{R})\) : \[A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
Montrer que \(A\) est un élément de \(\mathcal{G}\) vérifiant la propriété \((\Gamma)\) définie dans la question Q15, sous-partie B.II.
En utilisant la partie précédente, montrer qu’il existe \((\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_N)\in(\mathbb{R}_+)^N\) tel que : \[\mathrm{Sp}(L_A)=\{\lambda_i,\ i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\}\quad\text{et}\quad0=\lambda_1<\lambda_2\leqslant\lambda_3\leqslant\dots\leqslant\lambda_N\]
Déterminer \(L_A\) et \(\mathrm{rg}(L_A-I_N)\). En déduire \(\mathrm{Sp}(L_A)\). On vérifiera que \(\dim\!\left(E_{\lambda_N}(L_A)\right)=1\).
On pose \(D=\mathrm{diag}(0,1,1,\dots,1)\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}^N\setminus\{0\}\), on définit : \[\sigma_{\mathrm{M}}^2(x)=\frac{1}{\left\| x \right\|^2}\,x^TDx\quad\text{et}\quad\sigma_{\mathrm{S}}^2(x)=\frac{1}{\left\| x \right\|^2}\,x^TL_Ax\]
Soit \(x\in\mathbb{R}^N\setminus\{0\}\). Démontrer que \(\lambda_1\leqslant\sigma_{\mathrm{S}}^2(x)\leqslant\lambda_N\).
Montrer que :
pour tout \(\mu\in\mathbb{R}^\ast\), \(\sigma_{\mathrm{S}}^2(\mu x)=\sigma_{\mathrm{S}}^2(x)\) ;
\(\sigma_{\mathrm{S}}^2(x)=\lambda_1\) si et seulement si \(x\in E_{\lambda_1}(L_A)\).
On admet dans la suite que \(\sigma_{\mathrm{S}}^2(x)=\lambda_N\) si et seulement si \(x\in E_{\lambda_N}(L_A)\).
On rappelle que la matrice \(A\) a été définie au début de la partie C.
On définit la région de faisabilité de \(A\) et on note \(\mathcal{R}\) l’ensemble \[\mathcal{R}=\left\{(s,m)\in(\mathbb{R}_+)^2\ |\ \exists x\in\mathbb{R}^N\setminus\{0\},\ \sigma_{\mathrm{S}}^2(x)=s,\ \sigma_{\mathrm{M}}^2(x)=m\right\}\]
À titre indicatif, la figure ci-après représente \(\mathcal{R}\) pour une certaine valeur de \(N\). Le but de cette partie est de démontrer certaines propriétés observables sur cette figure.
Montrer que \(\mathcal{R}\subset[0,\lambda_N]\times[0,1]\).
Soit \(x\in\mathbb{R}^N\setminus\{0\}\) tel que \(\sigma_{\mathrm{S}}^2(x)=0\). Montrer que \(\sigma_{\mathrm{M}}^2(x)=\frac{N-1}{N}\). En déduire que \(\mathcal{R}\) intersecte la droite d’équation \(s=0\) en un unique point dont on précisera les coordonnées.
Démontrer de même que \(\mathcal{R}\) intersecte en un unique point dont on déterminera les coordonnées chacune des deux droites suivantes : la droite d’équation \(s=\lambda_N\) et la droite d’équation \(m=0\).
Soient \(e_1\in E_{\lambda_1}(L_A)\) et \(e_N\in E_{\lambda_N}(L_A)\) tels que \(\left\| e_1 \right\|=1\) et \(\left\| e_N \right\|=1\). On considère \(x_t=(1-t)e_1+te_N\) où \(t\in[0,1]\).
Justifier que l’application \(\varphi:t\mapsto\sigma_{\mathrm{S}}^2(x_t)\) est définie sur \([0,1]\). Démontrer que, pour tout \(s\in[0,\lambda_N]\), il existe \(x\in\mathbb{R}^N\setminus\{0\}\) tel que \(\sigma_{\mathrm{S}}^2(x)=s\).
En déduire l’existence de la quantité \(\displaystyle\min_{\substack{\left\| x \right\|=1\\ \sigma_{\mathrm{S}}^2(x)=s}}\sigma_{\mathrm{M}}^2(x)\) pour tout \(s\in[0,\lambda_N]\).
La question Q24 permet de définir \(\gamma_-:\begin{cases}[0,\lambda_N]\longrightarrow\mathbb{R}_+\\ s\longmapsto\displaystyle\min_{\substack{\left\| x \right\|=1\\ \sigma_{\mathrm{S}}^2(x)=s}}\sigma_{\mathrm{M}}^2(x)\end{cases}\)
On admet que \(\mathcal{R}\) est un ensemble convexe. Démontrer que \(\gamma_-\) est une fonction convexe sur \([0,\lambda_N]\).
Pour tout \(\alpha\in\mathbb{R}\), on définit un élément \(M(\alpha)\) de \(\mathcal{S}_N(\mathbb{R})\) par la relation \(M(\alpha)=D-\alpha L_A\). On note \[\mu_\alpha^-=\min\{\mathrm{Sp}(M(\alpha))\}\quad\text{et}\quad\mu_\alpha^+=\max\{\mathrm{Sp}(M(\alpha))\}\]
Soient \(\alpha\in\mathbb{R}\) et \(y\in E_{\mu_\alpha^-}(M(\alpha))\) tel que \(\left\| y \right\|=1\). Démontrer que \(\sigma_{\mathrm{M}}^2(y)=\gamma_-\!\left(\sigma_{\mathrm{S}}^2(y)\right)\).
On fixe \(\alpha\neq0\).
Montrer que \(\mathrm{rg}\!\left(M(\alpha)-(1-\alpha)I_N\right)=2\). En déduire \(\mu_\alpha^-\leqslant1-\alpha\leqslant\mu_\alpha^+\).
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels vérifiant \(a\leqslant b\).
On suppose que pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\), les racines du trinôme du second degré \(x\mapsto(x-a)(x-b)+\lambda(x-c)\) sont réelles. Démontrer que \(a\leqslant c\leqslant b\).
On note \(E_{1,1}\) l’élément de \(\mathcal{M}_N(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients sont nuls excepté celui d’indice \((1,1)\) qui vaut \(1\). Pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\), on note \(N(\lambda)=M(\alpha)-\lambda E_{1,1}\). Donner une relation entre les polynômes caractéristiques de \(N(\lambda)\) et de \(M(\alpha)\). En déduire \(\mu_\alpha^-<1-\alpha<\mu_\alpha^+\).
Soit \(V=\left\{(v_1,\dots,v_N)\in\mathbb{R}^N,\ v_1=0\text{ et }\displaystyle\sum_{i=2}^Nv_i=0\right\}\).
Montrer que \(V\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^N\) dont on déterminera la dimension \(d\) et une base.
Montrer \(E_{\mu_\alpha^-}(M(\alpha))\oplus E_{\mu_\alpha^+}(M(\alpha))=\{(x_1,x_2,\dots,x_2)\in\mathbb{R}^N,\ x_1\in\mathbb{R},\ x_2\in\mathbb{R}\}\).
Soient \(\theta\in\mathbb{R}\) et \(x(\theta)=\left(\cos(\theta),\frac{1}{\sqrt{N-1}}\sin(\theta),\dots,\frac{1}{\sqrt{N-1}}\sin(\theta)\right)\) un vecteur unitaire de \(E_{\mu_\alpha^-}(M(\alpha))\oplus E_{\mu_\alpha^+}(M(\alpha))\).
À l’aide de la formule \((\star)\) établie à la question Q13 sous-partie B.II, démontrer l’égalité : \[\sigma_{\mathrm{S}}^2(x(\theta))=\frac{N}{2}+\frac{N-2}{2}\cos(2\theta)-\sqrt{N-1}\sin(2\theta)\]
En déduire : \(-\sin(2\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{N-1}}\left[\sigma_{\mathrm{S}}^2(x(\theta))+(N-2)\sigma_{\mathrm{M}}^2(x(\theta))-(N-1)\right]\).
Démontrer \[(N-1)\left(1-2\sigma_{\mathrm{M}}^2(x(\theta))\right)^2+\left(\sigma_{\mathrm{S}}^2(x(\theta))+(N-2)\sigma_{\mathrm{M}}^2(x(\theta))-(N-1)\right)^2=N-1\]
En déduire que : \[\forall s\in[0,\lambda_N],\ \gamma_-(s)=\frac{-s(N-2)-N(N-1)-2\sqrt{s(N-1)(N-s)}}{N^2}\]
\(\diamond\)Fin\(\diamond\)
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet original qui transpose le principe d'incertitude de Heisenberg aux matrices : valeurs propres de f ↦ −f″ et transformée de Fourier d'une gaussienne, matrice laplacienne d'un graphe (symétrique positive, noyau, spectre), puis région de faisabilité et courbe d'incertitude décrite par la plus petite valeur propre d'une famille de matrices symétriques.
La réduction des matrices symétriques réelles est au cœur de tout le problème.