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Irrationalité de \(\zeta(2)\)
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2025.
Notations
Si \(x\in\mathbb{R}\), on note \(\lfloor x\rfloor\) sa partie entière.
Si \(p\) est un nombre premier et si \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(v_p(n)\) la valuation \(p\)-adique de \(n\), c’est-à-dire le plus grand entier naturel \(k\) tel que \(p^k\) divise \(n\).
Si \(x\) est un réel supérieur ou égal à 1, on note \(\pi(x)\) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à \(x\). En d’autres termes, \[\pi(x)=\mathrm{card}\left(\{p\text{ premier},\ p\leqslant x\}\right)=\sum_{\substack{p\leqslant x\\ p\text{ premier}}}1\] où \(\mathrm{card}(A)\) désigne le cardinal de l’ensemble fini \(A\).
Le but de cette partie est d’établir l’encadrement suivant de la fonction \(\pi\) : \[\forall x\in\left[3,+\infty\right[\qquad \frac{\ln(2)}{6}\,\frac{x}{\ln(x)}\leqslant\pi(x)\leqslant4\,\frac{x}{\ln(x)}\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer que \[\prod_{\substack{n+2\leqslant p\leqslant2n+1\\ p\text{ premier}}}p\leqslant\binom{2n+1}{n}\leqslant4^n\]
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \[\prod_{\substack{p\leqslant n\\ p\text{ premier}}}p<4^n\]
On pourra procéder par récurrence et effectuer l’hérédité en discutant suivant la parité de \(n\).
En déduire que, pour tout réel \(x\geqslant1\), \[\prod_{\substack{p\leqslant x\\ p\text{ premier}}}p<4^x\]
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \[\frac{4^n}{2n}\leqslant\binom{2n}{n}<4^n\]
Soit \(p\) un nombre premier. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[v_p(n!)=\sum_{k=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor\]
En déduire que, pour tous \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(k\in\mathbb{N}\) et \(p\) nombre premier : si \(p^k\) divise \(\dbinom{2n}{n}\), alors \(p^k\leqslant2n\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Justifier que \[\prod_{\substack{p\leqslant n\\ p\text{ premier}}}p\geqslant\prod_{\substack{\sqrt{n}<p\leqslant n\\ p\text{ premier}}}p\]
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \[n^{\left(\pi(n)-\pi(\sqrt{n})\right)/2}<4^n\]
Soit \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geqslant2\). Justifier que \[\pi(\sqrt{n})\leqslant\sqrt{n}<\frac{n}{\ln(n)}\] puis en déduire que \[\pi(n)\leqslant4\,\frac{\ln(n)}{n}\]
On pourra remarquer que \(2>\ln(4)\).
Soit \(x\geqslant3\). En utilisant la croissance de la fonction \(t\mapsto\frac{t}{\ln(t)}\) sur l’intervalle \(\left[\mathrm{e},+\infty\right[\), montrer que \[\pi(x)\leqslant4\,\frac{x}{\ln(x)}\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer que \[\binom{2n}{n}\leqslant(2n)^{\pi(2n)}\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Vérifier que \[\frac{2n\ln(2)}{\ln(2n)}-1\geqslant\frac{n\ln(2)}{\ln(2n)}\] puis en déduire que \[\pi(2n)\geqslant n\,\frac{\ln(2)}{\ln(2n)}\]
Soit \(x\geqslant3\). Montrer que \[\pi(x)\geqslant\frac{\ln(2)}{6}\,\frac{x}{\ln(x)}\]
On pourra poser \(n=\lfloor x/2\rfloor\) et utiliser Q12.
L’inégalité précédente a été asymptotiquement améliorée en 1896, ainsi on admettra dans la suite du problème le (difficile) résultat suivant, appelé théorème des nombres premiers, \[\pi(x)\underset{x\to+\infty}{\sim}\frac{x}{\ln(x)}\]
Soit \(r\in\mathbb{N}^\ast\). Soient \(a_1,\dots,a_r\) des entiers naturels non nuls. Justifier qu’il existe un unique entier naturel \(d(a_1,\dots,a_r)\) tel que \[a_1\mathbb{Z}\cap a_2\mathbb{Z}\cap\cdots\cap a_r\mathbb{Z}=d(a_1,\dots,a_r)\mathbb{Z}\]
Soit \(r\in\mathbb{N}^\ast\). Soient \(a_1,\dots,a_r\) des entiers naturels non nuls. Montrer que \(d(a_1,\dots,a_r)\) est le plus petit entier naturel non nul qui est divisible par \(a_1,\dots,a_r\).
Soit \(r\in\mathbb{N}^\ast\). Si \(a_1,\dots,a_r\) sont des entiers naturels non nuls, \(d(a_1,\dots,a_r)\) s’appelle le plus petit commun multiple de \(a_1,\dots,a_r\) et on le notera dans la suite \(\mathrm{PPCM}(a_1,\dots,a_r)\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(d_n\) le PPCM des entiers naturels compris entre 1 et \(n\), autrement dit : \(d_n=\mathrm{PPCM}(1,2,\dots,n)\).
Calculer \(d_2\), \(d_3\) et \(d_4\), puis montrer que \(d_n\leqslant n!\) pour tout entier naturel \(n\in\mathbb{N}^\ast\).
Le but de cette sous-partie est d’améliorer la majoration de \(d_n\).
Dans les deux questions suivantes, on fixe un entier naturel non nul \(n\) et, pour tout nombre premier \(p\), on note \(k_p\) le plus grand entier naturel tel que \(p^{k_p}\leqslant n\).
Montrer que \(d_n=\displaystyle\prod_{\substack{p\leqslant n\\ p\text{ premier}}}p^{k_p}\).
Pour tout nombre premier \(p\), montrer que \(k_p=\left\lfloor\dfrac{\ln(n)}{\ln(p)}\right\rfloor\). En déduire que \(d_n\leqslant n^{\pi(n)}\).
En déduire qu’il existe un entier naturel \(N\) non nul tel que, pour tout \(n\geqslant N\), \(d_n\leqslant3^n\).
On pourra utiliser le théorème des nombres premiers mentionné ci-dessus.
Soit \(\alpha\in\mathbb{R}_+\). On suppose qu’il existe deux suites d’entiers naturels non nuls \((p_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((q_n)_{n\in\mathbb{N}}\) telles que \[\lim_{n\to+\infty}\frac{p_n}{q_n}=\alpha\qquad\text{et}\qquad\left| \alpha-\frac{p_n}{q_n} \right|\underset{n\to+\infty}{=}\circ\!\left(\frac{1}{q_n}\right)\] On suppose en outre que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\frac{p_n}{q_n}\neq\alpha\).
Montrer que \(\alpha\) est un nombre irrationnel.
Soit \(\beta=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{10^{n!}}\).
Justifier que \(\beta\) est bien défini, puis montrer que \(\beta\) est un nombre irrationnel.
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Justifier que \(\zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) est bien défini, puis montrer que l’on peut écrire \[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{p_n}{q_n}\] avec \(p_n\in\mathbb{N}^\ast\) et \(q_n=d_n^2\).
Peut-on appliquer le résultat de Q20 à ces suites \((p_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((q_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\) pour conclure sur l’irrationalité de \(\zeta(2)\) ?
Soient \(r\) et \(s\) deux entiers naturels strictement positifs tels que \(r\geqslant s\).
Soit \(y\in\left]0,1\right[\). Justifier que la fonction \[x\mapsto\frac{x^ry^s}{1-xy}\] est intégrable sur \([0,1]\).
On pose, pour \(y\in\left]0,1\right[\), \[f_{r,s}(y)=\int_0^1\frac{x^ry^s}{1-xy}\,\mathrm{d}x\]
Montrer que \(f_{r,s}\) est continue et intégrable sur \(\left]0,1\right[\).
On pose \[J_{r,s}=\int_0^1f_{r,s}(y)\,\mathrm{d}y=\int_0^1\int_0^1\frac{x^ry^s}{1-xy}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\]
Montrer que \[J_{r,s}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(r+k+1)(s+k+1)}\]
Dans cette sous-partie, on suppose \(r>s\).
Justifier que \[\frac{1}{(r+k+1)(s+k+1)}=\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{s+k+1}-\frac{1}{r+k+1}\right)\]
En déduire que \[J_{r,s}=\frac{1}{r-s}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{s+k+1}-\frac{1}{r+k+1}\right)\]
En déduire que \[J_{r,s}=\frac{1}{r-s}\sum_{k=s+1}^r\frac{1}{k}\]
En déduire que l’on peut écrire \[J_{r,s}=\frac{p_{r,s}}{q_{r,s}}\] avec \(p_{r,s}\) et \(q_{r,s}\) des entiers naturels et \(q_{r,s}\) divisant \(d_r^2\).
On admettra que \(J_{r,r}=\zeta(2)-\displaystyle\sum_{k=1}^r\frac{1}{k^2}\).
On définit sur \([0,1]\) la fonction \(P_n\) par : \[\forall x\in[0,1],\qquad P_n(x)=\frac{1}{n!}\,\frac{\mathrm{d}^n\left(x^n(1-x)^n\right)}{\mathrm{d}x^n}\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Justifier que \(P_n\) est une fonction polynomiale sur \([0,1]\) de degré \(n\) à coefficients dans \(\mathbb{Z}\).
On pose dans la suite \begin{align*} P_n(x) &= \sum_{k=0}^na_kx^k\\ (1-y)^n &= \sum_{k=0}^nb_ky^k \end{align*} avec pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(a_k\in\mathbb{Z}\) et \(b_k\in\mathbb{Z}\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Justifier l’existence de \[I_n=\int_0^1\int_0^1\frac{(1-y)^nP_n(x)}{1-xy}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\] et montrer que \[I_n=\sum_{\substack{r,s=0\\ r\neq s}}^na_rb_sJ_{r,s}+\sum_{r=0}^na_rb_rJ_{r,r}\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). En déduire qu’il existe deux entiers relatifs \(p_n\) et \(q_n\) tels que \[I_n=\frac{p_n+\zeta(2)q_n}{d_n^2}\]
On admettra dans toute la suite que \(p_n\) et \(q_n\) sont non nuls pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer que pour tout \(y\in\left]0,1\right[\), \[\int_0^1\frac{P_n(x)}{1-xy}\,\mathrm{d}x=(-y)^n\int_0^1\frac{x^n(1-x)^n}{(1-xy)^{n+1}}\,\mathrm{d}x\]
En déduire que \[I_n=(-1)^n\int_0^1\int_0^1\frac{x^n(1-x)^ny^n(1-y)^n}{(1-xy)^{n+1}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\]
Montrer que \[\forall(x,y)\in\left]0,1\right[^2,\qquad\frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}\leqslant\frac{5\sqrt{5}-11}{2}\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). En déduire que \[\left| I_n \right|\leqslant\zeta(2)\left(\frac{5\sqrt{5}-11}{2}\right)^n\]
Montrer qu’il existe \(N\in\mathbb{N}^\ast\) tel que pour tout \(n\geqslant N\), \[0<\left| p_n+\zeta(2)q_n \right|\leqslant\zeta(2)\left(\frac{5}{6}\right)^n\]
On pourra utiliser, sans la prouver, l’inégalité \(9\,\dfrac{5\sqrt{5}-11}{2}\leqslant\dfrac{5}{6}\).
Montrer que \(\zeta(2)\) est un nombre irrationnel.
On admet, uniquement dans cette question, que \(\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}\). Montrer que \(\pi\) est un nombre irrationnel.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Une démonstration complète de l'irrationalité de ζ(2) à la Beukers : encadrement de la fonction π de comptage des nombres premiers par les coefficients binomiaux et les valuations p-adiques, majoration du PPCM de 1, …, n, critère d'irrationalité, puis intégrales doubles calculées par intégration terme à terme.
Un beau sujet où arithmétique et analyse se répondent ; la partie A demande beaucoup de soin dans les inégalités.