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Autour de la série harmonique et de la constante d’Euler
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2024.
Dans toute ce problème, on désigne par \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) la suite dont le terme général est donné par : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)\]
Le but de ce problème est dans un premier temps de s’assurer de la convergence de la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\), puis d’essayer de déterminer différentes expressions de sa limite, à l’aide d’intégrales.
Déterminer un équivalent lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) de la différence \(a_{n+1}-a_n\), puis déterminer la nature de la série numérique \(\displaystyle\sum\left(a_{n+1}-a_n\right)\).
Montrer que la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est convergente vers un réel que l’on notera \(\gamma\) pour toute la suite du problème, puis que : \[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\underset{n\to+\infty}{=}\ln(n)+\gamma+\circ(1)\]
Pour augmenter ses ventes, un industriel de l’agro-alimentaire qui commercialise des paquets de céréales pour le petit déjeuner décide d’insérer au fond du paquet une figurine de sportifs célèbres. Le modèle de figurine inséré dans le paquet est choisi de manière équiprobable parmi \(n\) modèles de référence.
Pour différencier les \(n\) modèles de figurines et les identifier de manière unique, on considèrera que chaque modèle de figurine porte un numéro unique entre \(1\) et \(n\).
Chaque paquet de céréales contient ainsi une figurine à collectionner, que l’on ne découvre qu’à l’ouverture du paquet. On se demande combien un consommateur, que l’on va appeler ici le « collectionneur », doit ouvrir de paquets pour posséder au moins un exemplaire de chacune des \(n\) figurines.
On décompose ce nombre de paquets \(N_n\) en \(N_n=\tau_1+\tau_2+\dots+\tau_n\) où \(\tau_k\) est le nombre de paquets supplémentaires nécessaires pour obtenir \(k\) figurines différentes quand on en a déjà \(k-1\) différentes.
Dans tout ce qui suit, on désignera par \(C_k^{(i)}\) lévénénement « le collectionneur découvre dans le \(k^{\text{e}}\) paquet la figurine numérotée \(i\) »
Déterminer la loi de \(N_1\).
Soit \(m\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}\). Quelle est la probabilité de l’événement \(C\) : « le collectionneur obtient toujours la même vignette au cours de ses \(m\) premiers achats » ?
En déduire que : \[\forall m\in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}\!\left(N_2>m\right)=\frac{1}{n^{m-1}}\]
Déterminer alors la loi de \(N_2\).
Soit \(k\in\mathbb{N}^\ast\). Justifier que \(\tau_k\) suit une loi géométrique, dont on précisera le paramètre.
En déduire l’espérance de la variable aléatoire \(N_n\) et établir que : \[\mathbb{E}\!\left(N_n\right)\underset{n\to+\infty}{=}n\left(\ln(n)+\gamma+\circ(1)\right)\]
Justifier l’indépendance des variables aléatoires \(\tau_1,\tau_2,\dots,\tau_n\).
On rappelle par ailleurs que la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^2}\) est convergente et que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\). Démontrer que \(N_n\) admet une variance et que : \[\mathbb{V}\!\left(N_n\right)\leqslant\frac{n^2\pi^2}{6}\]
Soit \(\varepsilon>0\). Démontrer que \(\mathbb{P}\!\left(\left| N_n-\mathbb{E}\!\left(N_n\right) \right|>\varepsilon n\ln(n)\right)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\).
Soit \(\varepsilon>0\). Démontrer que \(\mathbb{P}\!\left(\left| \dfrac{N_n}{n\ln(n)}-1 \right|>\varepsilon\right)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\).
On admettra le résultat suivant : pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs, l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-at}-\mathrm{e}^{-bt}}{t}\,\mathrm{d}t\) est convergente, et on a : \[\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-at}-\mathrm{e}^{-bt}}{t}\,\mathrm{d}t=\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)\]
Démontrer que : \[\forall t>0,\ \frac{1}{t}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-nt}-\mathrm{e}^{-(n+1)t}}{t}\]
En déduire que : \[\forall t>0,\ \mathrm{e}^{-t}\left(\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\frac{1}{t}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-(n+1)t}-\frac{\mathrm{e}^{-(n+1)t}-\mathrm{e}^{-(n+2)t}}{t}\right)\]
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\left(\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\mathrm{d}t\) est convergente et que l’on a : \[\gamma=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\left(\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\mathrm{d}t\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Étudier la continuité en \(0\) de la fonction \(t\longmapsto\dfrac{1-(1-t)^n}{t}\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). En remarquant que : \[\int_0^1(1-t)^{n-1}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{n}\] exprimer \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\) à l’aide d’une intégrale puis à l’aide d’un changement de variable affine, établir que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ a_n=\int_0^1\frac{1-\left(1-\frac{u}{n}\right)^n}{u}\,\mathrm{d}u-\int_1^n\frac{\left(1-\frac{u}{n}\right)^n}{u}\,\mathrm{d}u\]
Soit \(x\in\left[1,+\infty\right[\). Déterminer la limite sous forme d’une intégrale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de la suite dont le terme général est \(\left(1-\dfrac{x}{n}\right)^n\).
On considère la suite de fonctions \((f_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) définie par : \[\forall n\in\mathbb{N},\ f_n:\begin{cases}\left[1,+\infty\right[\longrightarrow\mathbb{R}\\[1ex] t\longmapsto\begin{cases}\dfrac{\left(1-\frac{t}{n}\right)^n}{t} & \text{si } 1\leqslant t\leqslant n\\[2ex] 0 & \text{si } n<t\end{cases}\end{cases}\] Déterminer la limite simple de la suite de fonctions \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Démontrer que l’on a : \[\forall t\in\left[0,1\right[,\ \ln(1-t)\leqslant-t\]
Établir la convergence de l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u\).
Justifier l’intégrabilité sur \(\left[1,+\infty\right[\) des fonctions \(f_n\) définies dans la question précédente.
Établir la convergence, puis déterminer la limite sous forme d’une intégrale quand \(n\) tend vers \(+\infty\), de la suite de terme général \[\int_1^n\frac{\left(1-\frac{u}{n}\right)^n}{u}\,\mathrm{d}u\]
Établir la convergence de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1\frac{1-\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u\).
À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall t\in\left]0,1\right],\ 0\leqslant\frac{1-\left(1-\frac{t}{n}\right)^n}{t}\leqslant1\]
Établir la convergence, puis déterminer la limite sous forme d’une intégrale quand \(n\) tend vers \(+\infty\), de la suite de terme général \[\int_0^1\frac{1-\left(1-\frac{u}{n}\right)^n}{u}\,\mathrm{d}u\]
En déduire que : \[\gamma=\int_0^1\frac{1-\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u-\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u\]
Sous réserve que cela ait du sens, on appelle fonction \(\Gamma\) la fonction donnée par : \[\Gamma:x\longmapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\]
On désignera par \(u\) la fonction de deux variables définie par : \[u:\begin{cases}\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+^\ast\longrightarrow\mathbb{R}\\ (x,t)\longmapsto t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\end{cases}\]
Montrer que \(\Gamma\) est définie sur l’intervalle \(\left]0,+\infty\right[\).
Montrer que \(\Gamma\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) et donner une expression de sa dérivée.
Établir que : \[\forall x\in\left]0,+\infty\right[,\ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\]
On admet la formule de Weierstrass : \[(W) :\quad \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \frac{1}{\Gamma(x)}=x\mathrm{e}^{\gamma x}\prod_{n=1}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-\frac{x}{n}}\left(1+\frac{x}{n}\right)\right)\] À l’aide de la série de fonctions \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\left(\frac{x}{n}-\ln\!\left(1+\frac{x}{n}\right)\right)\), montrer que : \[\forall x>0,\ \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\frac{1}{x}-\gamma+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{x+n}\right)\]
En déduire que \(\Gamma'(1)=-\gamma\), et calculer alors \(\Gamma'(2)\).
À l’aide d’un changement de variables, montrer que l’on a : \[\gamma=-\int_0^1\ln\!\left(-\ln(t)\right)\mathrm{d}t\]
Dans toute cette partie, \(A\) désigne un réel strictement positif.
Démontrer que : \[\gamma=-\ln(A)+\int_0^A\frac{1-\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u-\int_A^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u\]
Établir la convergence de la série numérique \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^kA^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}\), puis en donner sa somme à l’aide d’une intégrale.
Démontrer que : \[\forall x>0,\ \int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}-\int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u^2}\,\mathrm{d}u\]
Déterminer l’expression d’un polynôme \(R\) de degré \(2\) à coefficients réels tel que : \[\forall x>0,\ \int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u=\frac{R(x)\mathrm{e}^{-x}}{x^3}-\int_x^{+\infty}\frac{6\mathrm{e}^{-u}}{u^4}\,\mathrm{d}u\]
Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n>A+1\). Justifier alors que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \left| \gamma-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kA^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}-\frac{R(A)\mathrm{e}^{-A}}{A^3}+\ln(A) \right|\leqslant\frac{A^{n+1}}{(n+1)(n+1)!}+\frac{6\mathrm{e}^{-A}}{A^4}\]
L’objet de cette partie du problème est d’étudier le comportement de la somme \(f\) de la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\ln(n)x^n\) de la variable réelle \(x\) aux bornes de son intervalle ouvert de convergence.
Démontrer que la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\ln(n)x^n\), est de rayon de convergence égal à \(1\), puis préciser le domaine de définition de la fonction \(f\).
Déterminer la limite de \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(1\) par valeur inférieure.
Déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\right)x^n\) de la variable réelle \(x\) dont on note alors \(g\) sa somme.
À l’aide des deux séries entières \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}x^n\) et \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{x^n}{n}\) montrer que : \[\forall x\in\left]-1,1\right[,\ g(x)=\frac{\ln(1-x)}{x-1}\]
Montrer qu’il existe \(M>0\) tel que : \[\forall x\in\left[0,1\right[,\ \left| f(x)-g(x) \right|\leqslant\frac{M}{1-x}\]
En déduire que \(f(x)\underset{\substack{x\to1\\x<1}}{\sim}g(x)\).
On considère la suite \((c_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) dont le terme général est donné par : \[\begin{cases}c_1=-1\\ \forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\},\ c_n=-\ln\!\left(1-\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\end{cases}\]
Montrer que le rayon de convergence de la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}c_nx^n\) de la variable réelle \(x\), dont on note alors \(h\) sa somme, est égal à \(1\), puis préciser le domaine de définition de \(h\).
Montrer que la série numérique \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}c_n\) converge vers la constante \(-\gamma\).
La fonction \(h\) est-elle continue en \(1\) ?
Montrer que : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ \sum_{k=1}^{2p}(-1)^kc_k=\ln\!\left(\frac{2^{4p}(p!)^4}{2p\left((2p)!\right)^2}\right)+\sum_{k=1}^{2p}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\]
On rappelle que la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\) est convergente et que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln(2)\).
Montrer que : \[f(x)\underset{\substack{x\to-1\\x>-1}}{\longrightarrow}\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\]
On pourra au préalable déterminer une relation entre \(f\) et \(h\) sur un intervalle de \(\mathbb{R}\) que l’on précisera.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un long sujet d'analyse autour de la constante d'Euler γ : convergence de Hₙ − ln n, problème du collectionneur de vignettes (lois géométriques, inégalité de Bienaymé-Tchebychev), plusieurs expressions intégrales de γ par convergence dominée et fonction Gamma, calcul approché, puis comportement d'une série entière au bord de son disque de convergence.
Les questions sont nombreuses mais bien guidées.