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Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2024.
Notations
On note \(\mathbb{R}[X]\) l’ensemble des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{R}\).
Tout au long du sujet, un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\) sera identifié à sa fonction polynomiale.
Une fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) continue est dite intégrable sur \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left| f(x) \right|\,\mathrm{d}x\) converge.
Pour une famille de polynômes \((P_n)_{n\in\mathbb{N}}\), on appelle \(\mathrm{vect}(P_n,n\in\mathbb{N})\) l’espace vectoriel engendré par cette famille, c’est à dire : \[\mathrm{vect}(P_n,n\in\mathbb{N})=\left\{g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \exists N\in\mathbb{N},\ \exists(a_0,\dots,a_N)\in\mathbb{R}^{N+1},\ g=\sum_{k=0}^Na_kP_k\right\}\]
Le sujet illustre des applications du calcul de l’intégrale de Gauss dans différents domaines.
La partie I est consacrée au calcul de cette intégrale.
La partie II est consacrée à la résolution d’une équation différentielle du second ordre à l’aide des séries entières. Elle utilise le résultat final de la partie I. Elle est totalement indépendantes des deux parties suivantes.
La partie III est consacrée à l’étude d’un endomorphisme autoadjoint de \(\mathbb{R}[X]\) et d’une suite de polynômes orthogonaux associés à cet endomorphisme. Elle est indépendante de la partie II.
La partie IV est consacrée à montrer des propriétés sur la famille de polynômes construite à la partie III. Le but est d’établir que c’est une famille totale d’un espace préhilbertien. Ce résultat est en fait un résultat général dans la théorie des espaces de Hilbert.
On définit \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(W_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n(t)\,\mathrm{d}t\).
Étudier la monotonie de la suite \((W_n)\).
Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N}\), \((n+2)W_{n+2}=(n+1)W_n\).
Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N}\), \((n+1)W_nW_{n+1}=\dfrac{\pi}{2}\).
En déduire que \(W_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).
On note \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) et \(J=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\)
Justifier l’existence de \(I\).
Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\mathrm{d}x=I\).
En utilisant le changement de variable \(x=\sqrt{n}\sin u\), après avoir justifié qu’il est licite, montrer que pour tout \(n\geqslant1\) : \[\int_0^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\mathrm{d}x=\sqrt{n}\,W_{2n+1}\]
En déduire la valeur de \(I\) puis de \(J\).
On considère l’équation différentielle définie sur \(\mathbb{R}[X]\) par \[xy''+y'+xy=0 \tag{II.1}\]
Déterminer les solutions développables en série entière de II.1 sur \(\mathbb{R}[X]\).
Démontrer qu’il existe une unique solution développable en série entière, notée \(S\), telle que \(S(0)=1\).
On définit, \(\forall x\in\mathbb{R}\), \(G(x)=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\cos(x\sin(t))\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(G\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(G\) est solution de II.1 sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(G=S\).
On note \(w\) l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), de classe \(\mathcal{C}^\infty\), définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(w(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(H_n\) l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(H_n(x)=(-1)^n\mathrm{e}^{x^2}w^{(n)}(x)\), où \(w^{(n)}\) désigne la dérivée \(n\)-ième de \(w\).
En particulier : \(H_0(x)=1\).
Calculer, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(H_1(x)\), \(H_2(x)\), \(H_3(x)\).
Montrer, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n'(x)\]
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(H_n\) est un polynôme de degré \(n\) dont vous déterminerez la parité.
Déterminer, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le coefficient dominant de \(H_n\).
On note \(E\) l’ensemble des applications \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) continues et telles que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) converge.
Montrer que \(E\) est un \(\mathbb{R}\) espace vectoriel contenant \(\mathbb{R}[X]\).
On note \(\langle.,.\rangle\) l’application de \(E^2\) dans \(\mathbb{R}\) qui à tout \((f,g)\in E^2\) associe \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\).
Montrer que \(\langle.,.\rangle\) est un produit scalaire sur \(E\).
On notera \(\left\| . \right\|\) la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
Montrer, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et tout \(P\in\mathbb{R}[X]\) : \[\left\langle P',H_{n-1}\right\rangle=\left\langle P,H_n\right\rangle\]
En déduire, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et tout \(P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]\) : \((P\mid H_n)=0\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la famille \((H_0,\dots,H_n)\) est une base orthogonale de \(\mathbb{R}_n[X]\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
Montrer : \(\left\| H_n \right\|^2=\left\langle H_n^{(n)},H_0\right\rangle\).
En déduire la valeur de \(\left\| H_n \right\|\).
On note \(u\), \(v\), \(w\) les applications définies de \(\mathbb{R}[X]\) dans \(\mathbb{R}[X]\), pour tout \(P\in\mathbb{R}[X]\), par : \[u(P)=-P''+2XP'+P,\qquad v(P)=2XP-P',\qquad w(P)=P'\]
Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}[X]\) et que \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(\mathbb{R}_n[X]\) est stable par \(u\).
Par la suite, on notera \(u_n\) l’endomorphisme induit par \(u\) sur \(\mathbb{R}_n[X]\).
On admet que \(v\) et \(w\) sont aussi des endomorphismes de \(\mathbb{R}[X]\), et on note \(\operatorname{Id}\) l’application identique de \(\mathbb{R}[X]\).
Etablir : \(v\circ w=u-\operatorname{Id}\) et \(w\circ v=u+\operatorname{Id}\).
En déduire : \(u\circ v-v\circ u=2v\).
Montrer que, pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\) et tout \(P\in\mathbb{R}[X]\), si \(u(P)=\lambda P\), alors \(u(v(P))=(\lambda+2)v(P)\).
Montrer que \(\forall k\in\mathbb{N}\), \(H_k\) est un vecteur propre de \(u\) et déterminer la valeur propre associée.
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Justifier que \(u_n\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\).
Établir, pour tout \((P,Q)\in\mathbb{R}[X]^2\) : \[\left\langle P',Q'\right\rangle=\left\langle u(P),Q\right\rangle-\left\langle P,Q\right\rangle\]
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
Montrer que \(u_n\) est un endomorphisme autoadjoint de \(\mathbb{R}_n[X]\).
Justifier, d’une deuxième manière, que \(u_n\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) dans une base orthonormée de \(\mathbb{R}_n[X]\) formée de vecteurs propres de \(u_n\).
Donner une base orthonormale de \(\mathbb{R}_n[X]\) constituée de vecteurs propres de \(u_n\).
Dans cette partie, nous conservons les notations de la partie III. L’espace \(E\) muni de son produit scalaire et la famille \((H_n)_{n\in\mathbb{N}}\) précédemment construite. Nous allons montrer que \(\left(\mathrm{vect}(H_n,n\in\mathbb{N})\right)^{\perp}=\{0\}\). On dit dans ce cas là que la famille \((H_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est totale dans l’espace préhilbertien \(E\) ou encore que c’est une base hilbertienne de \(E\).
Soit \(\xi\in\mathbb{R}\). Pour \(\xi\in E\), montrer que \(x\longmapsto f(x)\mathrm{e}^{-ix\xi}\mathrm{e}^{-x^2}\) est intégrable sur \(\mathbb{R}\).
On pourra écrire \(f(x)\mathrm{e}^{-ix\xi}\mathrm{e}^{-x^2}=f(x)\mathrm{e}^{-x^2/2}\mathrm{e}^{-ix\xi}\mathrm{e}^{-x^2/2}\).
On définit ainsi \[\forall\xi\in\mathbb{R},\ \mathcal{F}(f)(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-it\xi}\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\]
\(\boldsymbol{\mathcal{F}}\) est une application linéaire sur \(\boldsymbol{E}\), appelée la transformation de Fourier de \(\boldsymbol{f}\) sur l’espace préhilbertien \(\boldsymbol{E}\). Nous admettrons pour la suite que \(\boldsymbol{\mathcal{F}}\) est injective sur \(\boldsymbol{E}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(p\), la fonction \(x\longmapsto x^{2p}\exp(-x^2)\) est intégrable sur \(\mathbb{R}\).
On note \(M_p=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2p}\exp(-x^2)\,\mathrm{d}x\). Déterminer la valeur de \(M_p\).
Soit \(f\in E\). Justifier que \[\forall\xi\in\mathbb{R},\ \mathcal{F}(f)(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}f(x)\mathrm{e}^{-x^2}\frac{(-i)^n\xi^nx^n}{n!}\,\mathrm{d}x\]
Montrer que \(\mathcal{F}(f)\) est développable en série entière sur \(\mathbb{R}\).
Dans la suite de la partie, on suppose que \(\boldsymbol{f\in\left(\mathrm{vect}(H_n,n\in\mathbb{N})\right)^{\perp}}\). Le but est de montrer que \(\boldsymbol{f}\) est la fonction nulle.
Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x^nf(x)\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x=0\).
En déduire que \(\mathcal{F}(f)\) est la fonction nulle.
Conclure.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet classique et progressif : intégrales de Wallis et intégrale de Gauss, équation différentielle résolue par une série entière et par une intégrale à paramètre, puis polynômes d'Hermite, base orthogonale pour un produit scalaire à poids gaussien et endomorphisme autoadjoint associé ; la dernière partie montre que la famille des polynômes est totale.
La rigueur sur les intégrabilités est récompensée.