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Inégalité de Carleman
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2024.
On s’intéresse dans ce problème à une inégalité établie par Torsten Carleman : si \((a_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\) est une suite de réels strictement positifs telle que \(\displaystyle\sum a_n\) converge, alors la série de terme général \(\left(\displaystyle\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}\) converge et \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}\leqslant\mathrm{e}\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\]
Le problème est constitué de trois parties largement indépendantes. La première partie commence en démontrant un analogue intégral de cette inégalité : l’inégalité de Knopp. La deuxième partie s’intéresse à la démonstration originale de l’inégalité de Carleman, utilisant du calcul différentiel. Enfin, la troisième partie étudie l’inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l’inégalité de Carleman.
Dans cette partie, on démontre l’inégalité de Knopp, souvent présentée comme analogue continu de l’inégalité de Carleman (on justifie cette appellation en fin de partie).
Soit \(f : [a,b]\to\mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux à valeurs dans un intervalle \(J\). Soit \(\varphi\) une fonction continue et convexe sur \(J\). Démontrer que \[\varphi\!\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\right)\leqslant\frac{1}{b-a}\int_a^b\varphi\circ f(t)\,\mathrm{d}t\]
On pourra utiliser des sommes de Riemann.
Soit \(f : \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}\), une fonction continue par morceaux, strictement positive et intégrable.
Pour tout \(x>0\), on pose \[g(x)=\frac{1}{x}\int_0^x tf(t)\,\mathrm{d}t \qquad\text{et}\qquad h(x)=\frac{1}{x}\,g(x)=\frac{1}{x^2}\int_0^x tf(t)\,\mathrm{d}t\]
Déterminer la limite de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\).
Déterminer la limite de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
Notant \(1\kern-0.35em1_{[0,x]}\) la fonction indicatrice de \([0,x]\), on pourra remarquer que \[g(x)=\int_0^{+\infty}\frac{1}{x}\,tf(t)1\kern-0.35em1_{[0,x]}(t)\,\mathrm{d}t\]
En déduire que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}h(x)\,\mathrm{d}x\) converge et que \[\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^{+\infty}h(x)\,\mathrm{d}x\]
On pourra utiliser une intégration par parties.
Soit \(f\) une fonction continue par morceaux, strictement positive, intégrable sur \(\mathbb{R}_+\).
Démontrer que, pour tout \(x>0\), \[\exp\!\left(\frac{1}{x}\int_0^x\ln(f(t))\,\mathrm{d}t\right)\leqslant\frac{\mathrm{e}}{x^2}\int_0^x tf(t)\,\mathrm{d}t\]
On pourra remarquer que \(\ln(f(t))=\ln(tf(t))-\ln(t)\).
En déduire que \(x\mapsto\exp\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\int_0^x\ln(f(t))\,\mathrm{d}t\right)\) est intégrable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que \[\int_0^{+\infty}\exp\!\left(\frac{1}{x}\int_0^x\ln(f(t))\,\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x\leqslant\mathrm{e}\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x\]
On suppose dans cette sous-partie que \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est une suite décroissante de réels strictement positifs. On note \(f\) la fonction en escalier qui, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), est égale à \(a_k\) sur l’intervalle \(\left[k-1,k\right[\).
Soit \(k\) dans \(\mathbb{N}^\ast\). Démontrer que la fonction \(v_k\) définie sur \([k-1,k]\) par \[\begin{cases} v_k(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\sum_{i=1}^{k-1}\ln(a_i)+\frac{1}{x}(x-k+1)\ln(a_k) & \text{si } k\geqslant2\\ v_1(x)=\ln(a_1) \end{cases}\] est minimale pour \(x=k\).
Démontrer que, pour tout \(k\) dans \(\mathbb{N}^\ast\), \[\int_{k-1}^k\exp\!\left(\frac{1}{x}\int_0^x\ln(f(t))\,\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x\geqslant\exp\!\left(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k\ln(a_i)\right)\]
On pourra utiliser la question précédente.
En déduire l’inégalité de Carleman dans le cas où \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est une suite décroissante.
Expliquer comment on peut retirer l’hypothèse de décroissance.
On démontre dans cette partie l’inégalité de Carleman d’une manière indépendante de la partie I.
La sous-partie II.A établit l’inégalité arithmético-géométrique avec des méthodes de calcul différentiel qui permettent de se familiariser avec celles qui seront utilisées dans la sous-partie II.B pour démontrer l’inégalité de Carleman.
La sous-partie II.B est indépendante de II.A. L’inégalité arithmético-géométrique sera utilisée dans la partie III.
Soit \(n\) dans \(\mathbb{N}^\ast\). On note \(U_n\) l’ouvert \(\left(\mathbb{R}_+^\ast\right)^n\). Son adhérence, notée \(\overline{U_n}\), est \(\left(\mathbb{R}_+\right)^n\).
Soit \(s>0\). On définit les fonctions \(f\) et \(g_s\) sur \(\overline{U_n}\) en posant, pour tout \(x=(x_1,\dots,x_n)\in\overline{U_n}\), \[f(x)=\prod_{k=1}^n x_k \qquad\text{et}\qquad g_s(x)=\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)-s\]
On note \(X_s\) le sous-ensemble de \(\overline{U_n}\) constitué des zéros de \(g_s\) : \(X_s=\left\{x\in\overline{U_n}\ \middle|\ g_s(x)=0\right\}\).
On admet que \(f\) et \(g_s\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U_n\). Donner l’expression de leur gradient en un point \(x=(x_1,\dots,x_n)\) de \(U_n\).
Démontrer que la restriction de \(f\) à \(X_s\) admet un maximum sur \(X_s\) et que ce maximum est en fait atteint sur \(X_s\cap U_n\).
On pourra vérifier que \(f\) est strictement positive en certains points de \(X_s\cap U_n\).
On note \(a=(a_1,\dots,a_n)\) un élément de \(X_s\cap U_n\) en lequel la restriction de \(f\) à \(X_s\) atteint son maximum.
Démontrer qu’il existe un réel \(\lambda>0\) tel que, pour tout \(k\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(a_k=\dfrac{f(a)}{\lambda}\).
Démontrer alors que, pour tout \((x_1,\dots,x_n)\in U_n\cap X_s\), \(\left(\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}\leqslant\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\) et en déduire l’inégalité arithmético-géométrique \[\forall(x_1,\dots,x_n)\in\left(\mathbb{R}_+\right)^n,\ \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}\leqslant\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\]
On considère l’application \(F_n\) de \(\overline{U_n}\) dans \(\mathbb{R}\), définie par \[\forall(x_1,\dots,x_n)\in\overline{U_n},\ F_n(x_1,\dots,x_n)=x_1+\left(x_1x_2\right)^{1/2}+\left(x_1x_2x_3\right)^{1/3}+\cdots+\left(x_1\cdots x_n\right)^{1/n}\]
On note \(h_n\) l’application de \(\overline{U_n}\) dans \(\mathbb{R}\), définie par \[\forall(x_1,\dots,x_n)\in\overline{U_n},\ h_n(x_1,\dots,x_n)=x_1+\cdots+x_n-1\]
On admet que \(F_n\) et \(h_n\) sont toutes deux de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U_n\).
On note \(H_n\) l’ensemble \(H_n=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\ \middle|\ x_1+\cdots+x_n=1\right\}\).
Déterminer le gradient de \(F_n\) et le gradient de \(h_n\) en tout point de \(U_n\).
Démontrer que la restriction de \(F_n\) à \(\overline{U_n}\cap H_n\) admet un maximum.
On admet que le maximum de \(F_n\) est en fait atteint sur \(U_n\cap H_n\).
On note \(M_n\) le maximum de \(F_n\) sur \(\overline{U_n}\cap H_n\) et on note \((a_1,\dots,a_n)\) un point de \(U_n\cap H_n\) en lequel il est atteint.
Pour \(k\) entre \(1\) et \(n\), on note \(\gamma_k=\left(a_1a_2\cdots a_k\right)^{1/k}\).
Démontrer qu’il existe un réel \(\lambda>0\) tel que \[\begin{cases} \gamma_1+\dfrac{\gamma_2}{2}+\cdots+\dfrac{\gamma_n}{n}=\lambda a_1\\[1ex] \phantom{\gamma_1+{}}\dfrac{\gamma_2}{2}+\cdots+\dfrac{\gamma_n}{n}=\lambda a_2\\ \hfill\vdots\hfill\\ \phantom{\gamma_1+\dfrac{\gamma_2}{2}+\cdots+{}}\dfrac{\gamma_n}{n}=\lambda a_n\\[1ex] a_1+a_2+\cdots+a_n=1 \end{cases}\]
En déduire que :
\(\lambda=\gamma_1+\gamma_2+\cdots+\gamma_n=M_n\) ;
pour tout \(k\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\gamma_k=\lambda\omega_ka_k\), où \[\begin{cases} \omega_k=k\left(1-\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right) & \text{si } k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\\[1ex] \omega_n=n \end{cases}\]
L’objectif des trois questions suivantes est de démontrer que \(\lambda\leqslant\mathrm{e}\). On suppose par l’absurde que \(\lambda>\mathrm{e}\).
Vérifier que, pour tout \(k\) dans \(\mathbb{N}\), \(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\leqslant\left(\dfrac{k+1}{k+2}\right)^{k+1}\).
Démontrer que \(\omega_1\leqslant\dfrac{1}{\mathrm{e}}\) et que, pour tout \(k\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\omega_k\leqslant\dfrac{k}{k+1}\).
On pourra démontrer, pour \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), que \(\omega_{k+1}^{k+1}=\dfrac{1}{\lambda}\,\omega_k^k\left(1-\dfrac{\omega_k}{k}\right)^{-k}\).
Aboutir à une contradiction sur \(\omega_n\). En déduire que, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^\ast\), pour tout \((x_1,\dots,x_n)\in\left(\mathbb{R}_+^\ast\right)^n\) tels que \(x_1+\cdots+x_n=1\), \[\sum_{k=1}^n\left(x_1x_2\cdots x_k\right)^{1/k}\leqslant\mathrm{e}\]
En déduire l’inégalité de Carleman.
Le but de cette dernière partie est d’établir l’inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l’inégalité de Carleman.
Soit \(\varphi\) la fonction définie par \[\forall t\in\left]-1,1\right[\setminus\{0\},\ \varphi(t)=(1-t)^{1-1/t} \tag{III.1}\]
On définit aussi la suite \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) par \[\begin{cases} b_0=-1\\ \forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ b_n=-\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}\,b_{n-k} \end{cases}\]
Justifier que \(\varphi\) est prolongeable par continuité en \(0\) et préciser la valeur de son prolongement en \(0\).
On notera toujours \(\varphi\) ce prolongement.
Démontrer que, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^\ast\), \(\left| b_n \right|\leqslant1\). En déduire une inégalité sur le rayon de convergence de la série entière \(\displaystyle\sum_{k\geqslant0}b_kt^k\).
Démontrer que, pour tout \(t\) dans \(\left]-1,1\right[\), \(\varphi'(t)=\varphi(t)\psi(t)\), où \[\forall t\in\left]-1,1\right[,\ \psi(t)=-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n+2}\,t^n \tag{III.2}\] puis que, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^\ast\), \[\varphi^{(n)}(0)=-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k!}{k+2}\binom{n-1}{k}\varphi^{(n-k-1)}(0)\]
Conclure alors que \[\forall t\in\left]-1,1\right[,\ \varphi(t)=\mathrm{e}\left(1-\sum_{k=1}^{+\infty}b_kt^k\right) \tag{III.3}\]
Soit \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((c_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) deux suites de réels strictement positifs.
Démontrer que \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}\leqslant\sum_{k=1}^{+\infty}c_ka_k\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{1}{n}\left(\prod_{i=1}^n c_i\right)^{-1/n}\]
En considérant \(c_n=\dfrac{(n+1)^n}{n^{n-1}}\), en déduire l’inégalité de Carleman-Yang : \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}\leqslant\mathrm{e}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{b_k}{(n+1)^k}\right)a_n\]
Démontrer que, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^\ast\), \(b_n\geqslant0\). En quoi l’inégalité précédente est-elle un raffinement de l’inégalité de Carleman ?
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Trois démonstrations de l'inégalité de Carleman : par l'inégalité de Knopp, déduite d'une inégalité de Jensen intégrale, puis par une optimisation sous contrainte (gradient, compacité et condition d'extremum lié), enfin sous la forme raffinée de Carleman-Yang grâce au développement en série entière de t ↦ (1 + t) puissance 1/t.
Un sujet exigeant, où la justification des intégrabilités et l'étude du système d'optimalité font la différence.