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Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2023.
Notations et rappels
Dans tout le problème, \(n\) est un entier naturel non nul. On identifie un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) et la matrice colonne à \(n\) lignes formée de ses coordonnées dans la base canonique de \(\mathbb{R}^n\). L’élément nul de \(\mathbb{R}^n\) est noté \(0_{\mathbb{R}^n}\).
L’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels est noté \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et l’ensemble des matrices inversibles d’ordre \(n\) est noté \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\). On désigne par \(I_n\) la matrice identité d’ordre \(n\) et par \(0_n\) la matrice nulle d’ordre \(n\).
Pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on appelle image de \(M\), notée \(\mathrm{Im}\,M\) l’image de l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) canoniquement associé à \(M\) et on appelle noyau de \(M\), noté \(\ker M\), le noyau de cet endomorphisme.
Pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on note \(M^{\top}\) sa transposée, \(\det(M)\) son déterminant, \(\mathrm{rg}(M)\) son rang, \(\mathrm{tr}(M)\) sa trace, \(\chi_M\) son polynôme caractéristique et \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(M)\) l’ensemble de ses valeurs propres complexes. On rappelle que \(M\) et \(M^{\top}\) ont le même rang et le même déterminant.
On note \(\mathcal{T}\) la transposition dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), c’est-à-dire l’application qui à toute matrice \(M\) associe \(M^{\top}\).
Si \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)\) et \(\mathcal{B}'=(e'_1,\dots,e'_n)\) sont deux bases de \(\mathbb{R}^n\) et si \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), on note \(\mathrm{M}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)\) la matrice dont, pour tout entier \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la \(j\)-ième colonne est formée des coordonnées du vecteur \(f(e_j)\) dans la base \(\mathcal{B}'\).
Lorsque \(\mathcal{B}=\mathcal{B}'\), on simplifie la notation \(\mathrm{M}_{\mathcal{B},\mathcal{B}}(f)\) en \(\mathrm{M}_{\mathcal{B}}(f)\) qui désigne la matrice, dans la base \(\mathcal{B}\), de l’endomorphisme \(f\). On définit la suite des puissances de \(f\) en posant \[\begin{cases} f^0=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\\ \forall k\in\mathbb{N},\ f^{k+1}=f\circ f^k \end{cases}\]
Si \(\Pi=\displaystyle\sum_{k=0}^pa_kX^k\) est un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\), on rappelle que \(\Pi(f)=\displaystyle\sum_{k=0}^pa_kf^k\).
Lorsque \(M_1,\dots,M_k\) désignent des matrices carrées d’ordres respectifs \(n_1,\dots,n_k\), on note \(\mathrm{diag}(M_1,\dots,M_k)\) la matrice carrée d’ordre \(n_1+\dots+n_k\), diagonale par blocs, égale à \[\begin{pmatrix} M_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & M_2 & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & M_k \end{pmatrix}\]
On dit qu’un endomorphisme \(\Phi\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)
conserve le rang si \(\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(\mathrm{rg}\big(\Phi(M)\big)=\mathrm{rg}(M)\) ;
conserve le déterminant si \(\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(\det\big(\Phi(M)\big)=\det(M)\) ;
conserve la trace si \(\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(\mathrm{tr}\big(\Phi(M)\big)=\mathrm{tr}(M)\) ;
conserve le polynôme caractéristique si \(\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(\chi_{\Phi(M)}=\chi_M\).
L’objectif du problème est de caractériser les endomorphismes réalisant l’une de ces propriétés.
On suppose que \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont trois bases de \(\mathbb{R}^n\) et que \(f\) et \(g\) sont deux endomorphismes de \(\mathbb{R}^n\).
Question de cours. Démontrer que \[\mathrm{M}_{\mathcal{E},\mathcal{G}}(g\circ f)=\mathrm{M}_{\mathcal{F},\mathcal{G}}(g)\,\mathrm{M}_{\mathcal{E},\mathcal{F}}(f)\]
En déduire qu’il existe deux matrices \(P\) et \(Q\) appartenant à \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) telles que \[\mathrm{M}_{\mathcal{F},\mathcal{G}}(f)=P\,\mathrm{M}_{\mathcal{E}}(f)\,Q\]
On suppose que \(M\) est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Soit \(\lambda\in\mathbb{C}\) une valeur propre de \(M\) et \(X\) un vecteur propre associé. Montrer que, pour tout entier naturel \(k\), \(M^kX=\lambda^kX\).
En déduire que, si \(\Pi\in\mathbb{R}[X]\) est un polynôme annulateur de \(M\), alors toute valeur propre complexe de \(M\) est une racine dans \(\mathbb{C}\) de \(\Pi\).
L’ensemble des endomorphismes de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est noté \(\mathcal{L}\big(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\big)\).
Pour toute matrice \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on note \(\Gamma_A\) l’application \[\Gamma_A:\left|\begin{matrix}\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \to & \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\\ M & \mapsto & AM\end{matrix}\right.\]
Vérifier que, pour toute matrice \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(\Gamma_A\) appartient à \(\mathcal{L}\big(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\big)\).
Démontrer que, si \(A\) appartient à \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), alors \(\Gamma_A\) conserve le rang.
Démontrer que l’application \[\Gamma:\left|\begin{matrix}\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \to & \mathcal{L}\big(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\big)\\ A & \mapsto & \Gamma_A\end{matrix}\right.\] est linéaire et injective.
Dans la suite de cette sous-partie II.A, \(A\) est un élément fixé de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Démontrer que \(\forall k\in\mathbb{N}\), \(\Gamma_{A^k}=\left(\Gamma_A\right)^k\).
En déduire que, pour tout polynôme \(\Pi\) de \(\mathbb{R}[X]\), \(\Gamma_{\Pi(A)}=\Pi(\Gamma_A)\).
À l’aide du résultat précédent, démontrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\Gamma_A\) est diagonalisable.
Démontrer que \(\chi_A\) est un polynôme annulateur de \(\Gamma_A\) et que \(\chi_{\Gamma_A}\) est un polynôme annulateur de \(A\).
En déduire que \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(\Gamma_A)=\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(A)\).
Pour toutes matrices \(P\) et \(Q\) appartenant à \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), on considère les applications \[\Phi_{P,Q}:\left|\begin{matrix}\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \to & \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\\ M & \mapsto & PMQ\end{matrix}\right. \qquad\qquad \Psi_{P,Q}:\left|\begin{matrix}\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \to & \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\\ M & \mapsto & PM^{\top}Q\end{matrix}\right.\]
On admet que \(\Phi_{P,Q}\) et \(\Psi_{P,Q}\) sont des endomorphismes de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
On pose \[\mathcal{L}_1=\left\{\Phi_{P,Q}\mid(P,Q)\in\big(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\big)^2\right\}\quad\text{et}\quad\mathcal{L}_2=\left\{\Psi_{P,Q}\mid(P,Q)\in\big(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\big)^2\right\}\]
Démontrer que \(\mathcal{L}_1\cup\mathcal{L}_2\) est stable par composition, c’est-à-dire que \[\forall(\Theta,\Theta')\in(\mathcal{L}_1\cup\mathcal{L}_2)^2,\ \Theta\circ\Theta'\in\mathcal{L}_1\cup\mathcal{L}_2\]
Soient \(P\) et \(Q\) deux matrices de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\Phi_{P,Q}\) et \(\Psi_{P,Q}\) sont des automorphismes de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et préciser leurs applications réciproques.
Montrer que \(\Phi_{P,Q}\) et \(\Psi_{P,Q}\) conservent le rang.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(P\) et \(Q\) pour que \(\Phi_{P,Q}\) et \(\Psi_{P,Q}\) conservent le déterminant.
Montrer que \(\Phi_{P,P^{-1}}\) et \(\Psi_{P,P^{-1}}\) conservent le polynôme caractéristique.
Dans cette section, on prend \(n\geqslant2\).
Montrer que \(\mathcal{T}\in\mathcal{L}_2\) et \(\mathcal{T}\notin\mathcal{L}_1\).
En déduire que les ensembles \(\mathcal{L}_1\) et \(\mathcal{L}_2\) sont disjoints.
On suppose que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\). Son noyau est noté \(\ker(f)\).
On suppose dans cette sous-partie que \(f\) est un isomorphisme. On se donne une base \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)\) de \(\mathbb{R}^n\). On note \(\mathcal{B}'\) la base \[\mathcal{B}'=\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\]
Déterminer \(\mathrm{M}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)\).
On suppose dans cette sous-partie que \(f\) n’est pas l’endomorphisme nul et que \(\ker(f)\neq\{0_{\mathbb{R}^n}\}\).
Soit \(\mathcal{B}_2\) une base de \(\ker(f)\), que l’on complète (à gauche) en une base \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_k,\mathcal{B}_2)\) de \(\mathbb{R}^n\).
Montrer que la famille \(\big(f(e_1),\dots,f(e_k)\big)\) est libre.
Justifier que \(k<n\).
On complète la famille \(\big(f(e_1),\dots,f(e_k)\big)\) en une base \(\mathcal{B}'=\big(f(e_1),\dots,f(e_k),f_{k+1},\dots,f_n\big)\) de \(\mathbb{R}^n\).
Déterminer \(\mathrm{M}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)\).
Dans toute la suite du problème, pour tout entier entier naturel \(r\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \[J_{n,r}=\mathrm{diag}(I_r,0_{n-r})\] en convenant que \(J_{n,n}=I_n\) et \(J_{0,n}=0_n\).
Soit \(M\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de rang \(r\).
Montrer qu’il existe deux matrices \(P\) et \(Q\) de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) telles que \[M=\Phi_{P,Q}(J_{n,r})\]
On suppose dans cette sous-partie que \(n=2\) et que \(A\) et \(B\) sont deux éléments de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) de rang \(1\). On suppose que \(\mathrm{Im}\,A\) et \(\mathrm{Im}\,B\) sont distinctes.
Montrer qu’il existe deux matrices \(P_2\) et \(Q_2\) de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) telles que \[A=P_2\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}Q_2 \quad\text{et}\quad B=P_2\begin{pmatrix}0 & 0\\ \alpha & \beta\end{pmatrix}Q_2\] où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels, non tous deux nuls.
Dans toute cette partie, on suppose que \(n=2\).
On désigne par \(\mathcal{B}_{\mathrm{ca}}=(B_1,B_2,B_3,B_4)\) la base canonique de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), avec \[B_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad B_4=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\]
Expliciter la matrice de la transposition \(\mathcal{T}\) dans la base canonique de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Cette matrice de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) sera notée \(T\).
Justifier sans calcul que \(T\) est diagonalisable
Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(\mathcal{T}\).
On se donne deux éléments \(P\) et \(Q\) de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\), \[P=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad Q=\begin{pmatrix}e & f\\ g & h\end{pmatrix}\]
Montrer que la matrice, dans la base \(\mathcal{B}_{\mathrm{ca}}\), de l’endomorphisme \(\Phi_{P,Q}\) est de la forme \[\begin{pmatrix}aU & bU\\ cU & dU\end{pmatrix}\] où \(U\) est un élément de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) à déterminer.
On suppose dans la suite de cette partie que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) conservant le rang.
Montrer que \(\Phi\) est un automorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Déterminer les rangs de \(\Phi(B_1)\), \(\Phi(B_4)\), \(\Phi(B_1+B_4)\). En déduire l’existence de deux matrices \(P_1\) et \(Q_1\) de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\), telles que : \[\Phi_{P_1,Q_1}\circ\Phi(B_1)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\Phi_{P_1,Q_1}\circ\Phi(B_4)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ \alpha & \beta\end{pmatrix}\] où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels tels que \((\alpha,\beta)\neq(0,0)\).
On adopte alors les notations suivantes : \(\Phi'=\Phi_{P_1,Q_1}\circ\Phi\), \(M'=\mathrm{M}_{\mathcal{B}_{\mathrm{ca}}}(\Phi')\).
Pour tout \(j\in\{1,2,3,4\}\), \(B'_j=\Phi'(B_j)\) et \(C_j=(a_j,b_j,c_j,d_j)^{\top}\) désigne la \(j\)-ième colonne de la matrice \(M'\).
Déterminer \(C_1\) et \(C_4\).
Démontrer que \(\forall i\in\{1,2,3,4\}\), \(a_id_i-b_ic_i=0\).
En considérant le rang des matrices \(B'_1+B'_2\) et \(B'_1+B'_3\), démontrer que \(d_2=d_3=0\).
On déduit des deux questions précédentes que \(b_2c_2=b_3c_3=0\).
On suppose dans cette sous-partie que \(c_2=0\).
En étudiant \(\det(M')\), démontrer que les nombres \(b_2\), \(c_3\), \(d_4\) sont tous trois non nuls.
En utilisant les résultats de la question précédente et en considérant les rangs des matrices \(B'_3+B'_4\), \(B'_2+B'_4\) et \(B'_1+B'_2+B'_3+B'_4\), démontrer que \[M'=\begin{pmatrix}1 & a_2 & 0 & 0\\ 0 & b_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & c_3 & c_4\\ 0 & 0 & 0 & d_4\end{pmatrix}\] avec \(c_4=a_2c_3\) et \(d_4=b_2c_3\).
En déduire que \(\Phi\) appartient à \(\mathcal{L}_1\).
On suppose à présent que \(c_2\neq0\).
Démontrer que la matrice, dans la base \(\mathcal{B}_{\mathrm{ca}}\), de l’endomorphisme \(\Phi'\circ\mathcal{T}\) de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) est égale à \[\begin{pmatrix}1 & a_3 & a_2 & 0\\ 0 & b_3 & 0 & 0\\ 0 & c_3 & c_2 & c_4\\ 0 & 0 & 0 & d_4\end{pmatrix}\]
Démontrer que \(c_3=0\).
En déduire que \(\Phi\) appartient à \(\mathcal{L}_2\).
On a ainsi démontré, pour \(n=2\), qu’un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) conserve le rang si et seulement s’il appartient à \(\mathcal{L}_1\cup\mathcal{L}_2\).
On admet que ce résultat est encore valable lorsque \(n\) est un entier strictement supérieur à \(2\).
On suppose dans cette sous-partie que \(n=2\) et que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) conservant le déterminant.
On considère une matrice \(A\) non nulle de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) vérifiant \(\Phi(A)=0_2\).
Montrer que \(A\) est de rang \(1\).
La partie III assure l’existence de deux éléments \(P\) et \(Q\) de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) tels que \[A=PJ_{2,1}Q\]
On pose alors \(N=P(I_2-J_{2,1})Q\).
En calculant de deux manières différentes \(\det(A+N)\), aboutir à une absurdité et conclure que \(\Phi\) est un automorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
En discutant selon les valeurs possibles du rang, démontrer que \(\Phi\) conserve le rang.
On a ainsi démontré que tout endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) qui conserve le déterminant conserve le rang. On admet que ce résultat s’étend au cas où \(n\) est un entier naturel non nul quelconque.
Caractériser les endomorphismes de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) qui conservent le déterminant.
On revient au cas général où \(n\) est un entier naturel non nul.
Démontrer que l’application \[\left|\begin{matrix}\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \to & \mathbb{R}\\ M & \mapsto & \mathrm{tr}(M)\end{matrix}\right.\] est une forme linéaire vérifiant \[\forall(A,B)\in\big(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\big)^2,\ \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\]
Montrer que l’application \[\left|\begin{matrix}\big(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\big)^2 & \to & \mathbb{R}\\ (A,B) & \mapsto & \mathrm{tr}(A^{\top}B)\end{matrix}\right.\] est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
En déduire que, si une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifie \[\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ \mathrm{tr}(AM)=0\] alors \(A=0\).
Démontrer qu’un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) qui conserve le polynôme caractéristique conserve également le déterminant et la trace.
Caractériser les endomorphismes de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) qui conservent le polynôme caractéristique.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un long problème d'algèbre linéaire sur les endomorphismes de ℳₙ(ℝ) qui conservent une propriété : multiplication à gauche (même spectre et même diagonalisabilité que A), applications M ↦ PMQ et M ↦ PMᵀQ, matrices de rang r, puis caractérisation complète en taille 2 des endomorphismes conservant le rang, et en taille n de ceux qui conservent le déterminant ou le polynôme caractéristique.
Les calculs matriciels par blocs de la partie IV sont exigeants.