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Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Sujet du concours Centrale-Supélec 2022.
Notations et rappels
Pour \(n\) et \(p\) deux entiers naturels non nuls, on désigne par \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices à \(n\) lignes et \(p\) colonnes à coefficients dans \(\mathbb{R}\) et \(\mathcal{V}_{n,p}\) l’ensemble des matrices à \(n\) lignes et \(p\) colonnes à coefficients dans \(\{-1,1\}\).
Si \(M\) est une matrice de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), on note \(M^{\top}\) sa transposée.
Une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est antisymétrique si \(M^{\top}=-M\).
On désigne par \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels, \(I_n\) la matrice identité d’ordre \(n\) et \(0_n\) la matrice nulle d’ordre \(n\).
Si \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on note \(\mathrm{tr}(M)\) sa trace.
On note \(\mathcal{G}\ell_n(\mathbb{R})\) le sous-ensemble de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) formé des matrices inversibles.
On définit la suite des puissances de \(M\) par \[\begin{cases} M^0=I_n\\ \forall k\in\mathbb{N},\ M^{k+1}=MM^k \end{cases}\]
Une matrice \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel \(k\geqslant1\) tel que \(M^k=0_n\).
On note \(\mathcal{N}_n\) le sous-ensemble de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) formé des matrices nilpotentes.
Si \(U\) est une partie d’un espace vectoriel \(E\), on note \(\mathrm{Vect}(U)\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(U\).
Toutes les variables aléatoires considérées dans les parties II, III et IV sont définies sur un même espace probabilisé discret \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Étant donné une variable aléatoire réelle \(Z\), on note, sous réserve d’existence, \(\mathbb{E}(Z)\) son espérance et \(\mathbb{V}(Z)\) sa variance.
On pourra utiliser, sans démonstration, le résultat suivant, connu sous le nom de lemme des coalitions :
Si \(X_1,\dots,X_N\) sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, alors, pour tout entier naturel \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N-1} \right]\kern-0.15em\right]\), toute fonction \(f\) de \(\mathbb{R}^k\) dans \(\mathbb{R}\) et toute fonction \(g\) de de \(\mathbb{R}^{N-k}\) dans \(\mathbb{R}\), les variables aléatoires \(f(X_1,\dots,X_k)\) et \(g(X_{k+1},\dots,X_N)\) sont indépendantes.
Dans la partie III, l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est muni de sa structure euclidienne canonique. Son produit scalaire est noté \(\langle\cdot|\cdot\rangle\).
On note \(\mathrm{ch}\) la fonction cosinus hyperbolique.
Objectifs du problème et articulations entre les différentes parties
Ce problème porte sur l’étude de certains sous-ensembles de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), où \(n\) est un entier naturel non nul.
Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de l’ensemble \(\mathcal{N}_n\). Dans les parties II et III, on s’intéresse à des variables aléatoires réelles et matricielles à coefficients dans \(\{-1,1\}\). Dans la partie IV, on établit, à l’aide d’outils d’analyse et de probabilités, l’existence d’une famille de vecteurs unitaires de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) vérifiant certaines propriétés de nature euclidienne.
Les quatre parties du problème sont largement indépendantes les unes des autres. Cependant, le résultat de la question 9 est utilisé dans la sous-partie II.C, ceux des questions 14 et 16 sont utilisés dans la sous-partie II.D et celui de la question 19 dans la partie IV.
Démontrer que l’application \[\left|\begin{matrix}\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \to & \mathbb{R}\\ M & \mapsto & \mathrm{tr}(M)\end{matrix}\right.\] est une forme linéaire et que \[\forall(A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\right)^2,\ \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\]
Montrer que l’application \[\left|\begin{matrix}\left(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\right)^2 & \to & \mathbb{R}\\ (A,B) & \mapsto & \mathrm{tr}(A^{\top}B)\end{matrix}\right.\] est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
En déduire que si \(A\) est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^{\top}A=0\) alors \(A=0\).
Montrer que, si \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est nilpotente, alors \(0\) est une valeur propre de \(A\) et que c’est la seule valeur propre complexe de \(A\).
Déterminer la trace et le déterminant d’une matrice nilpotente de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Montrer que, si \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est nilpotente, alors \(M^2\) est nilpotente.
On suppose que \(M\) et \(N\) sont deux matrices nilpotentes qui commutent. Montrer que \(MN\) et \(M+N\) sont nilpotentes.
On suppose que \(M\), \(N\) et \(M+N\) sont nilpotentes. En calculant \((M+N)^2-M^2-N^2\), montrer que \(\mathrm{tr}(MN)=0\).
Démontrer qu’une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) est nilpotente si et seulement si \(\det(M)=\mathrm{tr}(M)=0\).
Montrer que la seule matrice réelle nilpotente et symétrique est la matrice nulle.
Soit \(A\) une matrice antisymétrique réelle et nilpotente. Montrer que \(A^{\top}A=0_n\), puis que \(A=0_n\).
On suppose \(n\geqslant3\). Donner un exemple de matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de trace nulle et de déterminant nul, mais non nilpotente.
Soit \((E_1,\dots,E_n)\) la base canonique de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). On note \(V=\displaystyle\sum_{k=1}^nE_k\).
Pour \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), exprimer \(E_i\) en fonction de \(V\) et de \(V-2E_i\). En déduire que \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})=\mathrm{Vect}(\mathcal{V}_{n,1})\). (L’ensemble \(\mathcal{V}_{n,p}\) a été défini dans les notations présentées au début du problème.)
Soient \(C_1,\dots,C_n\), \(n\) matrices colonnes de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), avec \(C_1\) non nulle.
Démontrer que, si la famille \((C_1,\dots,C_n)\) est liée, alors il existe un unique \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que \[\begin{cases} (C_1,\dots,C_j)\text{ est libre}\\ C_{j+1}\in\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_j) \end{cases}\]
Soit \(d\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \((U_1,\dots,U_d)\) une famille libre de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) et \(H=\mathrm{Vect}(U_1,\dots,U_d)\).
Démontrer qu’il existe des entiers \(i_1,\dots,i_d\) vérifiant \(1\leqslant i_1<\dots<i_d\leqslant n\) tels que l’application \[\left|\begin{matrix}H & \to & \mathcal{M}_{d,1}(\mathbb{R})\\ \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix} & \mapsto & \begin{pmatrix}x_{i_1}\\ \vdots\\ x_{i_d}\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\] soit bijective.
On pourra s’intéresser au rang de la matrice de \(\mathcal{M}_{n,d}(\mathbb{R})\) dont les colonnes sont \(U_1,\dots,U_d\).
Soit \(\mathcal{W}\) un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) de dimension \(d\). Démontrer que \[\mathrm{card}(\mathcal{W}\cap\mathcal{V}_{n,1})\leqslant2^d\]
On dit qu’une variable réelle \(X\) suit la loi \(\mathcal{R}\) si \[X(\Omega)=\{-1,1\},\qquad \mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{2}\]
Si \(X\) suit la loi \(\mathcal{R}\), préciser la loi de la variable aléatoire \(\frac{1}{2}(X+1)\).
Calculer l’espérance et la variance d’une variable suivant la loi \(\mathcal{R}\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles indépendantes, suivant chacune la loi \(\mathcal{R}\). Déterminer la loi de leur produit \(XY\).
Jusqu’à la fin de la partie II, \(n\) est un entier naturel non nul et \(m_{i,j}\) (\(1\leqslant i,j\leqslant n\)) sont \(n^2\) variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi \(\mathcal{R}\). La variable aléatoire matricielle \(M_n=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) est alors à valeurs dans \(\mathcal{V}_{n,n}\).
On pose \(\tau_n=\mathrm{tr}(M_n)\) et \(\delta_n=\det(M_n)\).
Calculer l’espérance et la variance de la variable \(\tau_n\).
Calculer l’espérance de la variable \(\delta_n\).
Démontrer que la variance de la variable \(\delta_n\) est égale à \(n!\)
On pourra développer \(\delta_n\) selon une rangée et raisonner par récurrence.
Dans le cas particulier \(n=2\), \(m_{11}\), \(m_{12}\), \(m_{21}\) et \(m_{22}\) sont quatre variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi \(\mathcal{R}\) et \(M_2=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\ m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}\).
Calculer la probabilité de l’événement \(M_2\in\mathcal{N}_2\).
Calculer la probabilité de l’événement \(M_2\in\mathcal{G}\ell_2(\mathbb{R})\).
L’objectif de cette sous-partie est de prolonger le dernier résultat de la partie précédente, en trouvant, dans le cas général où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\), un minorant de la probabilité de l’évènement \(M_n\in\mathcal{G}\ell_n(\mathbb{R})\).
On considère \(2n\) variables aléatoires réelles \(c_1,c_2,\dots,c_n\) et \(c'_1,c'_2,\dots,c'_n\) mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi \(\mathcal{R}\).
Soit \((\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\in\{-1,1\}^n\). Calculer \(\mathbb{P}\big((c_1=\varepsilon_1)\cap\dots\cap(c_n=\varepsilon_n)\big)\).
On considère les matrices colonnes aléatoires \(C=\begin{pmatrix}c_1\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix}\) et \(C'=\begin{pmatrix}c'_1\\ \vdots\\ c'_n\end{pmatrix}\).
Démontrer que, pour tout \(\omega\in\Omega\), la famille \(\big(C(\omega),C'(\omega)\big)\) est liée si et seulement s’il existe \(\varepsilon\in\{-1,1\}\) tel que \(C'(\omega)=\varepsilon C(\omega)\).
En déduire \(\mathbb{P}\big((C,C')\text{ est liée}\big)\).
On rappelle que \(m_{i,j}\) (\(1\leqslant i,j\leqslant n\)) sont \(n^2\) variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi \(\mathcal{R}\), que \(M_n=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) est la matrice aléatoire à valeurs dans \(\mathcal{V}_{n,n}\) dont, pour tout \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), le coefficient situé à la ligne \(i\) et la colonne \(j\) est égal à \(m_{i,j}\).
On note \[C_1=\begin{pmatrix}m_{11}\\ \vdots\\ m_{n1}\end{pmatrix},\dots,C_n=\begin{pmatrix}m_{1n}\\ \vdots\\ m_{nn}\end{pmatrix}\] les variables aléatoires à valeurs dans \(\mathcal{V}_{n,1}\) constituées par les colonnes de la matrice \(M_n\).
Pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(R_j\) l’événement \[(C_1,\dots,C_j)\text{ est libre et }C_{j+1}\in\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_j)\] et \(R_n\) l’événement \[(C_1,\dots,C_n)\text{ est libre}\]
Montrer que \((R_1,\dots,R_n)\) est un système complet d’événements.
Montrer que \[\mathbb{P}\big(M\notin\mathcal{G}\ell_n(\mathbb{R})\big)\leqslant\sum_{j=1}^{n-1}\mathbb{P}\big(C_{j+1}\in\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_j)\big)\]
Justifier que, pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \[\begin{gathered} \mathbb{P}\big(C_{j+1}\in\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_j)\big)\\ =\sum_{(v_1,\dots,v_j)\in\mathcal{V}_{n,1}^j}\mathbb{P}\big(C_{j+1}\in\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_j)\big)\,\mathbb{P}\big((C_1=v_1)\cap\dots\cap(C_j=v_j)\big) \end{gathered}\]
En déduire que, pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \[\mathbb{P}\big(C_{j+1}\in\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_j)\big)\leqslant2^{j-n}\]
En déduire que \[\mathbb{P}\big(M\in\mathcal{G}\ell_n(\mathbb{R})\big)\geqslant\frac{1}{2^{n-1}}\]
Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On définit une suite \((A_k)\) de matrices aléatoires d’ordre \(n\) à coefficients dans \(\{-1,1\}\) selon le procédé suivant :
on note \(A_0\) la matrice réelle d’ordre \(n\) dont tous les coefficients sont égaux à \(1\) ;
pour tout entier naturel \(k\), on construit la matrice \(A_{k+1}\) à partir de la matrice \(A_k\) en conservant chaque coefficient de \(A_k\) égal à \(-1\) et en changeant en \(-1\) avec la probabilité \(p\) chaque coefficient de \(A_k\) égal à \(1\). Chaque coefficient égal à \(1\) a donc la probabilité \(q=1-p\) de ne pas être modifié ;
le processus s’arrête quand la matrice obtenue est égale à \(-A_0\).
On suppose avoir utilisé l’instruction
import numpy as np, numpy.random as rd
pour charger les bibliothèques numpy et
numpy.random. Voici quelques fonctions de ces bibliothèques
qui peuvent être utiles dans cette partie :
np.ones((n, n)) crée un tableau numpy
de taille \(n\times n\) dont tous les
éléments valent \(1\) ;
A.shape est un tuple qui contient les dimensions du
tableau A ;
A.size donne le nombre total d’éléments du tableau
A ;
A.sum() renvoie la somme de tous les éléments du
tableau A ;
rd.binomial(1, p) simule une variable aléatoire
suivant la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
Écrire en Python une fonction modifie_matrice(p, A)
qui prend en argument une probabilité \(p\) et un tableau numpy représentant une
matrice \(A\in\mathcal{V}_{n,n}\).
Cette fonction modifie le tableau A selon le procédé décrit
ci-dessus.
En utilisant la fonction précédente, écrire en Python une
fonction nb_tours(p, n) qui prend en argument une
probabilité \(p\) et l’ordre \(n\) des matrices \(A_k\) et renvoie le plus petit entier \(k\) tel que \(A_k=-A_0\), en partant de la matrice \(A_0\).
Écrire en Python une fonction
moyenne_tours(p, n, nbe) qui prend en argument une
probabilité \(p\), l’ordre \(n\) des matrices \(A_k\) et un nombre entier nbe
et qui renvoie la moyenne, sur nbe essais effectués, du
nombre d’étapes nécessaires pour passer de \(A_0\) à \(-A_0\).
On suppose que \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(1\).
On désigne par \(I\) un sous-ensemble de \(\mathbb{N}\) ayant au moins deux éléments et par \(u=(u_i)_{i\in I}\) une suite de vecteurs unitaires de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).
Démontrer que le nombre réel \[C(u)=\sup\left\{\left| \langle u_i|u_j\rangle \right|,\ (i,j)\in I^2,\ i\neq j\right\}\] existe et appartient à l’intervalle \([0,1]\).
\(C(u)\) s’appelle paramètre de cohérence de la suite \((u_i)_{i\in I}\).
Montrer que si \(C(u)=0\), alors l’ensemble \(\{u_i,\ i\in I\}\) est fini et donner un majorant de son cardinal.
On se propose de démontrer que, pour tout entier naturel \(N\) inférieur ou égal à \(\exp\left(\frac{\varepsilon^2n}{4}\right)\), il existe une famille \(u\) de \(N\) vecteurs unitaires de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) vérifiant \(C(u)\leqslant\varepsilon\) où \(\varepsilon\) est un nombre réel de l’intervalle \([0,1]\). On dit alors que \(u\) est une famille « presque orthogonale ».
Démontrer que, pour tout nombre réel \(t\), \(\mathrm{ch}(t)\leqslant\exp\left(\frac{t^2}{2}\right)\).
Soient \(X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_n\) des variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi \(\mathcal{R}\) (définie dans la sous-partie II.B). On définit les vecteurs aléatoires, \(X=\frac{1}{\sqrt{n}}(X_1,\dots,X_n)^{\top}\) et \(Y=\frac{1}{\sqrt{n}}(Y_1,\dots,Y_n)^{\top}\) à valeurs dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).
Démontrer que, pour tout nombre réel \(t\), \[\mathbb{E}\big(\exp(t\langle X|Y\rangle)\big)=\left(\mathrm{ch}\left(\frac{t}{n}\right)\right)^n\]
En déduire que, pour pour tout nombre réel \(t\), \[\mathbb{E}\big(\exp(t\langle X|Y\rangle)\big)\leqslant\exp\left(\frac{t^2}{2n}\right)\]
Soient \(\sigma\) et \(\lambda\) deux nombres réels strictement positifs et \(Z\) une variable aléatoire réelle telle que \(\exp(tZ)\) est d’espérance finie et vérifie \[\forall t\in\mathbb{R},\ \mathbb{E}\big(\exp(tZ)\big)\leqslant\exp\left(\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)\]
En appliquant l’inégalité de Markov à une variable aléatoire bien choisie, démontrer que \[\forall t\in\mathbb{R}^+,\ \mathbb{P}(Z\geqslant\lambda)\leqslant\exp\left(\frac{\sigma^2t^2}{2}-\lambda t\right)\]
En déduire que \[\mathbb{P}(\left| Z \right|\geqslant\lambda)\leqslant2\exp\left(-\frac{\lambda^2}{2\sigma^2}\right)\]
Avec les notations et les hypothèses de la question 39, démontrer que \[\mathbb{P}(\left| \langle X|Y\rangle \right|\geqslant\varepsilon)\leqslant2\exp\left(-\frac{\varepsilon^2n}{2}\right)\]
\(N\) étant un entier naturel non nul, \((X^i_j)_{1\leqslant i\leqslant N,1\leqslant j\leqslant n}\) est une famille de \(n\times N\) variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes de même loi \(\mathcal{R}\). Pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), on pose \(X^i=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(X^i_1,\dots,X^i_n\right)^{\top}\).
Déduire des questions précédentes que \[\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\leqslant i<j\leqslant N}\left| \langle X^i|X^j\rangle \right|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant N(N-1)\exp\left(-\frac{\varepsilon^2n}{2}\right)\]
On suppose que \(n\geqslant4\frac{\ln N}{\varepsilon^2}\). Démontrer que \[\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\leqslant i<j\leqslant N}\left| \langle X^i|X^j\rangle \right|\geqslant\varepsilon\right)<1\]
En déduire que, pour tout entier naturel \(N\) inférieur ou égal à \(\exp\left(\frac{\varepsilon^2n}{4}\right)\), il existe une famille de \(N\) vecteurs unitaires de \(\mathbb{R}^n\) dont le paramètre de cohérence est majoré par \(\varepsilon\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet varié qui mêle algèbre linéaire et probabilités : propriétés des matrices nilpotentes et du produit scalaire (A, B) ↦ tr(AᵀB), puis matrices aléatoires à coefficients ±1 (probabilité d'être inversible, minoration par 1/2ⁿ⁻¹, simulation en Python) et enfin presque-orthogonalité de vecteurs aléatoires grâce à l'inégalité de Markov appliquée à une exponentielle.
Les dénombrements et la méthode probabiliste de la fin demandent du soin.