CCMP 2026 Maths 2PSI

La partie 1 permet d’obtenir un développement en série utilisé dans la partie 2.

La partie 2 n’utilise que le développement en série obtenu à la dernière question de la partie 1 et en est donc indépendante exceptée cette question. Cette partie 2 permet un calcul effectif de proche en proche des valeurs de la fonction zêta en un entier pair non nul à partir des nombres de Bernoulli.

La partie 3 est indépendante des parties 1 et 2. La partie 4 utilise les valeurs obtenues à la dernière question de la partie 2 et est donc indépendante des parties 1 et 2 exceptée cette question.

Dans les parties 3 et 4, on se donne un entier naturel non nul \(n\) et un entier naturel \(k\) vérifiant \(k\geqslant2\). On s’intéresse au tirage uniforme d’un entier dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et on détermine la probabilité \(q_n(k)\) que cet entier soit sans facteur à la puissance \(k\).
On montre enfin que à \(k\) fixé, la suite \(\big(q_n(k)\big)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est convergente et on détermine sa limite.

Partie 1 : Calcul de la somme \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+x^2}\)

1. Soit \(\theta\in\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z}\). Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[\sum_{k=1}^n\frac{\mathrm{e}^{ik\theta}}{k}=\int_0^1\mathrm{e}^{i\theta}\,\frac{1-\left(\mathrm{e}^{i\theta}t\right)^n}{1-\mathrm{e}^{i\theta}t}\,\mathrm{d}t\]

2. En déduire que pour \(\theta\in\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z}\), la série numérique \(\displaystyle\sum_{k\geqslant1}\frac{\mathrm{e}^{ik\theta}}{k}\) converge, et que : \[\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{ik\theta}}{k}=\int_0^1\frac{\mathrm{e}^{i\theta}}{1-\mathrm{e}^{i\theta}t}\,\mathrm{d}t\]

3. En déduire que pour \(\theta\in\left]0;\pi\right[\) , la série numérique \(\displaystyle\sum_{k\geqslant1}\frac{\sin(k\theta)}{k}\) converge et que : \[\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(k\theta)}{k}=\frac{\pi-\theta}{2}\]

   Indication : Pour \(\theta\in\left]0;\pi\right[\), on pourra introduire la fonction \(u_\theta : [0;1]\to\mathbb{R}\) définie par \[u_\theta(t)=\mathrm{Arctan}\left(\frac{t\sin(\theta)}{1-t\cos(\theta)}\right)\] et vérifier que \[\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(k\theta)}{k}=\int_0^1u_\theta'(t)\,\mathrm{d}t\]

4. Soit \(S\) la fonction numérique définie pour tout \(t\) réel par \(S(t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(nt)}{n^2}\).
   Justifier que \(S\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(S\) est également continue sur \(\mathbb{R}\).

5. En déduire que pour tout \(\theta\in\left[0;\pi\right[\), on a : \[S(\theta)=\frac{\theta^2}{4}-\frac{\pi\theta}{2}+S(0)\]

6. Pour tout \(x\) réel, on introduit la fonction numérique \(g_x\) bien définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[g_x(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(nt)}{n^2\left(n^2+x^2\right)}\]

   Justifier que pour tout \(x\) réel, la fonction \(t\mapsto g_x(t)\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\) et vérifie : \[\forall t\in\mathbb{R},\ g_x''(t)-x^2g_x(t)=-S(t)\]

7. Pour un réel \(x\) non nul fixé, déterminer une solution polynomiale \(t\mapsto P(t)\) de degré \(2\) de l’équation différentielle : \[(E_x) : \forall t\in\mathbb{R},\ y''(t)-x^2y(t)=-\frac{t^2}{4}+\frac{\pi t}{2}-S(0)\]

8. Pour tout réel \(x\), calculer \(g_x'(0)\) et \(g_x'(\pi)\). Pour \(x\) réel non nul, montrer que : \[g_x''(0)=-\frac{\pi}{2x}\times\frac{1+\mathrm{e}^{-2\pi x}}{1-\mathrm{e}^{-2\pi x}}+\frac{1}{2x^2}\]

9. En déduire que pour tout réel \(x\) non nul : \[\frac{2\pi x}{\mathrm{e}^{2\pi x}-1}=1-\pi x+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2x^2}{n^2+x^2}\]

Partie 2 : Développement en série entière de \(x\mapsto\dfrac{x}{\mathrm{e}^x-1}\) et applications

On introduit la fonction \(h\), définie sur \(\mathbb{R}\), par : \[h : x\longmapsto\begin{cases}\dfrac{x}{\mathrm{e}^x-1} & \text{si } x\neq0\\[2mm] 1 & \text{si } x=0\end{cases}\]

On rappelle également que la fonction zêta de Riemann est définie sur \(\left]1;{+\infty}\right[\) par : \[\zeta : s\longmapsto\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\]

10. Soient \(x\in\left]-1;1\right[\) et deux entiers naturels \(N\) et \(n\) avec \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer que : \[\frac{1}{x^2+n^2}=\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^N\left(\frac{-x^2}{n^2}\right)^k\right)+R_{N,n}(x)\] où \(R_{N,n}(x)=(-1)^{N+1}\dfrac{1}{x^2+n^2}\times\dfrac{x^{2N+2}}{n^{2N+2}}\), et justifier que \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left| R_{N,n}(x) \right|\leqslant\zeta(2N+2)\left| x \right|^{2N+2}\]

11. Après avoir justifié que \(\displaystyle\lim_{s\to{+\infty}}\zeta(s)=1\), en déduire que pour \(x\in\left]-1;1\right[\) : \[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^2}{x^2+n^2}=\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\zeta(2k)\,x^{2k}\]

12. En déduire que la fonction \(h\) est développable en série entière, et que pour tout \(x\in\left]-2\pi;2\pi\right[\) : \[h(x)=1-\frac{1}{2}x+\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\frac{\zeta(2k)}{2^{2k-1}\pi^{2k}}\,x^{2k}\]

    Pour tout \(k\) entier naturel, on pose : \(b_k=h^{(k)}(0)\).
    Déterminer alors \(b_0\) et \(b_1\). De plus, si \(k\) est un entier naturel non nul, déterminer \(b_{2k}\) ainsi que \(b_{2k+1}\).

13. Justifier que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{b_k}{k!(n+1-k)!}=0\).
    Indication : On pourra remarquer que pour \(x\) réel non nul : \(\dfrac{x}{\mathrm{e}^x-1}\times\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1\).

14. À l’aide des valeurs de \(b_0\) et \(b_1\) calculées précédemment et de la question 13 \(\triangleright\), calculer \(b_2\) et \(b_4\).
    En utilisant la question 12 \(\triangleright\), déterminer les valeurs \(\zeta(2)\) et \(\zeta(4)\).

Partie 3 : Probabilité qu’un entier naturel choisi au hasard et uniformément dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) soit sans facteur à la puissance \(k\)

• On note \(\mathcal{P}\) l’ensemble des nombres premiers. On ordonne \(\mathcal{P}\) par ordre croissant, et on note \(p_n\) le \(n\)-ième nombre premier. Ainsi, par exemple, \(p_1=2\), \(p_2=3\), \(p_3=5\) et \(p_7=17\).

• Soit \(k\) un entier naturel non nul tel que \(k\geqslant2\).
  On dit qu’un entier naturel \(n\) non nul est sans facteur à la puissance \(k\) si : \[\left\{p\in\mathcal{P},\ p^k\mid n\right\}=\varnothing\]

  Lorsque \(n\neq1\), cela revient à dire que si \(n\) s’écrit \(n=\displaystyle\prod_{k=1}^rq_i^{\alpha_i}\) avec des facteurs premiers \(q_i\) tous distincts, alors pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\), on a \(\alpha_i\leqslant k-1\).

15. Soit \(r\in\mathbb{N}^\ast\). Montrer que pour tout \(r\)-uplet de réels \((x_1,x_2,\dots,x_r)\) : \[\prod_{i=1}^r(1+x_i)=1+\sum_{m=1}^r\left(\sum_{1\leqslant i_1<\dots<i_m\leqslant r}x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_m}\right)\] où la notation \(\displaystyle\sum_{1\leqslant i_1<\dots<i_m\leqslant r}\) désigne la somme sur tous les \(m\)-uplets \(\left(x_{i_1},x_{i_2},\cdots,x_{i_m}\right)\) de \(\mathbb{R}^m\) qui vérifient \(1\leqslant i_1<\dots<i_m\leqslant r\).

Pour les deux prochaines questions 16 \(\triangleright\) et 17 \(\triangleright\), on se donne un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

16. Soient \(A,A_1,A_2,\dots,A_m\in\mathcal{A}\). Montrer que \(\mathbf{1}_{\bar{A}}=1-\mathbf{1}_A\), où \(\mathbf{1}_A\) désigne l’indicatrice de \(A\).
    De même, montrer que \(\mathbf{1}_{A_1}\mathbf{1}_{A_2}\cdots\mathbf{1}_{A_m}=\mathbf{1}_{A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_m}\).

17. En déduire que si \(A_1,A_2,\dots,A_r\in\mathcal{A}\), alors : \[\mathbb{P}\left(A_1\cup A_2\cdots\cup A_r\right)=\sum_{m=1}^r(-1)^{m+1}\left(\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_m\leqslant r}\mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_m}\right)\right)\]

    Indication : On pourra utiliser les questions 15 \(\triangleright\) et 16 \(\triangleright\) et se souvenir que pour un événement \(A\), on a \(\mathbb{P}(A)=\mathbb{E}(\mathbf{1}_A)\).

Pour toute la suite de cette partie, on se donne un entier naturel \(n\) non nul et on note \(p_r\) le plus grand nombre premier inférieur ou égal à \(n\).
On a donc \(p_1<p_2<\ldots<p_r\leqslant n\) et \(p_{r+1}>n\).

On se donne également un entier \(k\) tel que \(k\geqslant2\).

On s’intéresse au tirage d’un entier au hasard dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) selon la loi uniforme.
On munit \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) de la probabilité uniforme \(\mathbb{P}_n\) et on note : \[S_n(k)=\left\{m\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] : \forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right],\ p_j^k\nmid m\right\}\]

On pose \(q_n(k)=\mathbb{P}_n\big(S_n(k)\big)\) qui représente donc la probabilité que l’entier choisi soit sans facteur à la puissance \(k\).

Pour \(d\in\mathbb{N}^\ast\), on pose \(A_n(d)=\left\{j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] : d\mid j\right\}\).

18. Justifier que : \(q_n(k)=1-\mathbb{P}_n\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^rA_n\left(p_i^k\right)\right)\). En déduire que : \[q_n(k)=1+\sum_{m=1}^r\ \sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_m\leqslant r}(-1)^m\,\mathbb{P}_n\left(A_n\left(p_{i_1}^kp_{i_2}^k\dots p_{i_m}^k\right)\right)\]

La fonction de Möbius \(\mu : \mathbb{N}^\ast\to\{-1;0;1\}\) est la fonction définie par \[\mu(m)=\begin{cases}1 & \text{si } m=1\\ (-1)^q & \text{si $m$ est le produit de $q$ nombres premiers distincts avec $q\in\mathbb{N}^\ast$}\\ 0 & \text{sinon, c'est à dire si $m$ contient au moins un facteur carré}\end{cases}\]

19. Justifier que : \[q_n(k)=\frac{1}{n}\sum_{d=1}^{+\infty}\mu(d)\left\lfloor \frac{n}{d^k} \right\rfloor\]

20. Montrer que la suite \(\big(q_n(k)\big)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est convergente et qu’elle converge vers \(\ell=\displaystyle\sum_{d=1}^{+\infty}\frac{\mu(d)}{d^k}\).

    Indication : on pourra introduire la suite de fonctions \((f_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\), où chaque \(f_n\) est constante par morceaux sur \(\left[1;{+\infty}\right[\) et est définie par : \[\forall d\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall t\in\left[d;d+1\right[,\ f_n(t)=\frac{1}{n}\mu(d)\left\lfloor \frac{n}{d^k} \right\rfloor\] et chercher à utiliser le théorème de convergence dominée.

Partie 4 : Calcul de la somme \(\displaystyle\sum_{d=1}^{+\infty}\frac{\mu(d)}{d^k}\)

Pour les questions 21 \(\triangleright\) et 22 \(\triangleright\), on se donne un réel \(s>1\) et on pose pour \(i\in\mathbb{N}^\ast\) : \[u_i=\frac{\mu(i)}{i^s},\quad v_i=\frac{1}{i^s}\]

De plus, pour \(N\in\mathbb{N}^\ast\), on pose \(E_N=\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2\) et \(F_N=\left\{(i,j)\in E_N,\ ij\leqslant N\right\}\) et on définit \[w_N=\sum_{d\mid N}\left| u_d \right|\,v_{\frac{N}{d}} \quad\text{et}\quad S_N=\sum_{m=1}^Nw_m\]

21. Pour \(N\in\mathbb{N}^\ast\), justifier que \(F_N\subset E_N\subset F_{N^2}\), et montrer que la suite \((S_N)_{N\in\mathbb{N}^\ast}\) converge.
    En déduire que : \[\sum_{m=1}^{+\infty}\left(\sum_{d\mid m}\left| u_d \right|\,v_{\frac{m}{d}}\right)=\left(\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{\left| \mu(i) \right|}{i^s}\right)\left(\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{j^s}\right)\] où \(\displaystyle\sum_{d\mid m}\) désigne la somme sur tous les entiers naturels divisant \(m\).

22. Pour \(N\in\mathbb{N}^\ast\), justifier que : \[\left| \left(\sum_{i=1}^Nu_i\right)\left(\sum_{j=1}^Nv_j\right)-\sum_{m=1}^N\left(\sum_{d\mid m}u_d\,v_{\frac{m}{d}}\right) \right|\leqslant\sum_{(i,j)\in E_N}\left| u_i \right|\,v_j-\sum_{(i,j)\in F_N}\left| u_i \right|\,v_j\]

    En déduire que : \[\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^s}\left(\sum_{d\mid m}\mu(d)\right)=\left(\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{\mu(i)}{i^s}\right)\left(\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{j^s}\right)\]

23. Pour \(m\in\mathbb{N}^\ast\), montrer que \(\displaystyle\sum_{d\mid m}\mu(d)=\begin{cases}1 & \text{si } m=1\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}\).

24. En utilisant les questions 22 \(\triangleright\) et 23 \(\triangleright\), en déduire que pour \(s>1\), on a : \[\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{\mu(i)}{i^s}=\frac{1}{\zeta(s)}\]

25. Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to{+\infty}}q_n(k)=\frac{1}{\zeta(k)}\).
    En particulier, préciser les valeurs de \(\displaystyle\lim_{n\to{+\infty}}q_n(2)\) et \(\displaystyle\lim_{n\to{+\infty}}q_n(4)\).