Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Solutions périodiques d’équations différentielles
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2026, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
On note \(\mathbb{R}\) le corps des nombres réels, \(\mathbb{N}\) l’ensemble des entiers naturels.
On désigne par \(\mathbf{B}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles bornées sur \(\mathbb{R}\) et par \(\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R})\) celui des fonctions deux fois continûment dérivables sur \(\mathbb{R}\).
Dans tout le problème, \((E)\) désigne l’équation différentielle : \[y''+b(x)y=c(x) \qquad (E)\] où \(b,c\) sont deux fonctions continues et \(2\pi\) périodiques sur \(\mathbb{R}\).
On note \((EH)\) l’équation homogène associée : \[y''+b(x)y=0 \qquad (EH)\]
On appellera solutions de \((E)\) ou de \((EH)\) les fonctions satisfaisant ces équations différentielles et qui sont définies sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
On note \(\mathcal{S}(E)\) l’ensemble des solutions de \((E)\), autrement dit : \[\mathcal{S}(E)=\left\{f\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}),\ \forall x\in\mathbb{R},\ f''(x)+b(x)f(x)=c(x)\right\}\]
De même on note \(\mathcal{S}(H)\) l’espace vectoriel des solutions de \((EH)\).
Le problème se propose d’étudier l’existence de solutions bornées ou de solutions périodiques à l’équation \((E)\).
On admettra que toute fonction continue et périodique sur \(\mathbb{R}\) est bornée.
Pour toute fonction \(f\in\mathbf{B}(\mathbb{R},\mathbb{R})\), la norme infinie de \(f\) est : \[\left\| f \right\|=\sup_{t\in\mathbb{R}}\left| f(t) \right|\]
On rappelle qu’on définit ainsi une norme sur l’espace vectoriel \(\mathbf{B}(\mathbb{R},\mathbb{R})\).
Enfin, on note \(\mathcal{B}(E)\) l’ensemble des solutions bornées de \((E)\) et \(\mathcal{B}(H)\) l’ensemble des solution bornées de \((EH)\).
Démontrer que \(\mathcal{B}(H)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{S}(H)\).
Lorsque l’équation \((E)\) possède une solution bornée \(f_0\), vérifier que les éléments de \(\mathcal{B}(E)\) sont les fonctions de la forme \(f_0+g\) où \(g\) est un élément de \(\mathcal{B}(H)\).
Soit \(f\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R})\). On note \(T(f)\) la fonction définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ T(f)(x)=f(x+2\pi)\]
Démontrer que si \(f\) est une solution de \((E)\) alors \(T(f)\) est aussi solution de \((E)\)
On suppose que \(f\) est une solution de \((E)\) qui vérifie les deux conditions : \[f(0)=f(2\pi) \quad\text{et}\quad f'(0)=f'(2\pi)\]
Démontrer que la fonction \(f\) est \(2\pi\) périodique.
Indication : considérer la fonction \(h\) définie par \(\forall x\in\mathbb{R},\ h(x)=T(f)(x)-f(x)\)
Dans cette partie, \(\omega\) est un réel strictement positif et différent de 1.
On fait les hypothèses : \(\forall x\in\mathbb{R},\ b(x)=\omega^2\) et \(c(x)=\cos(x)\).
L’équation \((E)\) s’écrit donc : \[y''+\omega^2y=\cos(x)\]
Déterminer un nombre réel \(d\) tel que la fonction définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_0(x)=d\cos(x)\] soit solution de \((E)\) et déterminer les solutions \(u\) et \(v\) de \((EH)\) satisfaisant les conditions \[\begin{cases} u(0)=1 & v(0)=0\\ u'(0)=0 & v'(0)=1 \end{cases}\]
Expliciter les ensembles \(\mathcal{S}(E)\) et \(\mathcal{B}(E)\).
Dans les trois questions qui suivent, on suppose que \(f\) est une solution périodique de \((E)\). On note \(T\) une période de \(f\).
Montrer qu’il existe un entier \(k\in\mathbb{N}^\ast\) tel que \(T=2k\pi\)
Soient \(A,B\) les deux réels tels que \(f=f_0+Au+Bv\).
Démontrer que \(A\), \(B\) sont solutions du système linéaire : \[\begin{cases} \big(\cos(2k\pi\omega)-1\big)A+\dfrac{\sin(2k\pi\omega)}{\omega}B=0\\[3mm] -\omega\sin(2k\pi\omega)A+\big(\cos(2k\pi\omega)-1\big)B=0 \end{cases}\]
En calculant le déterminant de la matrice \[M=\begin{pmatrix} \cos(2k\pi\omega)-1 & \frac{\sin(2k\pi\omega)}{\omega}\\ -\omega\sin(2k\pi\omega) & \cos(2k\pi\omega)-1 \end{pmatrix}\] démontrer que si \(\omega\) n’est pas un nombre rationnel, la seule solution périodique de \((E)\) est \(f_0\).
Déterminer une période commune à toutes les solutions lorsque \(\omega\) s’écrit sous la forme \(\omega=\dfrac{p}{q}\) pour \(p,q\in\mathbb{N}^\ast\).
Dans cette partie on suppose que \(\forall x\in\mathbb{R},\ b(x)=-\big(1+\cos(x)\big)\) et \(c\) est une fonction continue \(2\pi\) périodique quelconque. L’équation \((EH)\) s’écrit donc : \[y''-\big(1+\cos(x)\big)y=0\]
Soit \(g\) une solution de \((EH)\). Établir que \(g^2\) est une fonction convexe.
En déduire que la fonction nulle est la seule solution bornée de \((EH)\)
On pourra admettre qu’une fonction convexe non constante n’est pas majorée sur \(\mathbb{R}\)
Démontrer que l’équation \((E)\) possède au plus une solution bornée.
Prouver que si \((E)\) possède une solution bornée, alors elle possède une solution \(2\pi\) périodique.
Dans cette partie on suppose toujours que \(\forall x\in\mathbb{R},\ b(x)=-\big(1+\cos(x)\big)\).
L’équation \((E)\) est donc : \[y''-\big(1+\cos(x)\big)y=c(x)\]
On se propose d’établir l’existence d’une solution périodique à l’équation \((E)\) pour une grande classe de fonctions \(c\) continues et \(2\pi\) périodiques.
On admet qu’il existe une suite réelle bornée \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) vérifiant les conditions : \[\begin{cases} \forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\},\ (n^2+1)a_n+\frac{1}{2}(a_{n+1}+a_{n-1})=0\\ 4a_1+a_2=-2 \end{cases}\]
Soit \(M\) un nombre réel tel que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) on ait : \(\left| a_n \right|\leqslant M\).
Démontrer que les séries \(\sum a_n\) et \(\sum n^2a_n\) sont absolument convergentes.
On pose pour tout \(x\) réel \[g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\sin(nx)\]
Démontrer que \(g\) est une solution de l’équation différentielle \[y''-\big(1+\cos(x)\big)y=\sin(x)\]
Pour \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(s_n\) la fonction \(x\mapsto\sin(nx)\). Pour tout \(N\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(\mathcal{P}_N\) le sous espace vectoriel de \(\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R})\) engendré par les fonctions \(s_1,\dots,s_N\). C’est l’ensemble des fonctions de la forme \[p(x)=\sum_{k=1}^N\beta_k\sin(kx)\] avec \(\beta_1,\dots,\beta_N\) réels.
On note \(\mathcal{P}\) la réunion des espaces vectoriels \(\mathcal{P}_N\) pour \(N\in\mathbb{N}^\ast\). \(\mathcal{P}\) est donc l’espace vectoriel engendré par la famille \((s_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\)
Démontrer que pour tout entier \(N\in\mathbb{N}^\ast\), la famille \((s_1,\dots,s_N)\) est une base de \(\mathcal{P}_N\).
Une méthode possible, mais non imposée, consiste à calculer pour \(n,m\in\mathbb{N}^\ast\), \(n\neq m\), l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{2\pi}s_n(t)s_m(t)\,\mathrm{d}t\)
On note \(L\) l’application linéaire définie sur \(\mathcal{P}\) par \[\forall x\in\mathbb{R},\ \forall p\in\mathcal{P},\ L(p)(x)=p''(x)-\big(1+\cos(x)\big)p(x)\]
Pour tout entier \(n\geqslant1\), exprimer \(L(s_n)\) en fonction de \(s_n\), \(s_{n+1}\) et \(s_{n-1}\) (par convention \(s_0=0\)).
Démontrer que \(L\) est un endomorphisme injectif de \(\mathcal{P}\) et que la fonction \(s_1\) n’est pas dans l’image de \(L\).
Déduire des questions précédentes que l’on a pour tout \(N\geqslant1\) l’égalité : \[L(\mathcal{P}_N)\oplus\mathcal{P}_1=\mathcal{P}_{N+1}\]
On suppose que la fonction \(c\), second membre de l’équation \((E)\), est un élément de \(\mathcal{P}\).
Démontrer que \((E)\) possède une solution périodique.
Dans cette partie on revient au cas général où les fonctions \(b\) et \(c\) sont deux fonctions \(2\pi\) périodiques continues sur \(\mathbb{R}\). On fait l’hypothèse que la fonction \(c\) n’est pas identiquement nulle. On se propose de démontrer le théorème suivant :
Théorème : Si l’équation \((E)\) possède une solution \(f_0\) telle que les deux fonctions \(f_0\) et \(f_0'\) soient bornées sur \(\mathbb{R}\), alors elle possède une solution périodique.
On fait donc l’hypothèse que \((E)\) possède une telle solution \(f_0\).
On pose \(M_0=\left\| f_0 \right\|\) et \(M_1=\left\| f_0' \right\|\)
On rappelle que \(\mathcal{B}(E)\) désigne l’ensemble de toutes les solutions bornées de \((E)\). On définit l’ensemble \(\mathcal{A}\) suivant : \[\mathcal{A}=\left\{f\in\mathcal{B}(E),\ \left\| f \right\|\leqslant M_0\right\}\]
Préciser un sous-espace vectoriel \(\mathcal{H}\) de \(\mathbf{B}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) de dimension finie contenant \(\mathcal{A}\). Démontrer que \(\mathcal{A}\) est une partie fermée bornée non vide de \(\mathcal{H}\).
On note \(\alpha\) la borne inférieure du sous-ensemble \(\mathcal{I}\) de \(\mathbb{R}\) défini par \[\mathcal{I}=\left\{\left| f(2\pi)-f(0) \right|+\left| f'(2\pi)-f'(0) \right|,\ f\in\mathcal{A}\right\}\]
Démontrer que \(\alpha\) est bien défini et qu’il existe \(f_1\in\mathcal{A}\) tel que \[\alpha=\left| f_1(2\pi)-f_1(0) \right|+\left| f_1'(2\pi)-f_1'(0) \right|\]
Démontrer que l’on a pour tout \(n\in\mathbb{N}\) l’inégalité \(\alpha\leqslant\dfrac{2(M_0+M_1)}{n+1}\)
Indication : on utilisera la fonction \(g_n\) définie pour tout \(x\) réel par \[g_n(x)=\frac{1}{n+1}\big(f_0(x)+f_0(x+2\pi)+\dots+f_0(x+2n\pi)\big)=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nT^k(f_0)(x)\]
En utilisant les résultats précédents, démontrer que \((E)\) possède une solution périodique.
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un problème complet sur l'existence de solutions périodiques de y'' + b(x)y = c(x), jusqu'à un théorème général de type Massera, avec des outils variés : convexité, séries trigonométriques, compacité en dimension finie.
L'unicité pour le problème de Cauchy, hors programme PC, est démontrée dans le corrigé.