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Autour de \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) et \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\)
Durée de l’épreuve : 4 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2026, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Soit \(n\geqslant2\) un entier, on note : \[\mathrm{O}_n(\mathbb{R})=\left\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ M^\top M=I_n\right\} \quad\text{et}\quad \mathrm{SL}_n(\mathbb{R})=\left\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ \det(M)=1\right\}\]
On note \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})=\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\cap\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\). Par la suite, on notera \(E=\mathbb{R}^n\) et \(\left\| x \right\|\) la norme euclidienne usuelle d’un vecteur \(x\in E\). On rappelle que \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) est un groupe multiplicatif et que \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\) en est un sous-groupe. La notation \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(M)\) désigne l’ensemble des valeurs propres complexes d’une matrice \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).
En dehors des notations, les quatre parties de ce problème sont largement indépendantes.
Pour tout \(\theta\in\mathbb{R}\), on note : \[R_\theta=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}\]
Examiner sa diagonalisabilité sur \(\mathbb{R}\), puis sur \(\mathbb{C}\).
Prouver que \(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})=\left\{R_\theta,\ \theta\in\mathbb{R}\right\}\), autrement que par une simple référence au cours.
Montrer que \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) est un ensemble compact et non connexe par arcs.
Prouver que \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\) est connexe par arcs (on pourra commencer par le cas \(n=2\)).
Prouver que, si \(H\) est un sous-groupe multiplicatif de \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) contenant \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\), alors \(H=\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\) ou \(H=\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\).
Soient \(p\in\left]0,1\right[\), \(Y=\left(Y_{i,j}\right)_{(i,j)\in(\mathbb{N}^\ast)^2}\) une famille de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})\), indépendantes et de même loi donnée par \(Y_{1,1}\hookrightarrow\mathcal{B}(p)\). On définit alors la matrice à coefficients aléatoires : \[\forall\omega\in\Omega,\ Z_n(\omega)=\left(Y_{i,j}(\omega)\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\]
Calculer les probabilités : \(\mathbb{P}\big(Z_2\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\big)\), \(\mathbb{P}\big(Z_n\in\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\big)\), puis \(\mathbb{P}\big(Z_n\in\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\big)\).
Soient \(x,y\) dans \(E\) tels que \(\left\| x \right\|=\left\| y \right\|\). Montrer qu’il existe une matrice de réflexion \(A\) telle que \(Ax=y\).
Soit \(\mathcal{G}\) un sous-groupe compact de \(\big(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\times\big)\), tel que \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\subset\mathcal{G}\). Soient \(G\in\mathcal{G}\) et \(x\in E\) tel que \(\left\| x \right\|=1\). Prouver que, pour tout \(p\in\mathbb{Z}\), il existe \(G_p\in\mathcal{G}\) tel que : \[G_p\,x=\left\| Gx \right\|^p\cdot x\] (on pourra tout d’abord traiter le cas \(p=1\)).
Conclure que \(\mathcal{G}=\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\).
On note \(f : M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\longmapsto M^\top M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Prouver que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et exprimer sa différentielle \(\mathrm{d}f(M)\) en tout \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
On note \(T\) l’espace tangent à \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) en \(I_n\), c’est-à-dire l’ensemble des matrices \(H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles qu’il existe \(\varepsilon>0\) et \(\gamma : \left]-\varepsilon;\varepsilon\right[\to\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) dérivable en \(0\) vérifiant \(\gamma(0)=I_n\) et \(\gamma'(0)=H\). Montrer que \(T\) est inclus dans l’ensemble des matrices antisymétriques.
Prouver que \(T\) est stable par somme, puis qu’il possède une structure d’espace vectoriel.
Déterminer l’ensemble \(T\).
On introduit \(g\) (carré de la norme euclidienne usuelle sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)) : \[g : M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\longmapsto\mathrm{tr}\left(M^\top M\right)\in\mathbb{R}\]
Prouver que la restriction de \(g\) à \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) ne possède pas de maximum global.
Prouver que \(g\) et l’application \(\det : M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\longmapsto\det(M)\in\mathbb{R}\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et déterminer leur gradient en tout \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) (en particulier, on justifiera que \(\nabla\det(M)=\mathrm{Com}(M)\) : comatrice de \(M\)).
On suppose que la restriction de \(g\) à \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) admet un extremum local en \(M\). Prouver qu’il existe \(\lambda\in\mathbb{R}\) tel que \(M=\lambda\cdot\mathrm{Com}(M)\), puis que \(M\in\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\).
Prouver que la restriction de \(g\) à \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) possède un minimum global, puis calculer ce minimum ainsi que les points où il est atteint.
On note \(\mathbb{U}=\left\{z\in\mathbb{C},\ \left| z \right|=1\right\}\), on pourra utiliser librement le fait que \(\mathbb{U}\) est un groupe multiplicatif compact. Dans tout ce qui suit, \(\varphi\) désignera un morphisme de groupes continu du groupe multiplicatif \(\mathbb{U}\) dans le groupe multiplicatif \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\).
Déterminer les sous-groupes bornés du groupe multiplicatif \(\mathbb{R}^\ast\). En déduire que \(\varphi(\mathbb{U})\subset\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\).
Soit \(z\in\mathbb{U}\). Prouver que \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}\big(\varphi(z)\big)\subset\mathbb{U}\).
On note \(\Psi : x\in\mathbb{R}\longmapsto\varphi\left(\mathrm{e}^{ix}\right)\). Prouver que : \[\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ \Psi(x+y)=\Psi(x)\Psi(y)\]
Le but de ce qui suit est de donner (question 29 \(\triangleright\)) une forme générale pour \(\Psi\), impliquant l’ensemble \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\).
On introduit : \[F : x\in\mathbb{R}\longmapsto\int_0^x\Psi(t)\,\mathrm{d}t\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\]
Prouver que \(F\) est une application \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et qu’il existe \(\alpha>0\) tel que \(F(x)\) est inversible si \(x\in[-\alpha;\alpha]\setminus\{0\}\) ; on pourra, en justifiant, utiliser le fait que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Prouver que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[\Psi(x)=\left(\int_x^{x+\alpha}\Psi(t)\,\mathrm{d}t\right)\big(F(\alpha)\big)^{-1}\] en déduire que \(\Psi\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\).
On pose \(M=\Psi'(0)\). Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Psi(x)=\varphi\left(\mathrm{e}^{ix}\right)=\exp(xM)\]
On reprend les notations de la section précédente, dont on pourra admettre le résultat de la question 23 \(\triangleright\).
Soient \(A,B\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On suppose que \(A\) et \(B\) sont semblables dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). Prouver que \(A\) et \(B\) sont semblables dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) une matrice nilpotente et non nulle. Montrer que \(\ker(N)\neq\ker\left(N^2\right)\).
Calculer \(\exp(2\pi M)\), en déduire que \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(M)\subset\left\{ik,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\).
Justifier que \(M\) est semblable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) à une matrice de la forme \(D+N\) avec : \(D\) diagonale, \(N\) nilpotente, \(DN=ND\) et \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(D)=\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(M)\).
Calculer \(\exp(2\pi D)\) et \(\exp(2\pi N)\), puis montrer que \(N\) est nulle.
Prouver qu’il existe \(Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), \(p\in\mathbb{N}\), \(k_1,\dots,k_p\) dans \(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\), tels que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Psi(x)=Q\begin{pmatrix} R_{xk_1} & & & & & (\mathbf{0})\\ & \ddots & & & & \\ & & R_{xk_p} & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & & \ddots & \\ (\mathbf{0}) & & & & & 1 \end{pmatrix}Q^{-1}\] la matrice du milieu étant diagonale par blocs et la notation \(R_\theta\) ayant été définie à la question 1.
Réciproquement, prouver que la définition précédente fait de \(\Psi\) un morphisme de groupes de \((\mathbb{R},+)\) dans \(\big(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\times\big)\).
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet long et varié autour du groupe orthogonal : compacité et connexité par arcs, optimisation sous contrainte sur SL_n(R), puis morphismes continus de U dans GL_n(R) via l'exponentielle de matrice.
Les quatre parties sont largement indépendantes.