Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Équation d’Euler-Lagrange et quelques applications
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2026, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Les lettres \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{R}\) désignent respectivement l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des nombres réels.
Soit \((E,\left\| \cdot \right\|)\) un \(\mathbb{R}\) espace vectoriel normé. Soit \(A\) une partie non vide de \(E\). Soit \(T : A \to \mathbb{R}\) une application. Soit \(x_0\in A\). On dit que \(T\) admet un minimum local (resp. un maximum local) en \(x_0\) si : \[\exists r>0,\ \forall x\in A,\quad \left(\left\| x-x_0 \right\|\leqslant r\right) \Longrightarrow \Big(T(x)\geqslant T(x_0)\ \ \big(\text{resp. } T(x)\leqslant T(x_0)\big)\Big)\]
Un minimum ou un maximum local sera appelé un extremum local de \(T\).
Dans tous les espaces fonctionnels rencontrés dans le sujet, la norme utilisée est la norme \(\left\| \cdot \right\|_\infty\).
Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) deux réels tels que \(a<b\). Soit \(f : [a,b]\to\mathbb{R}\) une fonction continue telle que pour toute fonction \(h\in\mathcal{C}^\infty([a,b],\mathbb{R})\) vérifiant \(h(a)=h(b)=0\), on a : \[\int_a^b f(x)\,h(x)\,\mathrm{d}x = 0\]
Le but de cette partie est de montrer que \(f\) est nulle sur \([a,b]\).
Soit la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[\varphi(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{-1/x} & \text{si } x>0\\ 0 & \text{si } x\leqslant 0 \end{cases}\]
Justifier que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), il existe une fonction polynomiale \(P_n\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) telle que \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \varphi^{(n)}(x)=P_n\!\left(\frac{1}{x}\right)\mathrm{e}^{-1/x}\]
En déduire que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\).
Soient \(c<d\) deux réels. Construire une fonction \(\psi_{c,d}\) définie et de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), telle que \(\psi_{c,d}(x)>0\) pour tout \(x\in\left]c,d\right[\) et \(\psi_{c,d}(x)=0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\setminus\left]c,d\right[\).
En déduire que \(f\) est nulle sur \([a,b]\).
Soient \(U\) et \(V\) deux ouverts de \(\mathbb{R}\) non vides. Soient \(x_A\) et \(x_B\) deux réels tels que \(x_A<x_B\). Soit \(f : [x_A,x_B]\times U\times V\to\mathbb{R}\) une fonction, continue sur \([x_A,x_B]\times U\times V\) et de classe \(\mathcal{C}^2\) sur l’ouvert \(\left]x_A,x_B\right[\times U\times V\). Soient \(y_0\) et \(y_1\) deux réels fixés de \(U\).
On introduit également l’ensemble \(\mathcal{C}\) des fonctions \(y : [x_A,x_B]\to\mathbb{R}\) des fonctions de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([x_A,x_B]\) telles que \(y(x_A)=y_0\), \(y(x_B)=y_1\) et \[\forall x\in[x_A,x_B],\ y(x)\in U \quad\text{et}\quad y'(x)\in V\]
Soit enfin l’application \(T\) définie sur \(\mathcal{C}\) par : \[\forall y\in\mathcal{C},\ T(y)=\int_{x_A}^{x_B} f\big(x,y(x),y'(x)\big)\,\mathrm{d}x\]
Justifier que \(T(y)\) existe bien pour tout \(y\in\mathcal{C}\).
On suppose que \(T\) admet un extremum local en \(z_0\in\mathcal{C}\). Soit \(\eta : [x_A,x_B]\to\mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que \(\eta(x_A)=\eta(x_B)=0\). Pour \(\varepsilon\in\mathbb{R}\), on introduit la fonction \(y_\varepsilon\) définie sur \([x_A,x_B]\) par \(y_\varepsilon(x)=z_0(x)+\varepsilon\,\eta(x)\).
Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que pour tout \(\varepsilon\in\left]-\alpha,\alpha\right[\), \(y_\varepsilon\in\mathcal{C}\). On pourra raisonner par l’absurde et utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass.
On introduit sur \(\left]-\alpha,\alpha\right[\) la fonction \(\varphi\) par \[\forall\varepsilon\in\left]-\alpha,\alpha\right[,\ \varphi(\varepsilon)=\int_{x_A}^{x_B} f\big(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x)\big)\,\mathrm{d}x\]
Montrer que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\left]-\alpha,\alpha\right[\) et que \[\forall\varepsilon\in\left]-\alpha,\alpha\right[,\ \varphi'(\varepsilon)=\int_{x_A}^{x_B}\left(\eta(x)\,\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x)\big)+\eta'(x)\,\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x)\big)\right)\mathrm{d}x\]
Montrer alors que \[\int_{x_A}^{x_B}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)\right)\right)\eta(x)\,\mathrm{d}x=0\]
En déduire la relation suivante, appelée équation d’Euler-Lagrange : \[\forall x\in[x_A,x_B],\ \frac{\partial f}{\partial y}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)\right)=0\]
Montrer que si pour tout \((x,y,z)\in\left]x_A,x_B\right[\times U\times V\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=0\), alors on a l’égalité suivante, appelée identité de Beltrami : \[\exists C\in\mathbb{R},\ \forall x\in\left]x_A,x_B\right[,\ f\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)-z_0'(x)\,\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)=C\]
\(\mathbb{R}^2\) est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\) pour le produit scalaire usuel. On se donne deux points \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) de \(\mathbb{R}^2\) avec \(x_A<x_B\). Pour toute fonction \(g : [x_A,x_B]\to\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant \(g(x_A)=y_A\) et \(g(x_B)=y_B\), on définit la longueur du graphe de \(g\), noté \(\mathcal{L}(g)\), par : \[\mathcal{L}(g)=\int_{x_A}^{x_B}\sqrt{1+g'(x)^2}\,\mathrm{d}x\]
On note \(\mathcal{C}\) l’ensemble des fonctions \(y\) de classe \(\mathcal{C}^2\) définies sur \([x_A,x_B]\) vérifiant \(y(x_A)=y_A\) et \(y(x_B)=y_B\). Soit \(T\) l’application définie sur \(\mathcal{C}\) par : \[T : y\in\mathcal{C}\longmapsto\int_{x_A}^{x_B}\sqrt{1+y'(x)^2}\,\mathrm{d}x\]
On suppose que \(T\) admet un extremum en \(y_0\in\mathcal{C}\).
En utilisant l’identité de Beltrami, montrer que \(y_0\) est une fonction affine.
\(\mathbb{R}^2\) est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\) pour le produit scalaire usuel. Le but de cette partie est de préciser la trajectoire d’un point \(M\) minimisant le temps entre deux points \(A\) et \(B\) tous les deux fixés. Le point \(M\) est uniquement soumis au champ de pesanteur et on néglige les frottements. Le point \(M\) est initialement en \(A\) et la vitesse est supposée nulle.
Ls points \(A\) et \(B\) ont pour coordonnées respectives \((x_A,y_A)\) et \((x_B,y_B)\) dans le repère \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\) avec \(y_A>0\) et \(y_B>0\). On note \(y_0 : [x_A,x_B]\to\mathbb{R}_+^\ast\) la courbe minimisant le temps de trajet que l’on suppose de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([x_A,x_B]\).
Les lois de la mécanique montrent que \(y_0\) minimise l’application \[y\in\mathcal{C}\longmapsto T(y)=\int_{x_A}^{x_B}\sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{y(x)}}\,\mathrm{d}x\] où \(\mathcal{C}\) est l’ensemble des fonctions \(y\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([x_A,x_B]\) vérifiant \(y(x_A)=y_A\) et \(y(x_B)=y_B\) et telle que pour tout \(x\in[x_A,x_B]\), \(y(x)>0\) et pour tout \(x\in\left]x_A,x_B\right]\), \(y'(x)<0\).
Montrer qu’il existe un réel \(C\) tel que \[\forall x\in[x_A,x_B],\ y_0(x)\left(1+y_0'(x)^2\right)=C\]
Dans la suite de cette partie, on supposera, pour simplifier, \(C=2\).
On définit la fonction \(\mathrm{cotan}\) par \(\mathrm{cotan}(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\). Préciser le domaine de définition de la fonction \(\mathrm{cotan}\). Montrer que sa restriction à l’intervalle \(\left]0,\pi\right[\) est bijective sur un intervalle que l’on précisera. On notera \(\mathrm{arccotan}\) sa bijection réciproque. Calculer \(\mathrm{arccotan}'\) lorsque cela est possible.
On pose pour tout \(x\in[x_A,x_B]\), \(\theta(x)=2\,\mathrm{arccotan}\big(y_0'(x)\big)\).
Montrer que pour tout \(x\in[x_A,x_B]\), \(y_0(x)=1-\cos\big(\theta(x)\big)\).
Montrer alors qu’il existe un réel \(c\) tel que \[\forall x\in[x_A,x_B],\ x=\theta(x)-\sin\big(\theta(x)\big)+c\]
L’arc paramétré par \(\theta\longmapsto\big(\theta-\sin(\theta)+c,\,1-\cos(\theta)\big)\) est appelé une cycloïde : c’est la trajectoire suivi par un point fixe sur une roue de vélo en translation uniforme.
\(\mathbb{R}^3\) est muni d’un repère orthonormé \(\big(O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\big)\) pour le produit scalaire usuel. Dans cette partie, nous nous intéressons à la forme qu’adopte un film de savon s’appuyant sur deux cercles définissant un cylindre droit ; la forme adoptée par le film de savon est appelée caténoïde. Sans perte de généralité, on suppose que le premier cercle a pour système d’équation \(\begin{cases} y^2+z^2=1\\ x=0\end{cases}\) et le second cercle \(\begin{cases} y^2+z^2=1\\ x=1\end{cases}\). On peut montrer que \(y_0 : [0,1]\to\mathbb{R}\) paramétrant l’ordonnée du film de savon, que l’on suppose être de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([0,1]\), minimise la fonctionnelle \[T : y\in\mathcal{C}\longmapsto 2\pi\int_0^1 y(x)\sqrt{1+y'(x)^2}\,\mathrm{d}x\] où \(\mathcal{C}\) est l’ensemble des fonctions \(y : [0,1]\to\mathbb{R}\) vérifiant \(y(0)=y(1)=1\) et de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([0,1]\) muni de la norme infini.
Montrer qu’il existe un réel \(c\) non nul tel que \[\forall x\in[0,1],\ 1+y_0'(x)^2=c^2\,y_0(x)^2\]
Montrer que la restriction de la fonction \(\mathrm{ch}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}\) à \(\mathbb{R}_+\) est une bijection de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\left[1,{+\infty}\right[\). On note \(\mathrm{argch}\) sa bijection réciproque. Calculer \(\mathrm{argch}'\) lorsque cela est possible.
On suppose en outre que pour tout \(x\in[0,1]\), \(y_0'(x)>0\) et \(c^2\,y_0(x)^2>1\).
Donner une expression explicite de \(y_0\) (dépendant éventuellement d’une constante d’intégration).
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Une belle introduction au calcul des variations, très guidée : lemme fondamental, équation d'Euler-Lagrange, puis trois applications classiques (ligne droite, brachistochrone, caténoïde).
Quelques hypothèses de l'énoncé sont imprécises ; le corrigé les discute.