Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Étude des séries congruo-harmoniques alternées
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2025, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
L’objectif de ce problème est d’étudier une famille de séries particulières. Quelques premiers résultats sont établis dans les préliminaires. La partie 1 propose d’établir une expression des séries congruo-harmoniques alternées sous la forme d’une intégrale. La partie 2 propose de calculer la valeur de la somme de la série dans certains cas particuliers. La partie 3 s’intéresse à des calculs de probabilités relatifs aux choix des paramètres de la série. Enfin, la partie 4 se propose d’étudier la vitesse de convergence de ces séries.
\(\mathbb{N}\) désigne l’ensemble des nombres entiers naturels. \(\mathbb{N}^\ast\) désigne l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls.
\(\mathbb{R}\) désigne l’ensemble des nombres réels. \(\mathbb{R}_+\) désigne l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
\(\mathbb{C}\) désigne l’ensemble des nombres complexes. Si \(z\in\mathbb{C}\), on notera \(\overline{z}\) le conjugué de \(z\).
Pour tout \((a,b)\in\mathbb{N}^2\) avec \(a<b\), on pose \(\left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right]:=[a,b]\cap\mathbb{N}\).
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\left\lfloor x \right\rfloor\) désigne la partie entière de \(x\).
Pour tout couple \((p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\), on dit que \(p\) divise \(q\) et on note \(p|q\), s’il existe un entier \(k\) tel que \(q=kp\).
Définition 1 Soit \((p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\). On appelle série congruo-harmonique de paramètres \(p\) et \(q\), la série de terme général \(u_k\) défini pour tout \(k\geqslant0\) par \[u_k:=u_{p,q;k}=\frac{(-1)^k}{pk+q}\] et l’on note, sous réserve de convergence, \(S_{p,q}\) la somme de cette série.
Nous ferons référence aux sommes partielles de cette série par la fonction \[\phi_{p,q} : \left\{\begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \to & \mathbb{R}\\[1mm] n & \mapsto & \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{pk+q} \end{array}\right.\]
Justifier que, pour tout \((p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\), la série \(\displaystyle\sum u_k\) converge.
Dans cette question, on pose \(p=q=1\). Montrer que \[\phi_{1,1}(n)=\int_0^1\frac{1}{1+t}\,\mathrm{d}t-\int_0^1\frac{(-t)^{n+1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\]
En déduire la valeur de \(S_{1,1}\).
Montrer alors que, pour tout \(q\geqslant2\), \[S_{1,q}=(-1)^q\big(\phi_{1,1}(q-2)-\ln(2)\big)\]
Dans cette partie, on fixe \((p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\) et on pose \(\alpha_{p,q}:=\dfrac{p}{q}\). On définit alors, pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), l’application \(I_{p,q} : \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}\) par \[I_{p,q}(t):=\int_0^1\frac{x^{(t+1)\alpha_{p,q}}}{1+x^{\alpha_{p,q}}}\,\mathrm{d}x\]
Démontrer que l’application \(I_{p,q}\) est bien définie et continue sur \(\mathbb{R}_+\).
Déterminer \[\lim_{n\to+\infty}I_{p,q}(n)=0\]
Pour tout \(x\in[0,1]\), calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(-x^{\alpha_{p,q}}\right)^k\) puis en déduire que \[\phi_{p,q}(n)=\frac{1}{q}\left(\int_0^1\frac{1}{1+x^{\alpha_{p,q}}}\,\mathrm{d}x+(-1)^nI_{p,q}(n)\right)\]
Montrer alors que, pour tout \((p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\), \[S_{p,q}=\int_0^1\frac{t^{q-1}}{1+t^p}\,\mathrm{d}t\]
L’objectif de cette partie est de déterminer une formulation explicite de la somme de la série congruo-harmonique de paramètres \(p\) et \(q\) dans trois cas particuliers. On définit pour cela les trois ensembles suivants : \begin{align*} E_1 &:= \left\{(p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2 : p=q\right\}\\ E_2 &:= \left\{(p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2 : p<q,\ p|q\right\}\\ E_3 &:= \left\{(p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2 : p>q\right\} \end{align*}
Enfin, pour tout couple \((p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\) fixé, on définit la fraction rationnelle \(F(X)\) par \[F(X):=\frac{X^{q-1}}{1+X^p}\]
Montrer que, pour tout \((p,q)\in E_1\), \[S_{p,q}=\frac{\ln(2)}{p}\tag{F1}\]
Pour tout couple \((p,q)\in E_2\), montrer qu’il existe une constante \(\lambda:=\lambda(p,q)\) que l’on déterminera, telle que \[S_{p,q}=\frac{(-1)^{\lambda-1}}{p}\left(\ln(2)-\sum_{k=1}^{\lambda-1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\right)\tag{F2}\]
Dans le reste de la partie 2, on fixe un couple \((p,q)\in E_3\).
Montrer qu’il existe des constantes \(\left(a_0,b_0,\dots,b_{\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1}\right)\in\mathbb{C}^{\left\lfloor p/2 \right\rfloor+1}\) telles que \[F(X)=\frac{1-(-1)^p}{2}\cdot\frac{a_0}{X+1}+\sum_{k=0}^{\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1}\left(\frac{b_k}{X-\omega_{p,k}}+\frac{\overline{b_k}}{X-\overline{\omega_{p,k}}}\right)\] où les \(\omega_{p,k}\) sont des constantes que l’on précisera et \(F(X)\) la fraction rationnelle définie au début de cette partie.
Dans le cas où \(p\) est pair, on posera \(a_0=0\).
Calculer alors \(a_0\) dans le cas où \(p\) est impair puis montrer que, pour tout entier \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(b_k\) peut s’écrire sous la forme \[b_k=-\frac{1}{p}\mathrm{e}^{iq\theta_k}\] où l’on a posé \(\theta_k:=(2k+1)\dfrac{\pi}{p}\).
En déduire la décomposition en éléments simples de \(F(X)\) dans \(\mathbb{R}(X)\) : \[F(X)=\frac{1-(-1)^p}{2}\cdot\frac{(-1)^{q-1}}{p}\cdot\frac{1}{X+1}-\frac{2}{p}\sum_{k=0}^{\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1}F_k(X)\] où, pour tout \(0\leqslant k\leqslant\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1\), \[F_k(X):=\frac{\cos(q\theta_k)X-\cos\big((q-1)\theta_k\big)}{X^2-2\cos(\theta_k)X+1}\]
On admet que les \(F_k\) sont continues sur \([0,1]\) et que pour tout \(0\leqslant k\leqslant\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1\), \[\int_0^1F_k(t)\,\mathrm{d}t=\cos(q\theta_k)\ln\left(2\sin\left(\frac{\theta_k}{2}\right)\right)-\frac{\pi}{2p}(p-1-2k)\sin(q\theta_k)\]
Montrer que \[\sum_{k=0}^{\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1}\cos(q\theta_k)=\begin{cases} 0 & \text{si $p$ est pair}\\[1mm] \dfrac{(-1)^{q+1}}{2} & \text{si $p$ est impair} \end{cases}\]
Déduire des questions précédentes que, pour tout \((p,q)\in E_3\), \[S_{p,q}=\frac{1}{p}\left(\frac{\pi}{p}\sum_{k=0}^{\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1}(p-1-2k)\sin(q\theta_k)-2\sum_{k=0}^{\left\lfloor p/2 \right\rfloor-1}\cos(q\theta_k)\ln\left(\sin\left(\frac{\theta_k}{2}\right)\right)\right)\tag{F3}\]
En déduire les valeurs exactes de \(S_{2,1}\) et \(S_{3,1}\).
L’objectif de cette partie est d’évaluer la probabilité qu’un couple d’entier \((p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\) pris au hasard appartienne au domaine d’application d’au moins l’une des formules (F1), (F2) et (F3) obtenues dans la partie 2.
On fixe pour cela \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et on décide de tirer successivement et avec remise deux entiers \(p\) et \(q\) selon une loi uniforme sur l’intervalle \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On définit alors les événements suivants, où \(E_1\), \(E_2\) et \(E_3\) sont les trois ensembles définis dans la partie 2 :
\(E_n\) : « On obtient \((p,q)\in E_1\cup E_2\cup E_3\) ».
\(A_n\) : « On obtient \(p=q\) ».
\(B_n\) : « On obtient \(q>p\) et \(q\) est divisible par \(p\) ».
\(C_n\) : « On obtient \(p>q\) ».
Justifier que l’ensemble \(\{A_n,B_n,C_n\}\) forme une partition de \(E_n\).
Calculer \(\mathbb{P}(A_n)\) puis \(\mathbb{P}(C_n)\).
Montrer que \[\mathbb{P}(B_n)=\frac{1}{n^2}\sum_{p=1}^{n}\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor-\frac{1}{n}\] et en déduire \(\mathbb{P}(A_n\cup B_n)\).
En notant \(H_n:=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) la série harmonique, montrer que \[H_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\ln(n)\]
Montrer alors que \[\mathbb{P}(A_n\cup B_n)\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{\ln(n)}{n}\]
En déduire \[\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(E_n)\]
Dans cette dernière partie, on s’intéresse à la vitesse de convergence des séries congruo-harmoniques. On introduit pour cela la définition suivante.
Définition 2 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite convergente vers une limite réelle \(l\) telle que \(u_n\neq l\) à partir d’un certain rang. On définit alors, sous réserve de convergence, la vitesse de convergence \(V\) de \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) par \[V=\lim_{n\to+\infty}\left| \frac{u_{n+1}-l}{u_n-l} \right|\] On qualifie alors la vitesse de convergence de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) selon la valeur de \(V\) :
Si \(V=0\) : la convergence sera qualifiée de supra-linéaire.
Si \(V\in\left]0,1\right[\) : la convergence sera qualifiée de linéaire.
Si \(V=1\) : la convergence sera qualifiée d’infra-linéaire.
On définit alors la vitesse de convergence d’une série comme étant celle de la suite de ses sommes partielles.
On définit enfin, pour tout \((p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\), l’application \(R_{p,q}:=\dfrac{1}{q}I_{p,q}\) où \(I_{p,q}\) est l’application définie dans la partie 1.
À l’aide du changement de variables \(s=x^{n+1}\) dans \(I_{p,q}(n)\), démontrer que \[R_{p,q}(n)\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{1}{2pn}\]
En déduire la vitesse de convergence de la série congruo-harmonique alternée \(\displaystyle\sum u_k\), c’est-à-dire celle de la suite des sommes partielles \(\big(\phi_{p,q}(n)\big)_{n\in\mathbb{N}}\).
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un problème varié sur les sommes des séries alternées de la forme (-1)^k/(pk+q) : représentation intégrale, calcul exact par décomposition en éléments simples, un détour probabiliste, puis vitesse de convergence.
Un bon entraînement sur les séries et les intégrales généralisées.