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Matrices semblables à leur inverse
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2025, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
On note \(\mathbb{C}\) le corps des nombres complexes, \(\mathbb{N}\) l’ensemble des entiers naturels. Pour \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbf{M}_n\) désigne l’algèbre des matrices carrées complexes de taille \(n\) et \(\mathbf{GL}_n\) le groupe des matrices complexes inversibles de taille \(n\).
On rappelle que deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathbf{M}_n\) sont semblables si \[\exists P\in\mathbf{GL}_n,\quad A=P^{-1}BP\]
Pour toute matrice \(A\in\mathbf{M}_n\) le polynôme caractéristique de \(A\) est défini par \[\chi_A=\det(XI_n-A)\]
Soit \(p\in\mathbb{N}^\ast\). Un polynôme \(P\in\mathbb{C}[X]\) de degré \(p\) est dit réciproque lorsqu’il satisfait l’égalité \[P(X)=X^pP\left(\frac{1}{X}\right)\]
Soit \(P\in\mathbb{C}[X]\) de degré \(p\). On écrit \(P=\displaystyle\sum_{k=0}^{p}a_kX^k\), où \(a_0,\dots a_p\) sont des nombres complexes, et \(a_p\neq0\).
Montrer que \(P\) est réciproque si et seulement si pour tout entier \(k\), \(0\leqslant k\leqslant p\), on a l’égalité \(a_k=a_{p-k}\).
Soit \(P\) un polynôme de degré \(p\) écrit sous forme factorisée \(P=a_p\displaystyle\prod_{i=1}^{d}(X-\lambda_i)^{m_i}\), où \(\lambda_1,\dots,\lambda_d\) sont les racines complexes distinctes de \(P\) et \(m_1,\dots,m_d\) leurs multiplicités.
Ecrire sous forme factorisée le polynôme \(X^pP\left(\dfrac{1}{X}\right)\) et démontrer que si \(P\) est réciproque alors pour tout entier \(i\), \(1\leqslant i\leqslant d\), \(\lambda_i\) est non nul et \(\dfrac{1}{\lambda_i}\) est racine de \(P\) avec la multiplicité \(m_i\).
Soit \(Q\) un polynôme de degré \(p\). On dit que \(Q\) est antiréciproque si \[Q(X)=-X^pQ\left(\frac{1}{X}\right)\]
Montrer que si \(Q\) est antiréciproque, \(1\) est une racine de \(Q\) et qu’il existe un polynôme \(P\) constant ou réciproque tel que \(Q=(X-1)P\).
Soit \(R\) un polynôme non constant de \(\mathbb{C}[X]\) ayant la propriété suivante :
Toute racine \(a\) de \(R\) est non nulle et \(\dfrac{1}{a}\) est racine de \(R\) de même multiplicité que \(a\).
Démontrer que le produit des racines de \(R\), comptées avec multiplicités, ne peut prendre que les valeurs \(1\) ou \(-1\). On pourra remarquer que l’égalité \(a=\dfrac{1}{a}\) n’a lieu que pour \(a=1\) ou \(-1\).
En déduire que \(R\) est réciproque ou antiréciproque.
Soit \(A\) une matrice appartenant à \(\mathbf{GL}_n\).
Soit \(x\) un nombre réel non nul. Exprimer \(\det(xI_n-A)\) en fonction de \(x\), \(\det A\) et \(\det\left(\dfrac{1}{x}I_n-A^{-1}\right)\).
On suppose dans cette question que \(A\) est semblable à son inverse. Préciser les valeurs que peut prendre le déterminant de \(A\), et en déduire que \(\chi_A\) est soit réciproque, soit antiréciproque.
Soit \(B\in\mathbf{M}_n\) une matrice diagonalisable. On suppose que le polynôme caractéristique de \(B\) est réciproque ou antiréciproque. Démontrer que \(B\) est inversible et semblable à son inverse.
Montrer que la matrice \(B=\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&1\\0&0&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) n’est pas semblable à son inverse (bien que son polynôme caractéristique \((X-2)^2\left(X-\dfrac{1}{2}\right)^2\) soit réciproque).
On pourra déterminer les espaces propres de \(B\) et \(B^{-1}\) pour la valeur propre \(2\).
Ainsi, hors du cas diagonalisable, le polynôme caractéristique ne suffit pas à caractériser les matrices semblables à leur inverse. La suite du problème se propose de caractériser ces matrices par une autre méthode.
On dit qu’un endomorphisme \(f\) d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) est une symétrie si \(f\circ f=Id_E\). On dit qu’une matrice \(S\in\mathbf{M}_n\) est une matrice de symétries si \(S^2=I_n\).
Démontrer que si \(S_1\) et \(S_2\) sont deux matrices de symétrie, la matrice produit \(A=S_1S_2\) est inversible et semblable à son inverse.
Si une matrice \(A\) est un produit de deux matrices de symétries, en est-il de même de toute matrice semblable à \(A\) ?
Soit \(B\) et \(C\) deux matrices de \(\mathbf{GL}_n\). Soit \(A\in\mathbf{M}_{2n}\) la matrice définie par blocs suivante : \[A=\begin{pmatrix}B&0_n\\0_n&C\end{pmatrix}\]
Soit \(S_1\) la matrice par blocs \[S_1=\begin{pmatrix}0_n&P\\Q&0_n\end{pmatrix}\] où \(P,Q\) sont deux éléments de \(\mathbf{GL}_n\).
Déterminer les conditions reliant \(B,C,P,Q\) pour que les matrices \(S_1\) et \(S_2=S_1A\) soient des matrices de symétries.
En déduire que si \(C\) est semblable à \(B^{-1}\), alors \(A\) est un produit de deux matrices de symétries.
Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(n\). Soit \(g\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(g^n=0\) et \(g^{n-1}\neq0\).
Démontrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(g\) est la matrice \(N\) ci-après : \[N=\begin{pmatrix} 0&1&0&\dots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&&\ddots&1\\ 0&\dots&&\dots&0 \end{pmatrix}\]
Autrement dit : \(N=(n_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) avec \(n_{i,j}=1\) si \(j=i+1\) et \(n_{i,j}=0\) sinon.
Pour tout \(\lambda\in\mathbb{C}\) non nul, on pose \(J_n(\lambda)=\lambda I_n+N\).
Démontrer que \(J_n(\lambda)\) est inversible et déterminer en fonction de \(N\) et de \(\lambda\) la matrice \(N'\) telle que \(J_n(\lambda)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}I_n+N'\)
Calculer \((N')^n\) et en déduire que \(J_n(\lambda)^{-1}\) est semblable à \(J_n\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)\).
Pour tout polynôme \(P=P(X)\in\mathbb{C}_{n-1}[X]\) on pose \[\begin{cases} s_1(P)=P(-X)\\ s_2(P)=P(1-X)\\ g(P)=P(X+1)-P(X) \end{cases}\] On définit ainsi trois endomorphismes de l’espace vectoriel \(\mathbb{C}_{n-1}[X]\) (il n’est pas demandé de le prouver).
Calculer \(s_1^2\), \(s_2^2\) et exprimer \(s_1\circ s_2\) en fonction de \(g\) et \(Id_{\mathbb{C}_{n-1}[X]}\).
Soit \(P\) un polynôme non constant. Exprimer le degré du polynôme \(g(P)\) en fonction du degré de \(P\).
Déduire des questions précédentes que la matrice \(J_n(1)\) est un produit de deux matrices de symétries.
On pourrait démontrer par le même type de raisonnement, et on l’admet, que la matrice \(J_n(-1)\) est un produit de deux matrices de symétries.
Soit \(A\) une matrice de \(\mathbf{GL}_n\) semblable à son inverse. On admet le résultat suivant :
\(A\) est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme \[A'=\begin{pmatrix} J_{n_1}(\lambda_1)&0&\dots&0\\ 0&J_{n_2}(\lambda_2)&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\dots&0&J_{n_r}(\lambda_r) \end{pmatrix}\] où les \(\lambda_i\) sont les valeurs propres de \(A\) (pas nécessairement distinctes) et \(r\) ainsi que les \(n_i\), \(1\leqslant i\leqslant r\), des entiers naturels non nuls.
De plus la matrice \(A'\) est unique à l’ordre près des blocs.
Démontrer que \(A^{-1}\) est semblable à \(\begin{pmatrix} J_{n_1}\left(\frac{1}{\lambda_1}\right)&0&\dots&0\\ 0&J_{n_2}\left(\frac{1}{\lambda_2}\right)&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\dots&0&J_{n_r}\left(\frac{1}{\lambda_r}\right) \end{pmatrix}\).
En utilisant les résultats établis dans les parties précédentes, démontrer que \(A\) est un produit de deux matrices de symétries.
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un problème d'algèbre linéaire progressif : polynômes réciproques, caractérisation des matrices semblables à leur inverse grâce à la réduction de Jordan (admise), et lien avec les produits de deux symétries.
Accessible et très formateur sur la similitude.