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Inégalités de Khintchine
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2025, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Dans tout le sujet, \(n\) est un entier naturel fixé non nul.
Dans tout le sujet, \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\) est un espace probabilisé fini.
On note \(L^0(\Omega)\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des variables aléatoires réelles definies sur \(\Omega\). On notera que si \(X\in L^0(\Omega)\), \(X(\Omega)\) est une partie finie de \(\mathbb{R}\). On confondra systématiquement variable aléatoire nulle et variable aléatoire presque sûrement nulle.
Si \(X\in L^0(\Omega)\), on note \(\mathbb{E}(X)\) son espérance.
Une variable aléatoire \(X\in L^0(\Omega)\) suit une loi de Rademacher si : \[X(\Omega)=\{-1,1\} \quad\text{et}\quad \mathbb{P}\left(X=1\right)=\mathbb{P}\left(X=-1\right)=\frac{1}{2}\]
Si \(p\in\left[1,{+\infty}\right[\) et \(X\in L^0(\Omega)\), on note \(\left\| X \right\|_p=\left(\mathbb{E}\left(\left| X \right|^p\right)\right)^{1/p}\). On admet que l’application \(X\mapsto\left\| X \right\|_p\) est alors une norme sur \(L^0(\Omega)\).
Si \(m\in\mathbb{N}^\ast\), \(p\in\left[1,{+\infty}\right[\) et \((x_1,\dots,x_m)\in\mathbb{R}^m\), on définit la quantité \(\left\| (x_1,\dots,x_m) \right\|_p^{\mathbb{R}^m}\) par : \[\left\| (x_1,\dots,x_m) \right\|_p^{\mathbb{R}^m}=\left(\sum_{i=1}^m\left| x_i \right|^p\right)^{1/p}\]
On admet que l’application \((x_1,\dots,x_m)\in\mathbb{R}^m\mapsto\left\| (x_1,\dots,x_m) \right\|_p^{\mathbb{R}^m}\) est une norme sur \(\mathbb{R}^m\).
On note \(\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}\) l’ensemble des suites de \(\mathbb{R}\) nulles à partir d’un certain rang. On admet alors que l’application \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) définie par \[\forall u,v\in\mathbb{R}^{(\mathbb{N})},\quad \langle u,v\rangle=\sum_{i=0}^{+\infty}u_iv_i\]
est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}\).
Soient \(p,q\in\left]1,{+\infty}\right[\) tels que \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\). Soient \(X,Y\in L^0(\Omega)\) que l’on suppose toutes les deux positives.
Montrer que \[\forall x,y\in\mathbb{R}_+,\quad xy\leqslant\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\]
En déduire l’inégalité suivante (inégalité de Hölder) : \[\mathbb{E}(XY)\leqslant\left(\mathbb{E}\left(X^p\right)\right)^{1/p}\left(\mathbb{E}\left(Y^q\right)\right)^{1/q}\]
On pourra commencer par traiter le cas où \(\mathbb{E}\left(X^p\right)=\mathbb{E}\left(Y^q\right)=1\).
Quelle inégalité retrouve-t-on lorsque \(p=q=2\) ? En donner alors une preuve directe.
Soit \((X_i)_{i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]}\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Rademacher.
Montrer que \[\forall t\in\mathbb{R},\quad \mathrm{ch}(t)\leqslant\mathrm{e}^{t^2/2}\]
Montrer que : pour tout \(t\geqslant0\), pour tout \((c_1,\dots,c_n)\in\mathbb{R}^n\), \[\mathbb{E}\left(\exp\left(t\sum_{i=1}^n c_iX_i\right)\right)\leqslant\exp\left(\frac{t^2}{2}\sum_{i=1}^n c_i^2\right)\]
En déduire que : pour tout \(t\geqslant0\), pour tout \(x\geqslant0\) et pour tout \((c_1,\dots,c_n)\in\mathbb{R}^n\), \[\mathbb{P}\left(\exp\left(x\left| \sum_{i=1}^n c_iX_i \right|\right)>\mathrm{e}^{tx}\right)\leqslant2\,\mathrm{e}^{-tx}\exp\left(\frac{x^2\sum_{i=1}^n c_i^2}{2}\right)\]
On pourra utiliser l’inégalité de Markov.
Montrer que : pour tout \(t\geqslant0\) et pour tout \((c_1,\dots,c_n)\in\mathbb{R}^n\) non nul, \[\mathbb{P}\left(\left| \sum_{i=1}^n c_iX_i \right|>t\right)\leqslant2\exp\left(-\frac{t^2}{2\sum_{i=1}^n c_i^2}\right)\]
Soit \(p\in\left[1,{+\infty}\right[\). Soit \((X_i)_{i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]}\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Rademacher. Soit \((c_1,\dots,c_n)\in\mathbb{R}^n\).
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle positive et finie. Soit \(F_X\) la fonction définie pour tout \(t\geqslant0\), par \[F_X(t)=\mathbb{P}\left(X>t\right)\]
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{p-1}F_X(t)\,\mathrm{d}t\) converge, puis que \[\mathbb{E}\left(X^p\right)=p\int_0^{+\infty}t^{p-1}F_X(t)\,\mathrm{d}t\]
On suppose dans cette question que \(\displaystyle\sum_{i=1}^n c_i^2=1\). Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^3\mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t\) converge, puis que \[\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n c_iX_i\right)^4\right)\leqslant8\int_0^{+\infty}t^3\mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t\]
Montrer que \[\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n c_iX_i\right)^2\right)=\sum_{i=1}^n c_i^2\]
En déduire qu’il existe un réel \(\beta_p>0\) tel que \[\mathbb{E}\left(\left| \sum_{i=1}^n c_iX_i \right|^p\right)^{1/p}\leqslant\beta_p\,\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n c_iX_i\right)^2\right)^{1/2}\]
On suppose \(p\geqslant2\). Montrer que \[\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n c_iX_i\right)^2\right)^{1/2}\leqslant\mathbb{E}\left(\left| \sum_{i=1}^n c_iX_i \right|^p\right)^{1/p}\]
Dans les questions numérotées de 13 \(\triangleright\) à 15 \(\triangleright\), on suppose \(1\leqslant p<2\).
Justifier qu’il existe \(\theta\in\left]0,1\right[\) tel que \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{\theta}{p}+\dfrac{1-\theta}{4}\).
Montrer que \[\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n c_iX_i\right)^2\right)\leqslant\mathbb{E}\left(\left| \sum_{i=1}^n c_iX_i \right|^p\right)^{2\theta/p}\mathbb{E}\left(\left| \sum_{i=1}^n c_iX_i \right|^4\right)^{(1-\theta)/2}\]
Montrer qu’il existe \(\widetilde{\alpha}_p>0\) tel que \[\widetilde{\alpha}_p\,\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n c_iX_i\right)^2\right)^{1/2}\leqslant\mathbb{E}\left(\left| \sum_{i=1}^n c_iX_i \right|^p\right)^{1/p}\]
En déduire qu’il existe un réel \(\alpha_p\) tel que \[\alpha_p\,\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n c_iX_i\right)^2\right)^{1/2}\leqslant\mathbb{E}\left(\left| \sum_{i=1}^n c_iX_i \right|^p\right)^{1/p}\]
Soit \((X_i)_{i\in\mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes une loi de Rademacher.
Montrer que l’application \(\varphi\) définie sur \(\left(L^0(\Omega)\right)^2\) par \[\forall X,Y\in L^0(\Omega),\quad \varphi(X,Y)=\mathbb{E}(XY)\]
est un produit scalaire sur \(L^0(\Omega)\).
Soit l’application \(\psi : u\in\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}\mapsto\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty}u_iX_i\). Montrer que \(\psi\) prend ses valeurs dans \(L^0(\Omega)\), puis que \(\psi\) conserve le produit scalaire.
On note \(R=\psi\left(\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}\right)\). Montrer que pour tous \(p,q\in\left[1,{+\infty}\right[\), les normes \(\left\| \cdot \right\|_p\) et \(\left\| \cdot \right\|_q\) sont équivalentes sur \(R\).
Dans cette partie, on suppose que \(n\) est une puissance de \(2\) : on écrit \(n=2^k\) avec \(k\in\mathbb{N}^\ast\).
Soit \((a_1,\dots,a_k)\in\mathbb{R}^k\). Montrer que \[\alpha_1n\left\| (a_1,\dots,a_k) \right\|_2^{\mathbb{R}^k}\leqslant\sum_{(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k)\in\{-1,1\}^k}\left| \sum_{i=1}^k\varepsilon_ia_i \right|\leqslant\beta_1n\left\| (a_1,\dots,a_k) \right\|_2^{\mathbb{R}^k}\]
On pourra utiliser les questions 11 et 16.
En déduire qu’il existe un sous-espace vectoriel \(F\) de dimension \(k\) de \(\mathbb{R}^n\) tel que : \[\forall x\in F,\quad \alpha_1\sqrt{n}\left\| x \right\|_2^{\mathbb{R}^n}\leqslant\left\| x \right\|_1^{\mathbb{R}^n}\leqslant\beta_1\sqrt{n}\left\| x \right\|_2^{\mathbb{R}^n}\]
En ordonnant les \(n\) éléments de \(\{-1,1\}^k\) de manière arbitraire, on pourra utiliser l’application \(T\) définie sur \(\mathbb{R}^k\) par \(T(a_1,\dots,a_k)=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i\varepsilon_i\right)_{(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k)\in\{-1,1\}^k}\).
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un beau sujet de probabilités et d'analyse : moments des sommes de variables de Rademacher, inégalités de Hölder et de Young, puis inégalités de Khintchine et une application géométrique.
L'énoncé impose un univers fini tout en utilisant une suite infinie de variables indépendantes ; le corrigé le signale et en tient compte.