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Étude de marche aléatoire
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2024, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
On rappelle l’expression des coefficients binomiaux. Lorsque \(k\) et \(n\) sont deux entiers, on pose : \[\binom{n}{k}=\begin{cases} \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\ , & \text{si } 0\leqslant k\leqslant n\\[2mm] 0\ , & \text{sinon} \end{cases}\]
On pourra utiliser sans démonstration l’équivalent de Stirling, valable lorsque l’entier naturel \(n\) tend vers \({+\infty}\) : \[n!\underset{n\to+\infty}{\sim}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\cdot\sqrt{2\pi n}\]
Dans toute la suite, pour tous réels \(a<b\), on note \(\mathscr{D}_{a,b}\) l’ensemble des fonctions \(f:\left]a,b\right[\longrightarrow\mathbb{R}\) continues sur l’intervalle \(\left]a,b\right[\), intégrables sur \(\left]a,b\right[\) et vérifiant de plus : \[\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(t)\,\mathrm{d}t\]
Soit \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) une fonction continue. Démontrer que la restriction \(g\) de la fonction \(f\) à l’intervalle \(\left]a,b\right[\) appartient à l’ensemble \(\mathscr{D}_{a,b}\).
En posant pour tout entier \(k\geqslant1\), \(a_k=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{2^{k+1}}\) et \(b_k=\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\), montrer que l’on peut choisir un entier \(k_0\geqslant1\) tel que : \[\forall k\geqslant k_0,\ b_{k+1}<a_k\] En déduire que la fonction \(f:\left]0,1\right[\longrightarrow\mathbb{R}\) définie par : \[f:t\longmapsto\begin{cases} k^2\cdot2^{k+1}\cdot(t-a_k), & \text{si il existe un entier $k\geqslant k_0$ tel que } t\in\left[a_k,a_k+\dfrac{1}{2^{k+1}}\right]\\[3mm] k^2\cdot2^{k+1}\cdot(b_k-t), & \text{si il existe un entier $k\geqslant k_0$ tel que } t\in\left[a_k+\dfrac{1}{2^{k+1}},b_k\right]\\[3mm] 0, & \text{sinon} \end{cases}\] est une fonction bien définie et continue sur \(\left]0,1\right[\), intégrable sur \(\left]0,1\right[\) et que cette fonction \(f\) n’appartient pas à l’ensemble \(\mathscr{D}_{0,1}\).
Dans la suite, on définit la fonction : \[h:\left|\begin{array}{rcl} \left]0,1\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R}\\[1mm] t & \longmapsto & \dfrac{1}{\sqrt{t(1-t)}} \end{array}\right.\]
Montrer que la fonction \(\varphi:t\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{t}}\) est intégrable sur \(\left]0,1\right[\), puis montrer que la fonction \(\varphi\) appartient à \(\mathscr{D}_{0,1}\).
On note \(\tilde{h}\) la restriction de la fonction \(h\) à l’intervalle \(\left]0,\dfrac{1}{2}\right]\). Vérifier que la fonction \(\tilde{h}\) est décroissante sur \(\left]0,\dfrac{1}{2}\right[\), puis montrer que la fonction \(\tilde{h}\) appartient à \(\mathscr{D}_{0,\frac{1}{2}}\).
Montrer que la fonction \(h\) est intégrable sur \(\left]0,1\right[\) et que : \[\int_0^1h(t)\,\mathrm{d}t=2\int_0^{\frac{1}{2}}\tilde{h}(t)\,\mathrm{d}t\]
Prouver alors que : \[\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{1}{2n}h\!\left(\frac{k}{2n}\right)=\int_0^1h(t)\,\mathrm{d}t\]
Montrer que : \[\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2n+1}h\!\left(\frac{k}{2n+1}\right)=\int_0^{\frac{1}{2}}h(t)\,\mathrm{d}t\] En déduire que : \[\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{2n+1}h\!\left(\frac{k}{2n+1}\right)=\int_0^1h(t)\,\mathrm{d}t\]
Déduire des questions précédentes que la fonction \(h\) appartient à \(\mathscr{D}_{0,1}\).
Montrer que : \[\int_0^1h(t)\,\mathrm{d}t=\pi\]
Montrer que lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\), on a un équivalent de la forme : \[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\lambda\sqrt{n}\] où la constante \(\lambda\) est à préciser.
En déduire la limite : \[\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{i(n-i)}}\]
On considère une suite \((\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de nombres réels strictement supérieurs à \(-1\), convergente de limite nulle.
Montrer que : \[\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\left| \varepsilon_i \right|}{\sqrt{i(n-i)}}=0\]
En déduire que : \[\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{i(n-i)}}\cdot\left(\frac{(1+\varepsilon_i)(1+\varepsilon_{n-i})}{1+\varepsilon_n}-1\right)=0\]
Dans cette partie, on considère une suite de variables aléatoires \(\big(X_n:\Omega\longrightarrow\{-1,1\}\big)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})\) et à valeurs dans l’ensemble à deux éléments \(\{-1,1\}\), ces variables aléatoires étant mutuellement indépendantes et centrées. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note : \[S_n=\sum_{k=1}^{n}X_k\]
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), la variable aléatoire \(\dfrac{1+X_n}{2}\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{2}\).
Dans la suite, on fixe l’entier \(n\geqslant1\). On appelle chemin, tout \(2n\)-uplet \(\gamma=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{2n})\) dont les composantes \(\varepsilon_k\) valent \(-1\) ou \(1\).
Si \(\gamma=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{2n})\) est un chemin, on appelle indice d’égalité, tout entier \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,2n} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\varepsilon_i=0\). On remarquera alors qu’un entier \(k\) est un indice d’égalité si et seulement si le \(k\)-uplet \((\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_k)\) comporte autant de composantes égales à \(1\) que de composantes égales à \(-1\).
On note \(N_n:\Omega\longrightarrow\mathbb{N}\) la variable aléatoire qui à tout élément \(\omega\) de l’univers \(\Omega\) compte le nombre d’indices d’égalité du chemin \(\big(X_1(\omega),\cdots,X_{2n}(\omega)\big)\).
On note pour tout entier \(i\) entre \(1\) et \(n\), l’événement \(A_i\) défini par \[A_i=\Big\{\omega,\ \text{2i est un indice d'égalité de }\big(X_1(\omega),\cdots,X_{2n}(\omega)\big)\Big\}\]
Calculer la probabilité \(\mathbb{P}(A_i)\), pour tout entier \(i\) entre \(1\) et \(n\).
Soit \(\ell\in\mathbb{Z}\) un entier et \(n\geqslant1\) un autre entier. En distinguant le cas où l’entier \(\ell-n\) est pair ou impair, calculer \(\mathbb{P}(S_n=\ell)\).
On admet sans démonstration le résultat suivant :
Théorème 1 Soit \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) deux suites de nombres réels non nuls telles que \(a_n=\circ(b_n)\) au voisinage de \({+\infty}\) et la série \(\displaystyle\sum_n\left| b_n \right|\) est divergente. Alors : \[\sum_{k=1}^{n}a_k=\circ\!\left(\sum_{k=1}^{n}\left| b_k \right|\right)\quad\textit{au voisinage de }{+\infty}\]
Soit \((c_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((d_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) deux suites de nombres réels strictement positifs telles que : \(c_n\underset{n\to+\infty}{\sim} d_n\) et la série \(\displaystyle\sum_nc_n\) diverge.
En utilisant le résultat admis dans l’énoncé, montrer que la série \(\displaystyle\sum_nd_n\) est divergente et que : \[\sum_{k=1}^{n}c_k\underset{n\to+\infty}{\sim}\sum_{k=1}^{n}d_k\]
Montrer que la variable aléatoire \(N_n\) admet une espérance finie et que son espérance \(\mathbb{E}(N_n)\) est égale à : \[\mathbb{E}(N_n)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\binom{2i}{i}}{4^i}\]
En déduire l’équivalent : \[\mathbb{E}(N_n)\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\sqrt{n}\]
Dans une urne contenant \(n\) boules blanches et \(n\) boules noires, on procède à des tirages de boules sans remise, jusqu’à vider complètement l’urne. Les tirages sont équiprobables à chaque pioche.
Pour tout entier \(k\) entre \(1\) et \(2n\), on dit que l’entier \(k\) est un indice d’égalité si dans l’expérience de pioche précédemment décrite, il reste autant de boules noires que de boules blanches dans l’urne après avoir pioché les \(k\) premières boules sans remise. On remarque que l’entier \(2n\) est toujours un indice d’égalité.
On note \(M_n\), la variable aléatoire comptant le nombre aléatoire d’indices d’égalité \(k\) entre \(1\) et \(2n\).
En utilisant par exemple les événements \(B_i\) : « l’entier \(i\) est un indice d’égalité », montrer que la variable \(M_n\) admet une espérance finie égale à : \[\mathbb{E}(M_n)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\binom{2i}{i}\cdot\binom{2n-2i}{n-i}}{\binom{2n}{n}}\]
En déduire l’équivalent : \[\mathbb{E}(M_n)\underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{\pi\,n}\]
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet varié : comparaison série-intégrale, sommes de Riemann et équivalents de sommes, puis étude d'une marche aléatoire (retours à l'origine, nombre de passages) et d'un tirage dans une urne.
Bon entraînement sur les séries et les probabilités.