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Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2024, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Soit la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^2/2}\).
Pour \(k\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}\), on pose \(C^k(\mathbb{R})\) l’ensemble des fonctions de classe \(C^k\) sur \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
On note \(CL(\mathbb{R})\) l’ensemble des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) à croissance lente, c’est-à-dire : \[CL(\mathbb{R})=\Big\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \exists C>0,\ \exists k\in\mathbb{N}\ \text{tel que pour tout } x\in\mathbb{R},\ \left| f(x) \right|\leqslant C\left(1+\left| x \right|^k\right)\Big\}\]
On note \(L^1(\varphi)=\left\{f\in C^0(\mathbb{R}),\ f\varphi\ \text{intégrable sur}\ \mathbb{R}\right\}\).
Soit \(t\in\mathbb{R}_+\). Pour une fonction \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), on définit si cela est possible la fonction \(P_t(f)\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad P_t(f)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(\mathrm{e}^{-t}x+\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2t}}\,y\right)\varphi(y)\,\mathrm{d}y\]
Pour \(f\) deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), on définit sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(L(f)\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad L(f)(x)=f''(x)-xf'(x)\]
Une fonction \(P:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) est dite fonction polynomiale en \(\left| x \right|\) s’il existe \(d\in\mathbb{N}\) et des réels \(a_0,\dots,a_d\) tels que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{d}a_k\left| x \right|^k\).
Soient \(f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}\) une fonction et \(\ell\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}\). On admet que \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=\ell\) si, et seulement si, pour toute suite \((t_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de réels positifs telle que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}t_n=+\infty\), on a \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(t_n)=\ell\).
Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en \(\left| x \right|\) est à croissance lente.
Montrer que \(C^0(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\subset L^1(\varphi)\).
On admet dans toute la suite du problème que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(t)\,\mathrm{d}t=1\).
Montrer que \(CL(\mathbb{R})\) est un espace vectoriel. Montrer aussi que \(CL(\mathbb{R})\) est stable par produit.
Soit \(t\in\mathbb{R}_+\). Vérifier que la fonction \(P_t(f)\) est bien définie pour \(f\in C^0(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\) et vérifier que \(P_t\) est linéaire sur \(C^0(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\).
Montrer que pour tout \(f\in C^0(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\) et tout \(x\in\mathbb{R}\), \[\lim_{t\to+\infty}P_t(f)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\varphi(y)\,\mathrm{d}y\]
Soit \(t\in\mathbb{R}_+\). Montrer que si \(f\in C^0(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\), alors \(P_t(f)\in C^0(\mathbb{R})\). Montrer aussi que \(P_t(f)\) est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en \(\left| x \right|\) indépendante de \(t\). En déduire que \(P_t(f)\in L^1(\varphi)\).
On admettra dans toute la suite du problème que, si \(f\in C^0(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\), alors \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\quad\int_{-\infty}^{+\infty}P_t(f)(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x\]
Montrer que pour toutes fonctions \(f,g\in C^2(\mathbb{R})\) telles que les fonctions \(f\), \(f'\), \(f''\) et \(g\) soient à croissance lente, on a \[\int_{-\infty}^{+\infty}L(f)(x)g(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{-\infty}^{+\infty}f'(x)g'(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x\]
Pour \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) et \(x\in\mathbb{R}\), on note, si cela a un sens, \(\dfrac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t}\) la dérivée de la fonction \(t\in\mathbb{R}_+\mapsto P_t(f)(x)\).
Pour \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) et \(t\in\mathbb{R}_+\) fixé, on note, si cela a un sens, \(P_t(f)'\) (resp. \(P_t(f)''\)) la dérivée de \(x\in\mathbb{R}\mapsto P_t(f)(x)\) (resp. la dérivée seconde de \(x\in\mathbb{R}\mapsto P_t(f)(x)\)).
Montrer que si \(f\in C^1(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\) telle que \(f'\in CL(\mathbb{R})\) et \(x\in\mathbb{R}\), alors \(t\in\mathbb{R}_+\mapsto P_t(f)(x)\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et montrer que pour tout \(t>0\), on a \[\frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t}=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(-x\mathrm{e}^{-t}+\frac{\mathrm{e}^{-2t}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2t}}}\,y\right)f'\left(\mathrm{e}^{-t}x+\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2t}}\,y\right)\varphi(y)\,\mathrm{d}y\]
Soient \(f\in C^2(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\) telle que \(f'\) et \(f''\) soient à croissance lente et \(t\in\mathbb{R}_+\). Montrer que \(x\in\mathbb{R}\mapsto P_t(f)(x)\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer aussi que \[\forall x\in\mathbb{R},\quad P_t(f)'(x)=\mathrm{e}^{-t}\int_{-\infty}^{+\infty}f'\left(\mathrm{e}^{-t}x+\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2t}}\,y\right)\varphi(y)\,\mathrm{d}y\] et \[\forall x\in\mathbb{R},\quad P_t(f)''(x)=\mathrm{e}^{-2t}\int_{-\infty}^{+\infty}f''\left(\mathrm{e}^{-t}x+\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2t}}\,y\right)\varphi(y)\,\mathrm{d}y\]
En déduire que pour \(f\in C^2(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\) telle que \(f'\) et \(f''\) soient à croissance lente, on a \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \forall x\in\mathbb{R},\quad\frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t}=L\big(P_t(f)\big)(x)\]
Pour \(f\in C^0(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\) à valeurs strictement positives telle que \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=1\] on définit l’entropie de \(f\) par rapport à \(\varphi\) par : \[\mathrm{Ent}_\varphi(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}\ln\big(f(x)\big)f(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x\]
Dans la suite de cette partie, \(f\) est un élément de \(C^2(\mathbb{R})\) à valeurs strictement positives tel que les fonctions \(f\), \(f'\), \(f''\) et \(\dfrac{f'^2}{f}\) soient à croissance lente. On suppose aussi que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=1\).
Étudier les variations de la fonction \(t\mapsto t\ln(t)\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). On vérifiera que l’on peut prolonger par continuité la fonction en \(0\).
Justifier que la quantité \(\mathrm{Ent}_\varphi(g)\) est bien définie pour tout \(g\in C^0(\mathbb{R})\cap CL(\mathbb{R})\) à valeurs strictement positives telle que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=1\).
Indication : On pourra utiliser la question 11.
Pour \(t\in\mathbb{R}_+\), on pose \(S(t)=\mathrm{Ent}_\varphi\big(P_t(f)\big)\). Justifier que \(S(t)\) est bien définie.
Montrer que \(S\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\).
Indication : On pourra au préalable montrer que, si \(x\in\mathbb{R}\), \(t\mapsto P_t(f)(x)\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\).
Vérifier que l’on a \(S(0)=\mathrm{Ent}_\varphi(f)\) et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}S(t)=0\).
On admet que \(S\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\quad S'(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t}\Big(1+\ln\big(P_t(f)(x)\big)\Big)\varphi(x)\,\mathrm{d}x\] Montrer que \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\quad S'(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}L\big(P_t(f)\big)(x)\Big(1+\ln\big(P_t(f)(x)\big)\Big)\varphi(x)\,\mathrm{d}x\]
En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions \(P_t(f)\) et \(1+\ln\big(P_t(f)\big)\), montrer que \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\quad -S'(t)=\mathrm{e}^{-2t}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P_t(f')(x)^2}{P_t(f)(x)}\varphi(x)\,\mathrm{d}x\]
En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\quad -S'(t)\leqslant\mathrm{e}^{-2t}\int_{-\infty}^{+\infty}P_t\left(\frac{f'^2}{f}\right)(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x\]
En déduire que l’on a : \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\quad -S'(t)\leqslant\mathrm{e}^{-2t}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f'^2(x)}{f(x)}\varphi(x)\,\mathrm{d}x\]
Établir l’inégalité suivante \[\mathrm{Ent}_\varphi(f)\leqslant\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f'^2(x)}{f(x)}\varphi(x)\,\mathrm{d}x\]
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un beau problème d'analyse autour de la mesure gaussienne : intégrales à paramètre et intégrations par parties sur ℝ, semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck, jusqu'à l'inégalité de log-Sobolev.
Technique mais très progressif.