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Généralisation d’une intégrale de Dirichlet et application
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2024, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Le but de ce sujet est de calculer l’intégrale de Dirichlet généralisée \[\int_0^{+\infty}\frac{1-\Big(\cos(t)\Big)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm{d}t\]
et d’utiliser ce calcul pour évaluer une espérance.
Dans tout ce qui suit, \(x\) est un élément de \(\left]0;1\right[\) fixé.
Montrer que pour tout \(\theta\in\left]-\pi;\pi\right[\), la fonction \(f\) définie par \[\begin{array}{rccl} f : & \left]0;{+\infty}\right[ & \longrightarrow & \mathbb{C}\\[0.3em] & t & \longmapsto & \dfrac{t^{x-1}}{1+t\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} \end{array}\]
est définie et intégrable sur \(\left]0;{+\infty}\right[\).
Soit \(r\) la fonction définie par \[\begin{array}{rccl} r : & \left]-\pi;\pi\right[ & \longrightarrow & \mathbb{C}\\[0.3em] & \theta & \longmapsto & \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}\,\mathrm{d}t \end{array}\]
Montrer que la fonction \(r\) est de classe \(\mathrm{C}^{1}\) sur \(\left]-\pi;\pi\right[\) et que : \[\forall\theta\in\left]-\pi;\pi\right[,\quad r'(\theta)=-\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{\left(1+t\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^2}\,\mathrm{d}t\]
Indication : soit \(\beta\in\left]0;\pi\right[\), montrer que pour tout \(\theta\in[-\beta;\beta]\) et \(t\in\left[0,{+\infty}\right[\), \(\left| 1+t\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \right|^2\geqslant\left| 1+t\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta} \right|^2=(t+\cos(\beta))^2+(\sin(\beta))^2\).
Soit \(g\) la fonction définie par \[\begin{array}{rccl} g : & \left]-\pi;\pi\right[ & \longrightarrow & \mathbb{C}\\[0.3em] & \theta & \longmapsto & \mathrm{e}^{\mathrm{i}x\theta}\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}\,\mathrm{d}t \end{array}\]
Montrer que la fonction \(g\) est de classe \(\mathrm{C}^{1}\) sur \(\left]-\pi;\pi\right[\) et que pour tout \(\theta\in\left]-\pi;\pi\right[\), \[g'(\theta)=\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x\theta}\int_0^{+\infty}h'(t)\,\mathrm{d}t\]
où \(h\) est la fonction définie par \[\begin{array}{rccl} h : & \left]0;{+\infty}\right[ & \longrightarrow & \mathbb{C}\\[0.3em] & t & \longmapsto & \dfrac{t^x}{1+t\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} \end{array}\]
Calculer \(h(0)\) et \[\lim_{t\to+\infty}h(t)\]
En déduire que la fonction \(g\) est constante sur \(\left]-\pi;\pi\right[\).
Montrer que pour tout \(\theta\in\left]0;\pi\right[\), \[g(\theta)\sin(x\theta)=\frac{1}{2\mathrm{i}}\Big(g(-\theta)\mathrm{e}^{\mathrm{i}x\theta}-g(\theta)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\theta}\Big)=\sin(\theta)\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{t^2+2t\cos(\theta)+1}\,\mathrm{d}t\]
En déduire que : \[\forall\theta\in\left]0;\pi\right[,\quad g(\theta)\sin(\theta x)=\int_{\mathrm{cotan}(\theta)}^{+\infty}\frac{\Big(u\sin(\theta)-\cos(\theta)\Big)^x}{1+u^2}\,\mathrm{d}u\]
où \(\mathrm{cotan}(\theta)=\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\).
Montrer, en utilisant le théorème de convergence dominée, que : \[\lim_{\theta\to\pi^-}g(\theta)\sin(x\theta)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}\]
En déduire que \[\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}\]
On rappelle que \(x\) est un élément de \(\left]0;1\right[\) fixé.
Montrer que \[\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t=\int_0^1\left(\frac{t^{x-1}}{1+t}+\frac{t^{-x}}{1+t}\right)\mathrm{d}t\]
Montrer que : \[\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k+x}\]
Établir l’identité \[\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+1-x}\]
En déduire que l’on a \[\frac{\pi}{\sin(\pi x)}=\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^nx}{n^2-x^2}\]
En déduire enfin que : \[\forall y\in\left]0;\pi\right[,\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^ny\sin(y)}{y^2-n^2\pi^2}=1-\frac{\sin(y)}{y}\]
Montrer que l’intégrale \[\int_0^{+\infty}\frac{1-\Big(\cos(t)\Big)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm{d}t\]
converge et que : \[\int_0^{+\infty}\frac{1-\Big(\cos(t)\Big)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm{d}t=(2p+1)\int_0^{+\infty}\Big(\cos(t)\Big)^{2p}\,\frac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t\]
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) : \[\int_{\frac{\pi}{2}+(n-1)\pi}^{\frac{\pi}{2}+n\pi}\Big(\cos(t)\Big)^{2p}\,\frac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\Big(\cos(t)\Big)^{2p}\,\frac{2(-1)^nt\sin(t)}{t^2-n^2\pi^2}\,\mathrm{d}t\]
En déduire que : \[\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty}\Big(\cos(t)\Big)^{2p}\,\frac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\Big(\cos(t)\Big)^{2p}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^nt\sin(t)}{t^2-n^2\pi^2}\right)\mathrm{d}t\]
En déduire que : \[\int_0^{+\infty}\Big(\cos(t)\Big)^{2p}\,\frac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\Big(\cos(t)\Big)^{2p}\,\mathrm{d}t\]
Dans le cas \(p=0\), cette intégrale est communément appelée « Intégrale de Dirichlet ».
Montrer que : \[(\cos(t))^{2p}=\frac{1}{2^{2p}}\left(\binom{2p}{p}+2\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2p}{k}\cos(2(p-k)t)\right)\]
Indication : On pourra développer \(\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}}{2}\right)^{2p}\).
En déduire que : \[\int_0^{+\infty}\frac{1-\Big(\cos(t)\Big)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}\,\frac{(2p+1)!}{2^{2p}.(p!)^2}\]
Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Soient \((X_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\) des variables aléatoires indépendantes, de même loi donnée par : \[\mathbb{P}(X_1=-1)=\mathbb{P}(X_1=1)=\frac{1}{2}\]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k\).
Déterminer, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(\mathbb{E}(S_n)\) et \(\mathbb{V}(S_n)\).
Soient \(S\) et \(T\) deux variables aléatoires indépendantes prenant toutes deux un nombre fini de valeurs réelles. On suppose que \(T\) et \(-T\) suivent la même loi.
Montrer que : \[\mathbb{E}\!\left(\cos(S+T)\right)=\mathbb{E}\!\left(\cos(S)\right)\,\mathbb{E}\!\left(\cos(T)\right)\]
En déduire que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), et pour tout \(t\in\mathbb{R}\) : \[\mathbb{E}\!\left(\cos(tS_n)\right)=\Big(\cos(t)\Big)^n\]
Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(a\neq0\) et \(\left| b \right|\leqslant\left| a \right|\). Montrer que \[\left| a+b \right|=\left| a \right|+\mathrm{signe}(a)\,b\]
où \(\mathrm{signe}(x)=x/\left| x \right|\) pour \(x\) réel non nul. En déduire que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\quad \mathbb{E}\!\left(\left| S_{2n} \right|\right)=\mathbb{E}\!\left(\left| S_{2n-1} \right|\right)\]
Montrer que pour tout \(s\in\mathbb{R}\) \[\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos(st)}{t^2}\,\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}\left| s \right|\]
En déduire que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) : \[\mathbb{E}\!\left(\left| S_n \right|\right)=\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{1-\Big(\cos(t)\Big)^n}{t^2}\,\mathrm{d}t\]
Conclure que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\quad \mathbb{E}\!\left(\left| S_{2n} \right|\right)=\mathbb{E}\!\left(\left| S_{2n-1} \right|\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-2}\Big((n-1)!\Big)^2}\]
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet d'intégration très complet : intégrales à paramètre, convergence dominée et intégration terme à terme autour d'une généralisation de l'intégrale de Dirichlet, puis une application probabiliste aux marches aléatoires.
Guidé et très formateur.