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Distance entre deux distributions de probabilités sur \(\mathbb{N}\)
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2023, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathcal{S}_n\) l’ensemble des permutations de l’intervalle entier \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]=\{1,2,\cdots,n\}\), c’est-à-dire des bijections de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) vers lui-même. Si \(\sigma\in\mathcal{S}_n\) est une permutation, on appelle point fixe de \(\sigma\) tout entier \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que \(\sigma(i)=i\).
Une permutation \(\sigma\in\mathcal{S}_n\) est appelée un dérangement si elle n’a aucun point fixe. Pour tout \(n\geqslant1\), on note \(d_n\) le nombre de dérangements de l’intervalle entier \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Par convention, on pose \(d_0=1\).
On munit l’ensemble fini \(\mathcal{S}_n\) de la probabilité uniforme notée \(\mathbb{P}_n\). Sur l’espace probabilisé fini \((\mathcal{S}_n,\mathbb{P}_n)\), on définit la variable aléatoire \(X_n\) telle que, pour tout \(\sigma\in\mathcal{S}_n\), \(X_n(\sigma)\) est le nombre de points fixes de la permutation \(\sigma\).
On introduit enfin la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geqslant0}\frac{d_n}{n!}x^n\), dont le rayon de convergence est noté \(R\), et dont la somme sur l’intervalle de convergence \(\left]-R,R\right[\) est notée \(s\) : \[\forall x\in\left]-R,R\right[\qquad s(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{d_n}{n!}\,x^n\]
Rappeler le cardinal de \(\mathcal{S}_n\). En déduire que \(R\geqslant1\).
Pour \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), montrer que le nombre de permutations de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) ayant exactement \(k\) points fixes est \(\binom{n}{k}d_{n-k}\).
En déduire que \(\mathbb{P}_n(X_n=k)=\frac{d_{n-k}}{k!(n-k)!}\).
Montrer que \[\forall x\in\left]-1,1\right[\qquad s(x)\,\mathrm{e}^x=\frac{1}{1-x}\] En déduire que \(R=1\).
En partant de la relation \((1-x)s(x)=\mathrm{e}^{-x}\) pour \(x\in\left]-1,1\right[\), exprimer \(\frac{d_n}{n!}\) pour \(n\) entier naturel, sous la forme d’une somme.
Montrer que la loi de la variable aléatoire \(X_n\) est donnée par \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\qquad \mathbb{P}_n(X_n=k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}\]
Sur l’espace probabilisé fini \((\mathcal{S}_n,\mathbb{P}_n)\), on définit, pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la variable aléatoire \(U_i\) telle que, pour tout \(\sigma\in\mathcal{S}_n\), on ait \(U_i(\sigma)=1\) si \(\sigma(i)=i\), et \(U_i(\sigma)=0\) sinon.
Montrer que \(U_i\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{n}\).
Montrer que, si \(i\neq j\), la variable \(U_iU_j\) suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
Exprimer \(X_n\) à l’aide des \(U_i\), \(1\leqslant i\leqslant n\). En déduire l’espérance \(\mathbb{E}(X_n)\) et la variance \(\mathbb{V}(X_n)\).
Dans cette question, on fixe un entier naturel \(k\). Déterminer \[y_k=\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}_n(X_n=k)\] Soit \(Y\) une variable aléatoire sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), à valeurs dans \(\mathbb{N}\), et vérifiant \[\forall k\in\mathbb{N}\qquad \mathbb{P}(Y=k)=y_k\] Reconnaître la loi de \(Y\).
On note \(G_{X_n}\) et \(G_Y\) les fonctions génératrices respectives des variables \(X_n\) et \(Y\) de la question précédente. Exprimer \(G_{X_n}(s)\) sous forme de somme, pour \(s\) réel, et vérifier que \[\forall s\in\mathbb{R}\qquad \lim_{n\to+\infty}G_{X_n}(s)=G_Y(s)\]
Dans la suite du problème, on appelle distribution (de probabilités) sur \(\mathbb{N}\) toute application \(x\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}_+\) telle que \[\sum_{k=0}^{+\infty}x(k)=1\] On note \(\mathcal{D}_{\mathbb{N}}\) l’ensemble des distributions de probabilités sur \(\mathbb{N}\).
Si \(x\) et \(y\) sont deux distributions sur \(\mathbb{N}\), on définit la distance en variation totale entre \(x\) et \(y\) par \[d_{VT}(x,y)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\left| x(k)-y(k) \right|\]
Soient \(x\), \(y\), \(z\) trois distributions sur \(\mathbb{N}\). Prouver les propriétés : \[\begin{gathered} 0\leqslant d_{VT}(x,y)\leqslant1\ ;\\ d_{VT}(x,y)=0\iff x=y\ ;\\ d_{VT}(y,x)=d_{VT}(x,y)\ ;\\ d_{VT}(x,z)\leqslant d_{VT}(x,y)+d_{VT}(y,z) \end{gathered}\]
Si \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), on note \(p_X\) la distribution de probabilités de \(X\). Ainsi, \(p_X\) est l’application de \(\mathbb{N}\) vers \(\mathbb{R}_+\) définie par \[\forall k\in\mathbb{N}\qquad p_X(k)=\mathbb{P}(X=k)\] Il est clair que \(p_X\in\mathcal{D}_{\mathbb{N}}\).
En particulier, si \(\lambda\) est un réel strictement positif, on appelle distribution de Poisson de paramètre \(\lambda\) l’application \(\pi_\lambda\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}_+\) telle que \[\forall k\in\mathbb{N}\qquad \pi_\lambda(k)=\mathrm{e}^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!}\]
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables de Bernoulli, ayant respectivement pour paramètres \(\lambda\in\left]0,1\right[\) et \(\mu\in\left]0,1\right[\). Calculer \(d_{VT}(p_X,p_Y)\).
Soit \(X\) une variable de Bernoulli de paramètre \(\lambda\in\left]0,1\right[\). Montrer que \[d_{VT}(p_X,\pi_\lambda)=\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)\] En déduire que \[d_{VT}(p_X,\pi_\lambda)\leqslant\lambda^2\]
On considère de nouveau les variables aléatoires \(X_n\) introduites dans la partie 1. Les questions 8. et 9. semblent montrer une certaine « convergence » des lois des variables \(X_n\) vers la loi de Poisson de paramètre 1. Le but de la fin de cette partie est de montrer que \[d_{VT}(p_{X_n},\pi_1)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\] et que cette convergence est assez rapide.
Vérifier la relation, pour tout \(n\) entier naturel non nul, \[2\,d_{VT}(p_{X_n},\pi_1)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left| \sum_{i=n-k+1}^{+\infty}\frac{(-1)^i}{i!} \right|+\mathrm{e}^{-1}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!}\]
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(r_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!}\). Prouver la majoration \[r_n\leqslant\frac{1}{(n+1)!}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)^k}\] En déduire un équivalent simple de \(r_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
En continuant de majorer le second membre de l’égalité de la question 13., établir l’estimation \[d_{VT}(p_{X_n},\pi_1)\underset{n\to+\infty}{=}O\!\left(\frac{2^n}{(n+1)!}\right)\] On pourra faire intervenir des coefficients binomiaux.
Si \(x\) et \(y\) sont deux distributions de probabilités sur \(\mathbb{N}\), on définit l’application \(x\ast y\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}_+\) par \[\forall k\in\mathbb{N}\qquad (x\ast y)(k)=\sum_{i=0}^{k}x(i)\,y(k-i)=\sum_{i+j=k}x(i)\,y(j)\]
Montrer que \(x\ast y\) est une distribution sur \(\mathbb{N}\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}\), définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). Prouver la relation \[p_{X+Y}=p_X\ast p_Y\]
Soient \((x,y,u,v)\in(\mathcal{D}_{\mathbb{N}})^4\). Montrer que, pour tout \(k\) entier naturel, \[\left| (x\ast y)(k)-(u\ast v)(k) \right|\leqslant\sum_{i+j=k}y(j)\left| x(i)-u(i) \right|+\sum_{i+j=k}u(i)\left| y(j)-v(j) \right|\]
Avec les notations de la question précédente, établir l’inégalité \[d_{VT}(x\ast y,u\ast v)\leqslant d_{VT}(x,u)+d_{VT}(y,v)\]
Soit \(U\) une variable binomiale de paramètres \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et \(\lambda\in\left]0,1\right[\). Prouver l’inégalité \[d_{VT}(p_U,\pi_{n\lambda})\leqslant n\,\lambda^2\]
Soit \(\alpha\) un réel strictement positif. Pour tout entier naturel \(n\) tel que \(n>\left\lfloor \alpha \right\rfloor\), on note \(B_n\) une variable binomiale de paramètres \(n\) et \(\frac{\alpha}{n}\). Pour tout \(k\) entier naturel, déterminer \[\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(B_n=k)\] On pourra utiliser la question précédente.
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels strictement positifs. En utilisant les résultats et les méthodes qui précèdent, montrer que \[d_{VT}(\pi_\alpha,\pi_\beta)\leqslant\left| \beta-\alpha \right|\]
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet de probabilités discrètes autour de la distance en variation totale : dérangements, fonctions génératrices, puis approximation de lois binomiales par des lois de Poisson.
Progressif et très accessible.