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Fonction de Wallis
Durée de l’épreuve : 4 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2023, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Dans tout le sujet, l’intervalle \(\left]-1,+\infty\right[\) de \(\mathbb{R}\) est appelé \(I\) et \(\sigma\) et \(f\) sont les fonctions, de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), définies par : \[\sigma(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{k^2}\] et \[f(x)=\int_0^{\pi/2}(\sin(t))^x\ \mathrm{d}t\]
On se propose, dans cette épreuve, d’étudier \(f\) (domaine de définition, régularité, variations, convexité, développement éventuel en série entière,...) puis, dans la dernière partie, de montrer qu’elle est la seule fonction numérique à vérifier certaines propriétés.
Déterminer le domaine de définition de \(\sigma\) puis justifier que \(\sigma\) est continue sur celui-ci.
Exhiber deux nombres réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \int_0^\pi(\alpha t^2+\beta t)\cos(nt)\ \mathrm{d}t=\frac{1}{n^2}\] puis vérifier que si \(t\in\left]0,\pi\right]\), alors : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \sum_{k=1}^n\cos(kt)=\frac{\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac{1}{2}\]
Justifier que, si \(\varphi\) est une application de classe \(\mathcal{C}^1\) de \([0,\pi]\) dans \(\mathbb{R}\), alors \[\lim_{x\to+\infty}\int_0^\pi\varphi(t)\sin(xt)\ \mathrm{d}t=0\] et en conclure que \[\sigma(1)=\frac{\pi^2}{6}\]
Déterminer le domaine de définition de \(f\) puis vérifier que \[\forall x\in I,\ (x+1)f(x)=(x+2)f(x+2)\tag{1}\]
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\), décroissante et convexe sur \(I\).
Donner un équivalent simple de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(-1\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \[f(n)f(n+1)=\frac{\pi}{2(n+1)}\] puis que : \[f(x)\underset{x\to+\infty}{\sim}\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\]
Représenter graphiquement \(f\) en exploitant au mieux les résultats précédents.
Si \(n\in\mathbb{N}\), on note \(D_n\) l’intégrale généralisée \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\ln(\sin(t)))^n\ \mathrm{d}t\).
Justifier que, si \(n\in\mathbb{N}\), l’intégrale généralisée \(D_n\) est convergente, puis montrer que \[D_1=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos(t))\ \mathrm{d}t\]
Calculer \(f'(0)\) et \(f'(1)\).
Vérifier que si \(n\in\mathbb{N}^\ast\), alors \[(-1)^nD_n=\int_0^{+\infty}\frac{u^n}{\sqrt{\mathrm{e}^{2u}-1}}\ \mathrm{d}u\] puis que \[D_n\underset{n\to+\infty}{\sim}(-1)^nn!\]
Démontrer que \(f\) est développable en série entière sur \(\left]-1,1\right[\).
On se propose dans cette partie de calculer \(f''(0)\). Dans ce but, on considère deux nombres réels strictement positifs \(a\) et \(b\), et on pose \[\rho=\frac{b-a}{b+a}\]
On appelle \(\Psi\) l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Psi(x)=\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)\]
Montrer que \(\Psi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\), puis que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[\Psi'(x)=4\sum_{k=1}^{+\infty}\rho^k\sin(2kx)\]
En déduire que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[\Psi(x)=2\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)-2\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\cos(2kx)}{k}\,\rho^k\]
En conclure que \[\int_0^\pi\Psi(x)^2dx=4\pi\left(\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)^2+2\pi\sigma(\rho^2)\]
On définit les suites réelles \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) par \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ a_n=\frac{1}{n+1}\ \text{et}\ b_n=\frac{n}{n+1}\]
Établir la convergence simple de la suite d’applications \((\Psi_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\), de \(\left]0,\pi\right]\) dans \(\mathbb{R}\), définie par : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall t\in\left]0,\pi\right],\ \Psi_n(t)=\ln(a_n^2\cos^2t+b_n^2\sin^2t)\] En déduire \(f''(0)\).
Une application \(h\) d’un intervalle non trivial \(J\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) est dite ln-convexe si, et seulement si, elle est à valeurs dans \(\mathbb{R}_+^\ast\) et \(\ln\circ h\) est convexe sur \(J\).
Vérifier que \(f\) est une application de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) ln-convexe.
On souhaite désormais déterminer toutes les applications de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) qui sont ln-convexes et qui vérifient la propriété (1), voir question 4.
On appelle \(\tilde{f}\) l’application de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}\), définie par : \[\forall x\in\mathbb{R}^+,\ \tilde{f}(x)=\ln(f(2x))\]
Montrer que \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\forall x\in\mathbb{R}_+,\ \tilde{f}(x+p)=\tilde{f}(x)+\sum_{k=0}^{p-1}\ln\left(\frac{2x+2k+1}{2x+2k+2}\right)\]
On suppose ici que \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\), \((n,p)\in(\mathbb{N}^\ast)^2\) et \(x\leqslant p\). Vérifier que \[\tilde{f}(n)-\tilde{f}(n-1)\leqslant\frac{\tilde{f}(n+x)-\tilde{f}(n)}{x}\leqslant\frac{\tilde{f}(n+p)-\tilde{f}(n)}{p}\] et que \((\tilde{f}(n+x)-\tilde{f}(n))\) admet une limite lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
En conclure que \(f\) est la seule application de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), qui soit ln-convexe, qui vérifie (1) et telle que \[f(0)=\frac{\pi}{2}\]
Plus généralement, déterminer, si \(T\in\mathbb{R}_+^\ast\), toutes les applications \(g\) de \(\left]-T,+\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\), ln-convexes et vérifiant \[\forall t\in\left]-T,+\infty\right[,\ (t+T)g(t)=(t+2T)g(t+2T)\]
Existe-t-il une application \(h\), de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et ln-convexe, vérifiant \[\forall t\in\mathbb{R},\ (t+T)h(t)=(t+2T)h(t+2T)\ ?\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet d'analyse classique et riche autour de la fonction de Wallis : séries de Fourier faites à la main, intégrales à paramètre, développement en série entière, puis caractérisation par la log-convexité dans l'esprit du théorème de Bohr-Mollerup.