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Quelques inégalités de convexité autour du déterminant
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2023, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Dans tout le problème, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note \(M_n(\mathbb{R})\) (resp. \(M_{n,1}(\mathbb{R})\)) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) (resp. \(n\times1\)) à coefficients réels.
La matrice identité de \(M_n(\mathbb{R})\) est notée \(I_n\).
Si \(A\in M_n(\mathbb{R})\), \(\det(A)\) est le déterminant de la matrice \(A\), \(\mathrm{Tr}(A)\) sa trace, \(\mathrm{Sp}(A)\) son spectre et \(A^\top\) sa transposée.
On note \(S_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices symétriques à coefficients réels de taille \(n\times n\).
Sur \(M_{n,1}(\mathbb{R})^2\), on définit l’application \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) par \[\forall(X,Y)\in M_{n,1}(\mathbb{R})^2,\quad \langle X,Y\rangle=X^\top Y\] où \(X^\top\) est la transposée de \(X\). On admet que l’on définit ainsi un produit scalaire sur \(M_{n,1}(\mathbb{R})\). On note \(\|\cdot\|\) la norme associée.
On admet que l’application \(A\in M_n(\mathbb{R})\mapsto\|A\|_2=\sqrt{\mathrm{Tr}\left(A^\top A\right)}\) est une norme sur \(M_n(\mathbb{R})\).
On note \(S_n^+(\mathbb{R})\) (resp. \(S_n^{++}(\mathbb{R})\)) l’ensemble des matrices symétriques \(S\in S_n(\mathbb{R})\) telles que \[\forall X\in M_{n,1}(\mathbb{R})\setminus\{0\},\quad \langle SX,X\rangle\geqslant0\ \ (\text{resp. }>0)\]
Soit \(C\) une partie non vide d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\). On dit que \(C\) est convexe si : pour tous \(x,y\in C\) et pour tout \(t\in[0,1]\), \((1-t)x+ty\in C\).
On admet que si \(C\) est une partie convexe d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), alors pour tout \(p\in\mathbb{N}^\ast\), pour tout \((x_1,\dots,x_p)\in C^p\) et pour tout \((\lambda_1,\dots,\lambda_p)\in(\mathbb{R}_+)^p\) tel que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{p}\lambda_i=1\), alors \(\displaystyle\sum_{i=1}^{p}\lambda_ix_i\in C\).
Une application \(f:C\to\mathbb{R}\) définie sur une partie convexe \(C\) d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est dite convexe si \[\forall(x,y)\in C^2,\ \forall t\in[0,1],\quad f\big((1-t)x+ty\big)\leqslant(1-t)f(x)+tf(y)\]
Une application \(f:C\to\mathbb{R}\) définie sur une partie convexe \(C\) d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est dite concave si son opposé, \(-f\), est convexe, c’est-à-dire \[\forall(x,y)\in C^2,\ \forall t\in[0,1],\quad f\big((1-t)x+ty\big)\geqslant(1-t)f(x)+tf(y)\]
Montrer qu’une matrice \(S\in S_n(\mathbb{R})\) appartient à \(S_n^+(\mathbb{R})\) si, et seulement si, \(\mathrm{Sp}(S)\subset\mathbb{R}_+\).
De même, on admettra dans la suite du problème que : \(S\in S_n^{++}(\mathbb{R})\) si, et seulement si, \(\mathrm{Sp}(S)\subset\mathbb{R}_+^\ast\).
Montrer que \(S_n^+(\mathbb{R})\) et \(S_n^{++}(\mathbb{R})\) sont des parties convexes de \(M_n(\mathbb{R})\). Sont-elles des sous-espaces vectoriels de \(M_n(\mathbb{R})\) ?
Montrer que, si \(A\in S_n^{++}(\mathbb{R})\), il existe \(S\in S_n^{++}(\mathbb{R})\) telle que \(A=S^2\).
Soit \(I\) intervalle de \(\mathbb{R}\). Soit \(f:I\to\mathbb{R}\) une fonction convexe. Montrer que, pour tout \(p\in\mathbb{N}^\ast\), pour tout \((\lambda_1,\dots,\lambda_p)\in(\mathbb{R}_+)^p\) tel que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{p}\lambda_i=1\) et pour tout \((x_1,\dots,x_p)\in I^p\), on a : \[f\left(\sum_{i=1}^{p}\lambda_ix_i\right)\leqslant\sum_{i=1}^{p}\lambda_if(x_i)\]
Indication : On pourra procéder par récurrence sur \(p\).
Soit \(M\in S_n^+(\mathbb{R})\) une matrice non nulle.
Montrer l’inégalité \(\dfrac{\mathrm{Tr}(M)}{n}\geqslant\det\nolimits^{1/n}(M)\).
Indication : On pourra montrer que \(x\mapsto-\ln(x)\) est convexe sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
On pourra dans la suite de cette partie utiliser, sans la prouver, l’inégalité ci-dessous \[\begin{gathered} \forall(x_1,\dots,x_n)\in(\mathbb{R}_+)^n,\\ 2\max\{x_1,\dots,x_n\}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k-\prod_{k=1}^{n}x_k^{1/n}\right)\geqslant\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(x_k-\prod_{j=1}^{n}x_j^{1/n}\right)^2 \end{gathered}\]
Exprimer \(\|M\|_2\) en fonction des valeurs propres de \(M\).
En déduire que \[\frac{\mathrm{Tr}(M)}{n}-\det\nolimits^{1/n}(M)\geqslant\frac{\left\|M-\det\nolimits^{1/n}(M)\,I_n\right\|_2^2}{2n\|M\|_2}\]
Soient \(A\in S_n^{++}(\mathbb{R})\) et \(B\in S_n(\mathbb{R})\). Montrer qu’il existe une matrice diagonale \(D\in M_n(\mathbb{R})\) et \(Q\in GL_n(\mathbb{R})\) telles que \(B=QDQ^\top\) et \(A=QQ^\top\). Que dire des éléments diagonaux de \(D\) si \(B\in S_n^{++}(\mathbb{R})\) ?
Indication : On pourra utiliser la question 3.
Étudier la convexité de la fonction \(t\mapsto\ln\left(1+\mathrm{e}^t\right)\).
Montrer l’inégalité \[\forall(A,B)\in S_n^{++}(\mathbb{R})^2,\quad \det\nolimits^{1/n}(A+B)\geqslant\det\nolimits^{1/n}(A)+\det\nolimits^{1/n}(B)\]
Montrer que, si \(A\) et \(B\) appartiennent \(S_n^{++}(\mathbb{R})\), alors : \[\forall t\in[0,1],\quad \det\big((1-t)A+tB\big)\geqslant\det(A)^{1-t}\det(B)^t\]
Justifier que cette inégalité reste valable pour \(A\) et \(B\) seulement dans \(S_n^+(\mathbb{R})\).
Que peut-on en déduire sur la fonction \(\ln\circ\det\) sur \(S_n^{++}(\mathbb{R})\) ?
Soit \(A\in S_n^{++}(\mathbb{R})\) et soit \(g:t\in\mathbb{R}\mapsto\det(I_n+tA)\).
Exprimer, pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \(g(t)\) à l’aide des valeurs propres de \(A\). En déduire que \(g\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(f:t\mapsto\ln\big(\det(I_n+tA)\big)\). Montrer que \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\quad \ln\big(\det(I_n+tA)\big)\leqslant\mathrm{Tr}(A)\,t\]
Soient \(A\in S_n^{++}(\mathbb{R})\) et \(M\in S_n(\mathbb{R})\). Soit l’application \(f_A\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f_A(t)=\det(A+tM)\]
Montrer que \(f_A\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer qu’il existe \(\varepsilon_0>0\) tel que, pour tout \(t\in\left]-\varepsilon_0,\varepsilon_0\right[\), \(A+tM\in S_n^{++}(\mathbb{R})\).
Montrer que \(f_A(t)\underset{t\to0}{=}\det(A)+\det(A)\mathrm{Tr}\left(A^{-1}M\right)t+\circ(t)\).
Indication : On pourra commencer par traiter le cas où \(A=I_n\).
Déterminer \(f_A'(t)\) pour tout \(t\in\left]-\varepsilon_0,\varepsilon_0\right[\).
On admet que la fonction \(\Phi:t\mapsto(A+tM)^{-1}\) est de classe \(C^1\) sur \(\left]-\varepsilon_0,\varepsilon_0\right[\). En remarquant que \(\Phi(t)\times(A+tM)=I_n\), montrer que \[\Phi(t)\underset{t\to0}{=}A^{-1}-A^{-1}MA^{-1}t+\circ(t)\]
Soit \(\alpha\in\left]-\frac{1}{n},+\infty\right[\setminus\{0\}\). On définit l’application \(\varphi_\alpha\) par \[\forall t\in\left]-\varepsilon_0,\varepsilon_0\right[,\ \varphi_\alpha(t)=\frac{1}{\alpha}\det\nolimits^{-\alpha}(A+tM)\]
Montrer que \(\varphi_\alpha\) est dérivable sur \(\left]-\varepsilon_0,\varepsilon_0\right[\) et que \[\forall t\in\left]-\varepsilon_0,\varepsilon_0\right[,\quad \varphi_\alpha'(t)=-\mathrm{Tr}\Big((A+tM)^{-1}M\Big)\det\nolimits^{-\alpha}(A+tM)\]
Montrer que \(\varphi_\alpha\) est deux fois dérivable en \(0\) et que \[\varphi_\alpha''(0)=\det\nolimits^{-\alpha}(A)\Big(\alpha\mathrm{Tr}^2\left(A^{-1}M\right)+\mathrm{Tr}\Big(\left(A^{-1}M\right)^2\Big)\Big)\]
Montrer que \(A^{-1}M\) est semblable à une matrice symétrique réelle.
Indication : On pourra utiliser la question 3.
En déduire que \(\varphi_\alpha''(0)\geqslant0\).
Montrer que, si \(\varphi_\alpha''(0)>0\), alors il existe \(\eta>0\), tel que pour tout \(t\in\left]-\eta,\eta\right[\), \[\frac{1}{\alpha}\det\nolimits^{-\alpha}(A+tM)\geqslant\frac{1}{\alpha}\det\nolimits^{-\alpha}(A)-\mathrm{Tr}\left(A^{-1}M\right)\det\nolimits^{-\alpha}(A)\,t\]
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un problème élégant mêlant algèbre linéaire et convexité : inégalité de Jensen, log-concavité du déterminant sur les matrices symétriques définies positives, inégalité de Minkowski.
La réduction à la matrice identité par congruence est l'idée clé.