Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Théorème de stabilité de Liapounov
Durée de l’épreuve : 3 heures. L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Sujet du Concours commun Mines-Ponts 2023, propriété du GIP CCMP, reproduit avec son autorisation.
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul. On note \(\left \langle . \,\vert \, . \right \rangle\) le produit scalaire usuel de \(\mathbb{K}^n\), \(\mathbb{K}\) pouvant être \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et \(\left\| . \right\|\) la norme euclidienne associée.
Si \(u\) et \(v\) sont deux applications linéaires pour lesquelles la notation \(u\circ v\) a un sens, alors on note \(uv\) l’application \(u\circ v\). De plus, si \(u\) est un endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) et \(k\) est un entier naturel non nul, \(u^k\) désigne l’application \(u\circ\cdots\circ u\), où \(u\) apparaît \(k\) fois dans l’écriture. Par convention \(u^0=\mathrm{id}_E\).
On s’intéresse au système différentiel suivant : \[\left\{\begin{array}{rcl} y' & = & \varphi(y)\\ y(0) & = & x_0 \end{array}\right.\]
avec \(x_0\in\mathbb{R}^n\) et \(\varphi\) est une application de classe \(\mathrm{C}^{1}\) de \(\mathbb{R}^n\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^n\), telle que \(\varphi(0)=0\). Cela entraîne que si \(x_0=0\), alors la solution de ce système est la fonction nulle, et donc \(0\) est un point d’équilibre. Notons \(\mathrm{d}\varphi(0)\) l’application différentielle de \(\varphi\) en \(0\). L’objectif de ce problème est d’établir une condition suffisante sur le spectre de \(\mathrm{d}\varphi(0)\) pour assurer la stabilité de l’équilibre en ce point, et d’obtenir des informations quant à la dynamique des solutions au voisinage de ce point d’équilibre. Plus précisément, on établit le résultat suivant :
Théorème de Liapounov :
Soit le système différentiel suivant : \[\left\{\begin{array}{rcl} y' & = & \varphi(y)\\ y(0) & = & x_0 \end{array}\right.\]
avec \(x_0\in\mathbb{R}^n\) et \(\varphi\) est une application de classe \(\mathrm{C}^{1}\) de \(\mathbb{R}^n\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^n\), telle que \(\varphi(0)=0\) et telle que toutes les valeurs propres complexes de \(\mathrm{d}\varphi(0)\) aient une partie réelle strictement négative. Alors il existe trois constantes \(\tilde{\alpha}\), \(C\) et \(\beta\) strictement positives telles que : \[\forall x_0\in B(0,\tilde{\alpha}),\quad \forall t\in\mathbb{R}_+,\ \left\| f_{x_0}(t) \right\|\leqslant C\mathrm{e}^{-\beta t}\left\| x_0 \right\|\]
où \(f_{x_0}\) est l’unique solution du système différentiel et \(B(0,\tilde{\alpha})\) désigne la boule ouverte, pour la norme \(\left\| . \right\|\), de centre \(0\) et de rayon \(\tilde{\alpha}\).
Dans une première partie, on étudie une norme sur les endomorphismes des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{K}^n\). Dans la seconde partie, on établit des résultats sur le système différentiel linéaire, en se servant des résultats de la partie A. Enfin, la troisième partie est consacrée à la démonstration du théorème de Liapounov. Cette dernière partie est très largement indépendante des deux premières, à l’exception du résultat obtenu à la fin de la partie B.
Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{K}^n\). Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\).
Après avoir justifié l’existence des bornes supérieures, montrer que : \[\sup_{\substack{x\in E\\ x\neq0}}\frac{\left\| u(x) \right\|}{\left\| x \right\|}=\sup_{\substack{x\in E\\ \left\| x \right\|=1}}\left\| u(x) \right\|\]
On note \(\left|\!\left|\!\left| u \right|\!\right|\!\right|=\displaystyle\sup_{\substack{x\in E\\ x\neq0}}\frac{\left\| u(x) \right\|}{\left\| x \right\|}\). Montrer que \(\left|\!\left|\!\left| . \right|\!\right|\!\right|\) est une norme sur \(\mathcal{L}(E)\).
Montrer qu’il s’agit d’une norme sous-multiplicative, c’est-à-dire que : \[\forall(u,v)\in\mathcal{L}(E)^2,\quad \left|\!\left|\!\left| uv \right|\!\right|\!\right|\leqslant\left|\!\left|\!\left| u \right|\!\right|\!\right|.\left|\!\left|\!\left| v \right|\!\right|\!\right|\]
et en déduire une majoration de \(\left|\!\left|\!\left| u^k \right|\!\right|\!\right|\), pour tout entier naturel \(k\), en fonction de \(\left|\!\left|\!\left| u \right|\!\right|\!\right|\) et de l’entier \(k\).
Dans cette partie, \(a\) désigne un endomorphisme de \(\mathbb{C}^n\).
Montrer qu’il existe un entier naturel non nul \(r\), des nombres complexes distincts \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), …, \(\lambda_r\), ainsi que des entiers naturels non nuls \(m_1\), \(m_2\), …, \(m_r\), tels que : \[\mathbb{C}^n=\bigoplus_{i=1}^r E_i\]
où pour \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\), \(E_i=\mathrm{Ker}(a-\lambda_i\mathrm{id}_{\mathbb{C}^n})^{m_i}\).
D’après la question précédente, si \(x\) est un élément de \(\mathbb{C}^n\), il existe un unique \(r\)-uplet \((x_1,\dots,x_r)\in E_1\times\cdots\times E_r\) tel que \(x=\displaystyle\sum_{i=1}^r x_i\). Fixons à présent \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\). On définit alors les endomorphismes : \[p_i:\left|\begin{array}{rcl} \mathbb{C}^n & \to & E_i\\ x & \mapsto & x_i \end{array}\right. \qquad\text{et}\qquad q_i:\left|\begin{array}{rcl} E_i & \to & \mathbb{C}^n\\ x_i & \mapsto & x_i \end{array}\right.\]
Par ailleurs, on note \(\left|\!\left|\!\left| . \right|\!\right|\!\right|_i\) la norme sur \(\mathcal{L}(E_i)\) introduite à la partie A, à savoir \[\forall u\in\mathcal{L}(E_i),\quad \left|\!\left|\!\left| u \right|\!\right|\!\right|_i=\sup_{\substack{x\in E_i\\ x\neq0}}\frac{\left\| u(x) \right\|}{\left\| x \right\|}\]
On utilisera la notation \(\left|\!\left|\!\left| . \right|\!\right|\!\right|_c\) pour \(\mathcal{L}(\mathbb{C}^n)\). Enfin, on notera \(a_i\) l’endomorphisme \(p_iaq_i\).
Montrer que, pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\), il existe une constante \(C_i>0\) telle que : \[\forall u\in\mathcal{L}(E_i),\quad \left|\!\left|\!\left| q_iup_i \right|\!\right|\!\right|_c\leqslant C_i\left|\!\left|\!\left| u \right|\!\right|\!\right|_i\]
Montrer que, pour \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]\), \(E_i\) est stable par \(a\).
Soient \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right]^2\). Exprimer \(p_iq_j\) puis \(\displaystyle\sum_{i=1}^r q_ip_i\) en fonction des endomorphimes \(\mathrm{id}_{\mathbb{C}^n}\) et \(\mathrm{id}_{E_j}\).
Montrer que : \(a=\displaystyle\sum_{i=1}^r q_ia_ip_i\).
En déduire que : \[\forall t\in\mathbb{R},\quad \mathrm{e}^{ta}=\sum_{i=1}^r q_i\mathrm{e}^{ta_i}p_i\]
Montrer par ailleurs que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,r} \right]\kern-0.15em\right],\quad \forall t\in\mathbb{R},\quad \left|\!\left|\!\left| \mathrm{e}^{ta_i} \right|\!\right|\!\right|_i\leqslant\left| \mathrm{e}^{t\lambda_i} \right|\sum_{k=0}^{m_i-1}\frac{\left| t \right|^k}{k!}\left|\!\left|\!\left| a_i-\lambda_i\mathrm{id}_{E_i} \right|\!\right|\!\right|_i^k\]
En déduire l’existence d’un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que : \[\forall t\in\mathbb{R},\quad \left|\!\left|\!\left| \mathrm{e}^{ta} \right|\!\right|\!\right|_c\leqslant P(\left| t \right|)\sum_{i=1}^r\mathrm{e}^{t\mathrm{Re}(\lambda_i)}\]
où \(\mathrm{Re}(z)\) désigne la partie réelle d’un nombre complexe \(z\).
Pour toute matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\), on notera \(u_A\) l’endomorphisme canoniquement associé à \(A\) dans \(\mathbb{R}^n\) et \(v_A\) l’endomorphisme de \(\mathbb{C}^n\) canoniquement associé à \(A\), vue comme une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{C})\). On conservera la notation \(\left|\!\left|\!\left| . \right|\!\right|\!\right|_c\) pour la norme introduite à la partie A sur \(\mathcal{L}(\mathbb{C}^n)\) et on utilisera \(\left|\!\left|\!\left| . \right|\!\right|\!\right|_r\) sur \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\). Montrer qu’il existe \(C>0\) telle que : \[\forall A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R}),\quad \forall t\in\mathbb{R},\quad \left|\!\left|\!\left| \mathrm{e}^{tu_A} \right|\!\right|\!\right|_r\leqslant C\left|\!\left|\!\left| \mathrm{e}^{tv_A} \right|\!\right|\!\right|_c\]
Dans la suite de cette partie, on considère \(u\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) sa matrice dans la base canonique. On notera par ailleurs, \(\mathrm{Sp}(A)\) le spectre complexe de \(A\). Notons \(g_{x_0}\) l’unique solution de classe \(\mathrm{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}_+\) de : \[\left\{\begin{array}{rcl} y' & = & u(y)\\ y(0) & = & x_0 \end{array}\right.\]
Montrer que : \[\forall x_0\in\mathbb{R}^n,\quad \lim_{t\to+\infty}\left\| g_{x_0}(t) \right\|=0 \quad\iff\quad \mathrm{Sp}(A)\subset\mathbb{R}_-^\ast+i\mathbb{R}\]
On se place dans cette question dans le cas où toutes les valeurs propres de \(A\) ont une partie réelle strictement négative. Montrer alors qu’il existe deux constantes \(C_2\) et \(\alpha\) strictement positives telles que : \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\quad \left|\!\left|\!\left| \mathrm{e}^{tu} \right|\!\right|\!\right|_r\leqslant C_2\mathrm{e}^{-\alpha t}\]
et en déduire une majoration de \(\left\| g_{x_0}(t) \right\|\) pour \(t\in\mathbb{R}_+\).
On considère dans cette partie une application \(\varphi\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\) de classe \(\mathrm{C}^{1}\) telle que \(\varphi(0)=0\), et en notant \(a=\mathrm{d}\varphi(0)\), telle que toutes les valeurs propres de \(a\) aient une partie réelle strictement négative.
Soit \(x_0\in\mathbb{R}^n\). On s’intéresse au système différentiel suivant : \[\left\{\begin{array}{rcl} y' & = & \varphi(y)\\ y(0) & = & x_0 \end{array}\right.\]
On admettra l’existence d’une solution de ce système définie sur \(\mathbb{R}_+\), que l’on notera \(f_{x_0}\).
Montrer que la fonction \[b:\left|\begin{array}{rcl} \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n & \to & \mathbb{R}\\ (x,y) & \mapsto & \displaystyle\int_0^{+\infty}\left \langle \mathrm{e}^{ta}(x) \,\vert \, \mathrm{e}^{ta}(y) \right \rangle\,\mathrm{d}t \end{array}\right.\]
est bien définie et qu’elle définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^n\).
On notera \(q\) la forme quadratique associée à \(b\), c’est-à-dire que pour tout \(x\in\mathbb{R}^n\), \(q(x)=b(x,x)\).
Démontrer alors que : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\quad \mathrm{d}q(x)(a(x))=2b(x,a(x))=-\left\| x \right\|^2\]
Pour toute fonction \(y\) définie sur \(\mathbb{R}_+\), on associe la fonction \(\varepsilon(y)\) définie par : \[\varepsilon(y):\left|\begin{array}{rcl} \mathbb{R}_+ & \to & \mathbb{R}^n\\ t & \mapsto & \varphi(y(t))-a(y(t)) \end{array}\right.\]
Vérifier l’égalité \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\quad q(f_{x_0})'(t)=-\left\| f_{x_0}(t) \right\|^2+2b\big(f_{x_0}(t),\varepsilon(f_{x_0}(t))\big)\]
Prouver l’existence de deux nombres réels \(\alpha\) et \(\beta\) strictement positifs tels que, pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), on ait : \[q(f_{x_0}(t))\leqslant\alpha \quad\Rightarrow\quad -\left\| f_{x_0}(t) \right\|^2+2b\big(f_{x_0}(t),\varepsilon(f_{x_0})(t)\big)\leqslant-\beta q(f_{x_0}(t))\]
On fixe un tel couple \((\alpha,\beta)\) pour la suite de ce problème.
Montrer alors que : \[q(x_0)<\alpha \quad\Rightarrow\quad \forall t\geqslant0,\ q(f_{x_0})(t)\leqslant\mathrm{e}^{-\beta t}q(x_0)\]
En déduire l’existence de trois constantes \(\tilde{\alpha}\), \(C\) et \(\beta\) strictement positives telles que : \[\forall x_0\in B(0,\tilde{\alpha}),\quad \forall t\in\mathbb{R}_+,\ \left\| f_{x_0}(t) \right\|\leqslant C\mathrm{e}^{-\frac{\beta}{2}t}\left\| x_0 \right\|\]
où \(B(0,\tilde{\alpha})\) désigne la boule ouverte, pour la norme \(\left\| . \right\|\), de centre \(0\) et de rayon \(\tilde{\alpha}\).
Fin du problème
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un beau problème sur la stabilité des systèmes différentiels : exponentielle de matrice et réduction pour le cas linéaire, puis fonction de Liapounov pour le cas non linéaire.
L'énoncé admet l'existence globale des solutions, ce qui est faux en général ; le corrigé le signale.